構(gòu)造函數(shù)巧解一類與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的不等式問題

◇ 廣東 陳增海

與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的不等式問題一直是高考中的熱點和難點,尤其是抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)具有高度的抽象性,將其與不等式結(jié)合會使問題變得更加復(fù)雜.這類問題對學(xué)生的綜合能力要求較高,能較好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng). 本文將常見的抽象函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式結(jié)合的問題歸類,并構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)模型進(jìn)行求解,以期給同學(xué)們啟示.

1 形如f′(x)+kxα

常見模型:1)若f′(x)+k>0(或<0),其中k為非零常數(shù),可構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)+kx;

A. (-∞,-1)

D. (-∞,-1)∪(1,+∞)

2 形如xf′(x)±nf(x)

常見模型：1)若xf′(x)+nf(x)>0(或<0),可構(gòu)造函數(shù)g(x)=xnf(x);

A.a

C.a

等價于(x+2 019)2f(x+2 019)<52f(5),即g(x+2 019)

A. 8f(22 018)

B. 8f(22 018)>f(22 019)

C. 8f(22 018)=f(22 019)

D. 無法確定8f(22 018)與f(22 019)的大小

3 形如f′(x)±f(x)

常見模型：1)若f′(x)+f(x)>t(或

A. (2 014,+∞)

B. (-∞,0)∪(2 014,+∞)

C. (-∞,0)∪(0,+∞)

D. (0,+∞)

A. (-∞,1) B. (-∞,0)

C. (0,+∞) D. (1,+∞)

4 形如f′(x)sin x±f(x)cos x或者f′(x)·cos x±f(x)sin x

常見模型:1)若f′(x)sinx+f(x)cosx>0(或<0),可構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)sinx;

3)若f′(x)cosx-f(x)sinx>0(或<0),可構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)cosx;

A.a

C.c

5 形如f′(x)·xln x±f(x)

常見模型：1)若f′(x)·xlnx+f(x)>0(或<0)，可構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnx·f(x);

A. (-∞,-1)∪(1,+∞)

B. (-∞,-1)∪(0,1)

C. (-1,0)∪(0,1)

D. (-1,0)∪(1,+∞)

1)若f′(x)·xlnx+(1+lnx)f(x)>0(或<0),可構(gòu)造g(x)=xlnx·f(x);

6 形如f′(x)(x+t)±f(x)

常見模型：1)若f′(x)(x+t)+f(x)>0(或<0)，可構(gòu)造函數(shù)g(x)=(x+t)f(x);

A.c

C.a

解決抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與不等式問題的關(guān)鍵是構(gòu)造滿足條件的輔助函數(shù),然后利用輔助函數(shù)的單調(diào)性脫去“f”,將與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的不等式轉(zhuǎn)化為一般的不等式求解,所以構(gòu)造輔助函數(shù)以及把握好函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵,只有利用好函數(shù)單調(diào)性,才能順利解決問題.