圖形與幾何教學中數學基本思想的滲透

薛生林

圖形與幾何是小學數學課程四個主要內容之一，數學教材關于“圖形的認識”內容的安排體現了從生活到數學、從直觀到抽象、從整體到局部的特點。學生在觀察操作、整理交流、歸納概括中提出問題，并將問題分為經驗型問題、基礎型問題和拓展型問題，體會數學知識之間的包含、并列、相關等關系。在問題探究過程中，經歷分類、集合、類比的過程，積累提出問題和探究幾何知識的經驗，逐步感悟數學思想。

一、初探圖形特征，滲透分類思想

在圖形的認識過程中，學生對所提問題進行分類，在分類的過程中感知不同的問題類型。由于分類過程包含了一系列復雜的思維過程，學生在問題的梳理過程中，發現圖形之間的聯系和區別，并積累因分類標準不同而分類結果多樣的經驗。

1.先行感知促提問，初識分類思想

當數學概念多且易混淆時，學生在知識學習前先行學習是非常必要的。學生通過觀察學習、操作實踐、想象描述等方式激活自己已有的相關知識和經驗，在自主探究的過程中生成一個個數學問題。

學生先行學習人教版《數學》四年級上冊“角的認識”例2“角的分類”的內容如下。

根據二年級“角的初步認識”的經驗，學生提出問題，如角的大小與角的兩條邊的長短無關，與什么有關？通過預習教材，學生提出問題，如銳角、直角、鈍角、平角和周角之間有什么聯系和區別？學生通過深度預習教材后，與家長和同學在交流中進一步提出值得研究的問題，如有沒有大于180°小于360°的角？有沒有比周角大的角？

通過先行學習后，學生提出的數學問題更關注角的不同定義和不同角的特征，以及不同角的聯系與區別。這些基礎型問題是學生經歷知識形成過程的重要載體，是學生幾何概念與技能獲得的重要途徑。在家長和同學等學習共同體的參與下，學生提出的拓展型數學問題是后續進一步學習的內容，是培養學生空間觀念的重要載體。

2.突破表象促提問，經歷分類過程

學生的幾何學習要通過視覺來獲得對對象的感知。然而，生活原型的圖例會包含與學習無關的特征，如所畫直線的有限性、兩條直線的不同位置擺放等，這些視覺障礙為學生形成平行與垂直的特征造成障礙。

學生在看到人教版《數學》四年級上冊“平行與垂直”時，依據經驗第一次提出問題：什么是平行？什么是垂直？畫在紙上的兩條直線，不是平行就是垂直嗎？兩條直線的位置關系可以分為平行和垂直嗎？學生依據課題望文生“疑”，這些疑問摻雜了學生太多的經驗，為學生真正理解這兩個概念造成了障礙。

對四年級學生來說，他們開始嘗試用更精確的語言來描述平行與垂直的性質，但是，由于概念抽象往往會伴有一定的日常經驗。通過整理學生提出的問題，可以看出學生存在視覺障礙。例如，所畫的兩條直線與方格紙上的平行線重合的兩條直線互相平行，那么，斜著畫的兩條直線怎樣判斷是互相平行的？從這里可以看出，學生對平行的認識，往往伴有水平放置與豎直放置等生活經驗。當然，從學生提出的問題發現，不僅有知覺上的問題，還伴有對分類標準不明的問題，例如，同一個平面內的兩條直線，可以分成平行、相交和垂直嗎？同一個平面內的兩條直線，可以分成平行、重合、垂直嗎？這些問題形成學生建立平行與垂直表象時的障礙。根據學生所畫的不同圖形，讓學生按自己的理解進行分類，不同的分類顯示著學生對圖形特征的表征。

學生經歷自主分析、主動探究、分類比較等過程，逐步感知相交分成兩直線夾角成90°——互相垂直和兩直線夾角成其他角（除90°）——一般相交兩類。

二、深探圖形性質，滲透集合思想

在圖形性質的探究過程中，找出不同圖形之間性質的區別和聯系，進而提出新的問題，并用集合圖的方式表示不同圖形之間的關系。

1.比較類推巧提問，感知集合思想

學生空間觀念的形成是一個逐步發展的漸進過程。學生在平行四邊形和梯形的比較分析中提出問題進而探究平行四邊形和梯形的性質之間的關系。學生在操作感知等腰梯形和直角梯形的基礎上，在兩種梯形的比較以及與平行四邊形的比較中提出問題，用集合的方式來建構梯形概念的特征系統。

在學習人教版《數學》四年級上冊“平行四邊形和梯形”例3“認識梯形的特征”時，學生借鑒探究平行四邊形特征的方法自主探究梯形的特征。在探究平行四邊形特征時，學生采用直尺和三角尺推的方式探究兩組對邊分別平行，再采用尺量的方式探究兩組對邊分別相等。同樣，在探究梯形時，學生用直尺和三角尺推的方式探究只有一組對邊是平行的。學生在探究的過程中提出問題，如平行四邊形有底的描述，梯形的底書上沒有描述，那么，什么是梯形的底？上底和下底有什么區別？用量角器量角的大小、用直尺量、用三角尺比直角等方式來感知等腰梯形和直角梯形的特點。學生在操作過程中提出問題，如等腰梯形和直角梯形有什么區別？有沒有等腰直角梯形？梯形與平行四邊形有什么相同和不同的地方？學生在提問的過程中感知等腰梯形和直角梯形的聯系與區別，進一步感知梯形與平行四邊形的聯系與區別。

2.抽象概括促提問，經歷集合過程

按照范希爾提出的幾何思維水平的理論，經歷過描述分析圖形的學生，開始關注圖形與圖形性質之間的關系，可以提出非形式化的推論。學生通過探究圖形的內在屬性和其包含關系，分層次將圖形進行分類，并用思維導圖的方式把這些性質整理展示出來。處于非形式化演繹階段的學生，通過自主分析、綜合比較、抽象概括等方式來表征圖形之間的包含關系和并列關系，并用集合的方式對概念進行建構。

在學習“平行四邊形和梯形”例4“四邊形間的關系”時，學生先回憶已經認識了哪些四邊形，再比較各種四邊形的特征。學生一般從對邊是否平行、是否相等，對角是否相等等方面描述學過的四邊形特征。學生在描述過程中生成了一些問題：正方形可以看成特殊的長方形嗎？長方形和正方形可以看成特殊的平行四邊形嗎？四邊形除了按對邊是否平行進行分類外，可以按對邊是否相等進行分類嗎？可以按對角是否相等進行分類嗎？學生在交流、比較、整理的過程中，用思維導圖的方式總結表示出來。從一般四邊形出發，逐步增添條件，導出一系列特殊的四邊形，從而揭示了各種四邊形概念之間的內涵關系（圖1）。

當然，有的學生從對邊是否平行來比較各種四邊形的特征，用集合圖來加以總結展示（圖2）。從圖2中，我們可以看出各種四邊形概念的外延之間的關系，其中有層層包含關系，也有包含中的并列關系。

三、拓展圖形知識，滲透類比思想

在圖形與幾何知識體系中，存在包含、并列等數學關系，學生在觀察操作、比較聯想中類比，提出含有多種關系的數學問題。

1.關系類比促提問，感悟類比思想

學生通過觀察四邊形關系的思維導圖和集合圖，根據不同圖形性質之間的關系提出進一步研究的數學問題。學生根據圖形之間的包含關系和并列關系，類比提出其他含有包含關系和并列關系的數學問題。當然，學生提出了圖形之間的包含和并列關系的數學問題，自然類比提出數學知識之間相交關系的數學問題，甚至提出既有包含關系，又有并列和相交關系的數學問題。

在學習“平行四邊形和梯形”例4“四邊形間的關系”后，根據集合圖，在整理總結的過程中，學生生成了新的問題，如正方形是特殊的長方形，它們之間的關系是包含關系，還有哪些數學知識之間的關系也是包含關系？等腰梯形和直角梯形是特殊的梯形，它們之間的關系是并列關系，還有哪些數學知識之間的關系也是并列關系？這些問題為學生進一步探究數學知識提供了基礎。

2.實踐類比巧提問，滲透類比思想

研究表明，作圖活動是幫助兒童理解形體特征、發展空間觀念的一個有效的操作活動。學生通過親身實踐、合作操作等方式探索作圖的方法和步驟，在作圖練習中形成作圖技能，從而培養學生的空間觀念。在作圖操作、歸納類比等活動過程中不斷生成新的數學問題，這些數學問題既是對教材的有益補充，也是后續學習的有力保障。

在學習“平行與垂直”例2“畫垂線”時，學生先從已有知識和經驗出發，用一副三角板或量角器自主嘗試畫垂線，再嘗試用一把三角尺過直線上一點畫垂線和過直線外一點畫已知直線的垂線。在實踐探究、交流中，學生逐步總結概括畫垂線的一般方法和步驟，從而增強作圖的規范性。學生在借助點子圖練習畫兩條互相垂直的直線和兩條互相平行的直線后，提出了進一步探究的數學問題：在不借助點子圖的情境下，怎樣畫兩條互相平行的直線？如何用直尺和三角尺過直線外一點畫已知直線的平行線？如何用畫平行線的方法來檢驗兩條直線是否平行？學生在探究平行線畫法的過程中，進一步感知平行線的判定和兩條平行線間的距離處處相等的性質。這些數學問題的探究是學生進一步學習畫長方形和正方形的基礎，也是學生進一步學習平行四邊形和梯形的基礎。

[責任編輯：陳國慶]