運(yùn)中有智慧 算中有妙法
——小學(xué)生運(yùn)算能力培養(yǎng)的思考

□錢利平

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中指出，“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題”。這兩句話實(shí)際上刻畫了運(yùn)算能力的三個主要表現(xiàn)特征:正確運(yùn)算、理解算理、方法合理。那么，新課標(biāo)提出8 年了，對運(yùn)算能力而言，現(xiàn)狀又是怎樣的呢？

為了對學(xué)生情況有比較準(zhǔn)確的了解，我們對某校83名學(xué)生進(jìn)行了一個小樣本調(diào)查。

調(diào)查材料：請你用自己喜歡的方法算：36×0.25（其中一道前測題）。結(jié)果如圖1所示。

從前測情況看出：學(xué)生的筆算意識相當(dāng)強(qiáng)，但對運(yùn)算意義的理解不深刻。正是基于這樣的教學(xué)現(xiàn)狀，我們思考：運(yùn)算能力作為數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)有的關(guān)鍵能力，能否將它拆分為“運(yùn)”的能力與“算”的能力？“運(yùn)”是意識、思想、策略，是一種思維活動；“算”是技能、實(shí)踐、演練，是一種操作活動。要培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，不僅要培養(yǎng)學(xué)生“算”的能力，更要培養(yǎng)學(xué)生“運(yùn)”的能力。因此，教學(xué)中要體現(xiàn)先“運(yùn)”后“算”，邊“運(yùn)”邊“算”，“算”后再“運(yùn)”這樣的計算教學(xué)特色，讓“運(yùn)”貫穿于“算”的全過程。一個學(xué)生如果頭腦里“運(yùn)”清楚，“運(yùn)”明白了，“算”就是水到渠成的一件事。

一、運(yùn)意識之道，求算法之簡

“意識”是指人的頭腦對客觀物質(zhì)世界的反映，也是感覺、思維等各種心理過程的總和。遇到36×0.25，為什么會有36%的學(xué)生選擇列豎式筆算？說明學(xué)生沒有求簡意識。那么教師該如何運(yùn)意識之道呢？第一，學(xué)生在運(yùn)算前要有簡算的意識，想一想“能簡算嗎”；第二，學(xué)生在運(yùn)算時要有質(zhì)疑辨析的意識，思考“我這樣算有根據(jù)嗎”；第三，學(xué)生在運(yùn)算后要有反思檢查的意識，自查“算得對嗎？算得巧嗎”。

（一）能簡算嗎？——喚醒“簡算意識”

在計算教學(xué)中，教師往往重視讓學(xué)生低頭算，卻忽視了讓學(xué)生抬頭想。因此，在36×0.25 的教學(xué)中，筆者提問：“不列豎式計算，你還有別的方法嗎？”通過呈現(xiàn)學(xué)生的四種不同算法，引發(fā)學(xué)生的思維碰撞（如圖2）。

圖2

這四種算法的呈現(xiàn)是有視覺沖擊的，它明確地告訴學(xué)生，一道計算題，可以有不同的簡便算法，每種算法只要有根據(jù)，就是合理的。因此學(xué)生在計算時，潛意識里要有高效運(yùn)算的“簡算意識”。

（二）有根據(jù)嗎？——發(fā)展“依據(jù)意識”

合理的算法，需要知道合的是什么理，根據(jù)什么樣的運(yùn)算律，運(yùn)算律又是根據(jù)什么樣的運(yùn)算義。對于圖2中的四種算法，筆者引發(fā)學(xué)生思考：“這些算法都有根據(jù)嗎？”通過對比辨析，學(xué)生既感受到算法的多樣化，又對算法合理性的本質(zhì)再次內(nèi)化，“依據(jù)意識”深入人心。

我們來看，生1和生2運(yùn)用了乘法分配律，生3運(yùn)用了積的變化規(guī)律，生4運(yùn)用了乘法結(jié)合律。學(xué)生從“不同的運(yùn)算定律”中感悟到“運(yùn)算意義的相同”，即都是36 個0.25 相加，這是算法背后的“依據(jù)”，也是算法的“根”。一旦算理扎根，學(xué)生在運(yùn)算時，只需要對與之相關(guān)的運(yùn)算順序、運(yùn)算法則和運(yùn)算定律進(jìn)行靈活運(yùn)用，就能做到有律可依，達(dá)到計算過程的“簡化”。

（三）算得對嗎？算得巧嗎？——深化“反思意識”

學(xué)生在交流、辨析和比較中，會找到適合自己的最優(yōu)算法。如在對36×0.25的幾種算法的反饋過程中，通過對比筆算方法和學(xué)生常見的錯誤：（4×9）×0.25=9×0.25+4×0.25，引發(fā)學(xué)生自查：“表示的是36個0.25嗎？你喜歡哪種算法？”同時，在對“算得對嗎”“算得巧嗎”這兩個問題的反思覺察中，通過對最優(yōu)算法的欣賞評價，進(jìn)一步深化學(xué)生“反思檢查”的意識。

因此，教師要讓學(xué)生在計算時，運(yùn)意識之道。學(xué)生在“能簡算嗎”“有根據(jù)嗎”“算得對嗎？算得巧嗎”這樣一連串問題的自我設(shè)問中，不斷地進(jìn)行自我覺察，自我調(diào)整，從而求得算法之簡。

二、運(yùn)規(guī)則之道，正算法之理

計算規(guī)則一般有兩類：一類是法則，根據(jù)法則確定運(yùn)算順序；一類是定律，根據(jù)定律可以打破既定的運(yùn)算順序。在計算中，學(xué)生往往會出現(xiàn)兩類情況：第一類是該依法則計算時卻按定律算，表現(xiàn)為“不能簡算的亂簡算”；第二類是該依定律計算時卻按法則算，表現(xiàn)為“能簡算的不簡算”，這反映出學(xué)生對“法則”和“定律”的本質(zhì)理解不清晰、不到位的問題。那么，如何在教學(xué)中運(yùn)規(guī)則之道，正算法之理呢？

（一）認(rèn)清法則，讓算法有根可尋

法則是人們在計算中自然形成的一種計算規(guī)則，是小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則的主要表現(xiàn)形式之一，它廣泛地存在于數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率等內(nèi)容之中。

在教學(xué)中，教師應(yīng)嚴(yán)格要求學(xué)生按照相應(yīng)的定理、定義和法則理解題目，讓學(xué)生逐漸養(yǎng)成遵守法則的習(xí)慣。與此同時，還需要讓學(xué)生認(rèn)識到不遵守法則的后果。例如，在加減混合的綜合算式計算教學(xué)過程中，為了讓學(xué)生認(rèn)識到“從左往右”的計算順序，教師可出示這樣的題目：10-7.5+2.5＝？，學(xué)生可能會給出5 和0 兩種答案，此時教師便可以告訴學(xué)生正確答案，讓學(xué)生清楚地認(rèn)識到加減混合算式的運(yùn)算法則，從而逐漸培養(yǎng)學(xué)生的規(guī)則意識。

（二）厘清定律，讓算法有律可依

運(yùn)算定律是一種模型化知識，是對數(shù)的運(yùn)算過程中基本規(guī)律的歸納與總結(jié)。然而，在教學(xué)實(shí)踐中我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生混淆運(yùn)算定律的情況特別多。例如1.25×2.5×12 一題，混淆運(yùn)算律的情況主要有以下兩種（如圖3）。

圖3

學(xué)生只關(guān)注到1.25×8 以及2.5×4 可以湊整，而對算式的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識模糊。對數(shù)據(jù)的片面關(guān)注導(dǎo)致學(xué)生對乘法結(jié)合律與乘法分配律混淆不清。那么如何幫助學(xué)生厘清定律，對運(yùn)算律有清晰的認(rèn)識呢？教師可以結(jié)合具體情境展開教學(xué)（如圖4）。

圖4

把2.5變成長方形木板的長，1.25變成長方形木板的寬。一方面，學(xué)生更加傾向把1.25×2.5這一塊木板的面積當(dāng)成一個“整體”，有效規(guī)避了錯誤；另一方面，從乘法分配律的結(jié)構(gòu)特征入手，強(qiáng)化學(xué)生的結(jié)構(gòu)意識，使學(xué)生對運(yùn)算定律的結(jié)構(gòu)印象深刻。

由此可見，運(yùn)規(guī)則之道，幫助學(xué)生厘清法則和定律，有助于培養(yǎng)學(xué)生合理選擇算法的能力，發(fā)展學(xué)生思維的靈活性。

三、運(yùn)策略之道，釋算法之義

運(yùn)算策略水平是鑒別學(xué)生運(yùn)算能力高低的一個敏感因素。運(yùn)策略之道，一方面可以與現(xiàn)實(shí)背景相結(jié)合，賦予計算在實(shí)際生活中的價值；另一方面可以借助“數(shù)形結(jié)合”，通過幾何直觀，使抽象的計算教學(xué)變得具體形象。

策略1：與現(xiàn)實(shí)背景相結(jié)合，以現(xiàn)實(shí)模型釋算法之義

小學(xué)數(shù)學(xué)中的計算題往往取自生活原型。給運(yùn)算賦予現(xiàn)實(shí)背景，可以讓純粹的計算變得鮮活。比如，在探究《乘法分配律》一課中，筆者在課堂上出示如下情境。

（1）學(xué)校購買春裝校服,每件上衣50元，每條褲子45 元，買這樣的30 套衣服一共要多少元？（只列式不計算）

（2）在一個長方形花圃里栽郁金香和菊花（如下圖），這個花圃占地多少平方米？（只列式不計算）

通過列式，學(xué)生出現(xiàn)了兩種思路的算式表達(dá)——“先求和，再相乘，即（a+b）×c”或“先分別乘，再相加，即a×c+b×c”。從現(xiàn)實(shí)背景入手，通過對數(shù)學(xué)模型的解構(gòu)，讓運(yùn)算意義或算理的解釋與現(xiàn)實(shí)問題的解決融合起來，讓學(xué)生理解算法的“要義”。

策略2：與平面圖形相結(jié)合，以數(shù)形結(jié)合釋算法之義

華羅庚老師說過，“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”。幾何直觀是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的十個核心概念之一，主要是指利用圖形描述和分析問題，幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，研究問題。

例如在教學(xué)1.25×2.5×12 時，教師可以借助長方形，幫助學(xué)生建立正確的表象。如何引導(dǎo)學(xué)生正確計算呢？學(xué)生想到“1 塊木板的面積×12”：1.25×2.5×12，一個一個看，顯然算起來比較麻煩。這時教師提出可以結(jié)合圖，使計算更簡便。引導(dǎo)學(xué)生算

大長方形的長×寬：（2.5×4）×（1.25×3）（如圖5）；也可以算一行的面積×3：（2.5×4×1.25）×3（如圖6）。兩種方法都利用了2.5×4 可以湊整的數(shù)據(jù)特征，達(dá)到簡算的目的。而且這兩種算法溝通了“運(yùn)算意義”和“運(yùn)算定律”之間的關(guān)系，幫助學(xué)生理解算理。

圖5

圖6

那么可不可以算一列的面積×4 呢？（1.25×3×2.5）×4，顯然這樣計算是比較麻煩的。這道題目很有意思，在圖形意義的指導(dǎo)下，利用數(shù)據(jù)的特征，引導(dǎo)學(xué)生先思維后計算，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的計算習(xí)慣。由此可見，運(yùn)策略之道，就是讓每一種算法，既能找到生活原型，又能找到圖形對應(yīng)，使每種算法都有理有據(jù)。

運(yùn)中有智慧，算中有妙法。如果把運(yùn)算中的“運(yùn)”和“算”放在二維體系中，它們應(yīng)該是有一定正比關(guān)系的，“運(yùn)”的能力越弱，“算”的方法可能只局限在“對”上；“運(yùn)”的能力一般，“算”的方法只能求好；“運(yùn)”的能力越強(qiáng)，則“算”的方法就越巧。在當(dāng)下計算教學(xué)格局重“算”的背景下，我們力圖重“運(yùn)”，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)中求道，以道馭法，這樣“道法自然”的計算課，正是我們所追求的！