管窺2019年浙江高考第21題

浙江省寧波市第四中學 (315016) 蔣亞軍

1.題目呈現

如圖1，已知點F(1，0)為拋物線y2=2px(p>0)，點F為焦點，過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q，且Q在點F右側.記△AFG,△CQG的面積為S1,S2.

圖1

(1)求p的值及拋物線的準線方程；

2.解法剖析

2.1 抓住拋物線的屬性

解法1:設直線AB的方程為x=ty+1(t>0)，其中A(x1,y1),B(x2,y2)，與拋物線方程y2=4x聯立可得y2-4ty-4=0，故y1+y2=4t,y1y2=-4.

評注：上述二種解法是解析幾何的常規方法，解法1利用相關條件，從聯立拋物線與直線方程入手；解法2通過設點建立起它們之間的聯系，雖然說是通性通法，考慮到變量比較多，統一轉換為A點的縱坐標t，對學生數學運算能力的要求比較高.

2.2 挖掘三角形的性質

2.3 借助向量共線定理

評注：解法6依托平面向量基本定理及三點共線，將三角形面積之比等價轉化為系數之比，使得問題轉化為學生所熟悉的基本不等式型求最值問題.該解法有效地避免了三角形面積的繁瑣計算和復雜的表示，可謂是運算的第三層次.

3.幾點感悟

3.1 研究試題命制，感悟核心素養

縱觀上述試題的研究，其一：充分體現試題的層次性，第(1)注重基礎，重點考查基礎知識；第(2)難度逐步提升，讓各個層次的學生都有所獲，通過設計動點或動直線問題，重點考查學生綜合運用知識解決數學問題的能力，讓學生充分感悟邏輯推理、數學運算、數形結合思想在本題中的滲透，體現能力立意.這促使教師在教學中，要重視解題過程的演示，學生要重視對解題過程的體驗，這樣不僅能鞏固相關知識點，還有助于邏輯推理和數學運算素養的構建，也提升了學生提出和發現問題、分析和解決問題的能力.[1]其二：彰顯數學建模的重要性，本題的基本模型是平面幾何中“燕尾定理”，將這個三角形構建在拋物線上，同樣我們將這個三角形構建在橢圓或雙曲線上，得到相關的試題(如圖2，圖3所示).

圖2 圖3

3.2 探究試題解答，體現核心素養

通過對解析幾何解答題的深入研究，分析其典型試題的試題命制、解答過程、探究推廣，能更具象化地揭示其所蘊含或要求的核心素養，幫助學生弄清問題的本質，追本溯源，注重思路的產生過程，也有利于強化培養學生數學核心素養的理念.