例析構造函數法在不等式問題中的應用

◇ 甘肅 王玉琴

不等式證明或不等式恒成立問題是一類重要問題,解決此類問題的關鍵是如何根據不等式的結構特點或證明目標構造出適當的函數關系,然后利用導數來研究所構造函數的單調性及最值來解決問題.“構造函數”就是一個從無到有,重新審視函數問題的過程.如何構造一個新函數,把所求問題轉化為可以利用導數來解決的問題一直是高中數學中的一大研究方向,本文擬就這方面的問題進行探討,以供讀者參考.

1 作差構造

2 分離參數構造

3 依據題干的“結構特征”猜想構造

A. (-∞,-1)∪(0,1)

B. (-1,0)∪(1,+∞)

C. (-∞,-1)∪(-1,0)

D. (0,1)∪(1,+∞)

綜上所述,使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(-∞,-1)∪(-1,0),故選A.

1)若f′(x)+f(x)>0，可構造h(x)=exf(x);

3)若xf′(x)+f(x)>0，可構造h(x)=xf(x);

4 通過條件轉化后的形式構造

(1)當a=1時,求函數f(x)在[1,e]上的最小值和最大值;

令g(x)=f(x)-ax,則

要使g(x)在(0,+∞)為增函數,則g′(x)≥0，

5 依據不等式的特征構造

(2)已知n∈N且n≥2,求證:

構造函數并研究其最值是解決不等式問題的常用方法,其基本思路就是從函數的角度分析和了解要證明的不等式的結構，從而構造函數,或者從不等式證明的放縮方向上構造函數式,使所構造的函數是不等式證明所需要的函數.雖然構造函數需要具有很強的抽象概括能力、運算求解能力及函數與方程思想,但只要細心觀察、認真分析研究,就能巧妙構造出函數.