數(shù)值分析課程的教學(xué)探索與思考

【摘 要】數(shù)值分析課程是本科數(shù)學(xué)專業(yè)和工程專業(yè)學(xué)生的必修課，并且數(shù)值分析被廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)研究和工程研究。筆者根據(jù)自身教學(xué)實(shí)踐，結(jié)合課程定位，從教學(xué)方法、算法實(shí)踐、教師科研素質(zhì)提升等方面給出了一些建議，以期提高數(shù)值分析課程效果。

【關(guān)鍵詞】數(shù)值分析;教學(xué)方法;工程計(jì)算

【中圖分類號】G642? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2020）28-0010-02

隨著科學(xué)研究的發(fā)展，許多學(xué)科突破了原有的界限，開始互相融合。近年來，伴隨著計(jì)算機(jī)軟件技術(shù)的飛速發(fā)展，以及實(shí)際工程計(jì)算需要的變化，科學(xué)計(jì)算在各學(xué)科的研究中愈發(fā)重要，并且被廣泛應(yīng)用于流體力學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)、量子力學(xué)、生物學(xué)、建筑設(shè)計(jì)等學(xué)科的研究中。目前，科學(xué)計(jì)算已和理論研究、科學(xué)實(shí)驗(yàn)共同成為科學(xué)研究的三大支柱，而數(shù)值分析正是科學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)。數(shù)值分析課程是各高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)和工科專業(yè)學(xué)生的必修課，數(shù)值分析屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)范疇，有著基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，卻又與基礎(chǔ)數(shù)學(xué)存在著本質(zhì)區(qū)別，其獨(dú)特的理論特點(diǎn)與工程技術(shù)緊密相關(guān)。

數(shù)值分析課程關(guān)注工程模型問題或數(shù)學(xué)模型的算法、效率以及計(jì)算資源的消耗等。從科學(xué)研究的角度來講，就是如何利用有限的計(jì)算資源以最快的速度得到問題最精確的解。高等院校各個(gè)專業(yè)開展該課程的目標(biāo)是以數(shù)學(xué)模型為載體，著重教授學(xué)生各類模型的算法、構(gòu)造原理及相關(guān)理論知識，使學(xué)生熟練地將各類算法應(yīng)用于實(shí)際問題的求解中，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的數(shù)學(xué)邏輯思維以及應(yīng)用能力。因此，該課程的學(xué)習(xí)對學(xué)生的專業(yè)研究及思維能力提升都具有重要的意義和作用。該課程教學(xué)活動(dòng)的開展需要學(xué)生在具備基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)知識的同時(shí)，還要扎實(shí)地掌握計(jì)算機(jī)專業(yè)的一系列課程。該課程的雙重要求導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)存在諸多困惑和困難，高等院校雖普遍開展了該課程的教學(xué)，但往往達(dá)不到預(yù)期效果。目前，許多學(xué)者對該課程的教學(xué)做出了有益的探索，并提出了一些改革建議[1-3]。接下來，筆者將結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勗撜n程教學(xué)改革的一些探索和建議，供各位同行參考，以期共同推進(jìn)該課程的教學(xué)工作。

1? ?課程定位

數(shù)學(xué)專業(yè)和工科專業(yè)的人才培養(yǎng)目標(biāo)明顯不同，且不同專業(yè)學(xué)生所具備的知識基礎(chǔ)存在較大差別，因此，在教學(xué)中需設(shè)定不同的教學(xué)目標(biāo)、采取不同的教學(xué)手段。數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生一般具備較好的數(shù)學(xué)分析能力以及高等代數(shù)基礎(chǔ)，因此該課程教學(xué)中教師可適當(dāng)偏重于算法原理以及算法理論的分析講解。只有讓學(xué)生了解算法的本質(zhì)才能從根本上明確問題解決的思路、手段以及關(guān)鍵點(diǎn)，從而培養(yǎng)其良好的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)邏輯。此外，只有明確算法的本質(zhì)，才能弄清楚數(shù)值分析課程與基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程的本質(zhì)區(qū)別，進(jìn)而解決學(xué)生的困惑，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。工科學(xué)生普遍數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對薄弱，因此針對該類學(xué)生，教師需基于算法學(xué)習(xí)的目的性和實(shí)用性，注重算法應(yīng)用的講解。至于一些算法的理論分析則需根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行安排。在具體的教學(xué)過程中，通過一些問題導(dǎo)入需要講授的內(nèi)容，這樣可以讓工科類學(xué)生在心理上認(rèn)可數(shù)值分析課程的價(jià)值，從而有效地提升其學(xué)習(xí)熱情，促使他們將數(shù)值方法應(yīng)用于其他專業(yè)課的學(xué)習(xí)。

2? ?教學(xué)方法

2.1? 運(yùn)用問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)的方式

課程教學(xué)的首要目標(biāo)是讓學(xué)生了解所學(xué)知識點(diǎn)的背景和應(yīng)用價(jià)值。具有實(shí)用價(jià)值的知識更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，提高其學(xué)習(xí)的投入度。實(shí)際教學(xué)中并不需要讓所有學(xué)生都達(dá)到深入認(rèn)知的程度，只需讓其達(dá)到主觀上認(rèn)可所學(xué)內(nèi)容對后續(xù)專業(yè)課學(xué)習(xí)具有重要作用即可。這種逐步引導(dǎo)的教學(xué)方式適合大多數(shù)普通高校的學(xué)生。教學(xué)實(shí)踐中，筆者經(jīng)常采取問題驅(qū)動(dòng)的方式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入新知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)。如在教學(xué)線性方程組的各種解法時(shí)，適當(dāng)介紹流體方程的數(shù)值計(jì)算方法、數(shù)值天氣預(yù)報(bào)相關(guān)的數(shù)值計(jì)算等。該過程中無需糾纏于數(shù)值算法的構(gòu)造理論，只要讓學(xué)生明白許多問題最終都可歸結(jié)為線性方程組的求解即可。通過問題驅(qū)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生意識到線性方程組高效數(shù)值求解的重要性，進(jìn)而帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入新知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)。再如學(xué)習(xí)數(shù)值積分時(shí)，可向?qū)W生介紹傳統(tǒng)牛頓-萊布尼茲公式的不足，進(jìn)而引入數(shù)值積分的重要性。問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)的目標(biāo)是讓學(xué)生對知識的學(xué)習(xí)從被動(dòng)接受變?yōu)橹鲃?dòng)出擊，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使其主動(dòng)了解各種問題解決的方式和采取某種方式的原因。

2.2? 優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容

首先，國內(nèi)數(shù)值分析課程的教材比較多，內(nèi)容側(cè)重點(diǎn)和面向的對象各有不同[4-6]，因此需要教師依據(jù)不同專業(yè)學(xué)生的特點(diǎn)和需求選擇合適的教材。其次，數(shù)值分析所涵蓋的內(nèi)容較多，絕大多數(shù)知識點(diǎn)之間關(guān)聯(lián)度不高。在具體的教學(xué)中，要進(jìn)一步選取需著重講授的知識點(diǎn)。根據(jù)筆者對科學(xué)工程計(jì)算專業(yè)的了解，線性方程組求解、非線性方程組求解、數(shù)值積分和微分方程數(shù)值解都是極其重要的基礎(chǔ)知識點(diǎn)，因此，在教學(xué)中，很有必要強(qiáng)化學(xué)生對這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)。

2.3? 適當(dāng)采用翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)方式

為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的責(zé)任心和積極性，筆者在近兩年的教學(xué)實(shí)踐中多次鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)參與部分知識點(diǎn)的講授活動(dòng)。這一活動(dòng)完全采用自主報(bào)名的方式，參與的學(xué)生非常有責(zé)任心，課前根據(jù)所需講授的內(nèi)容進(jìn)行了認(rèn)真、全面的備課，還與筆者認(rèn)真討論。學(xué)生授課結(jié)束后，筆者會(huì)對學(xué)生的講授做一個(gè)簡短的評價(jià)，并且強(qiáng)調(diào)本節(jié)課的重點(diǎn)知識。簡短的評價(jià)不但可以鼓勵(lì)授課的學(xué)生，還可以增進(jìn)學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握。筆者發(fā)現(xiàn)讓學(xué)生自主授課對其他聽課的學(xué)生也有極大促進(jìn)作用。實(shí)踐表明，適當(dāng)采用這種翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)方式不但效果良好，還能增強(qiáng)師生間的互動(dòng)。

3? ?強(qiáng)化編程實(shí)踐

數(shù)值分析課程的一個(gè)重要部分是討論如何離散連續(xù)模型得到可控制精度的數(shù)值算法。由于絕大多數(shù)連續(xù)問題或模型的離散過程比較繁瑣，得到的公式相當(dāng)復(fù)雜，很多學(xué)生難以及時(shí)消化吸收相應(yīng)的知識點(diǎn)。同時(shí)，數(shù)值分析也是一門理論與應(yīng)用緊密結(jié)合的課程。因此，提升學(xué)生編程實(shí)現(xiàn)算法的能力是極其必要的。上機(jī)編程的過程是對所學(xué)理論再次深刻理解的過程，也是將理論應(yīng)用到實(shí)際問題的過程。在程序反復(fù)調(diào)試的過程中，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)理論學(xué)習(xí)時(shí)的疏忽點(diǎn)以及理解不深刻的地方，甚至錯(cuò)誤的概念和過程。程序反復(fù)調(diào)試后得到正確結(jié)果，能極大地增強(qiáng)學(xué)生對問題的理解能力，更能使學(xué)生收獲滿滿的成就感和滿足感，從而有助于提升學(xué)習(xí)興趣。數(shù)值計(jì)算方法目前發(fā)展比較完善，許多商用軟件都很成熟，如MATLAB、MAPLE等。商用軟件針對的是工程應(yīng)用，為了使用方便，這些軟件往往只需輸入?yún)?shù)，即可獲得結(jié)果。實(shí)際教學(xué)中直接使用軟件必然會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對問題解決的原理及求解過程缺少了解。所以，筆者并不建議教師直接使用商用軟件，而傾向于使用基本編程語言來實(shí)現(xiàn)一些基本的計(jì)算，如C語言或Fortran語言等。針對有些學(xué)生編程能力相對薄弱的問題，筆者在教學(xué)實(shí)踐中，采用了分組實(shí)踐的模式，即將2—3名學(xué)生分為一組，讓一組學(xué)生共同完成一個(gè)算法的程序編制并撰寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告。分組實(shí)踐不僅有助于基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握，對學(xué)生團(tuán)隊(duì)合作能力的培養(yǎng)也是十分有益的。筆者在教學(xué)實(shí)踐中對以上方法進(jìn)行了多輪嘗試，效果較為明顯。

4? ?教師個(gè)人學(xué)術(shù)素養(yǎng)的提升

科研與教學(xué)相輔相成，互相促進(jìn)。高校教師努力追求科研對教學(xué)工作有積極的促進(jìn)作用。科研能夠拓展教師的視野，改變其看待問題的角度，加深其對問題的理解。通過科研，教師能夠深刻領(lǐng)會(huì)不同方法在求解同一問題時(shí)效率的差異，以及不同算法提出的初衷。這種深刻的領(lǐng)會(huì)能夠促使教師在教學(xué)中把復(fù)雜的問題盡量講得簡單、透徹，幫助教師讓學(xué)生從本質(zhì)了解問題的解決思路及技巧。教師在科研過程中會(huì)發(fā)現(xiàn)一些問題求解的新思路、新方法。這些新方法會(huì)在一定程度上促進(jìn)學(xué)生對新事物探究的積極性，使教學(xué)效果得到一定的提升。從本質(zhì)上來講，教師素質(zhì)在很大程度上影響著教學(xué)效果，只教不研會(huì)使教師的專業(yè)素養(yǎng)原地踏步，也會(huì)導(dǎo)致教學(xué)思想固化、教學(xué)內(nèi)容缺乏新意。因此，專業(yè)課教師非常有必要參與一定的科研工作，提升自身的創(chuàng)新思維，進(jìn)而促進(jìn)教學(xué)手法、內(nèi)容的創(chuàng)新。

筆者依據(jù)數(shù)值分析課程的教學(xué)實(shí)踐，給出了一些課程教學(xué)定位、教學(xué)內(nèi)容選擇以及編程等方面的經(jīng)驗(yàn)和思考。但是，良好的教學(xué)效果離不開好的考核體系，筆者將在這方面進(jìn)行進(jìn)一步探索。

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[5]林成森.數(shù)值計(jì)算方法[M].北京：科學(xué)出版社，2005.

[6]D. Kincaid，W. Cheney. Numerical analysis：Mathematics of scientific computing[M].China Machine Press，2003.

【作者簡介】

蔡加祥（1981～），男，漢族，江蘇淮安人，博士，副教授。研究方向：微分方程數(shù)值解。