傳送帶模型常考問題分類解析

◇ 湖北 許 文

傳送帶是力學問題中的一個經典模型,它能將物體的受力分析、運動過程分析、力與運動的關系、功與能的關系、運動學圖象與動力學圖象等力學主干知識串在一起,衍生出經典的力學問題,備受高考關注．本文結合典型實例,分類解析傳送帶模型中常考的幾類問題．

1 傳送帶上的動力學問題

動力學問題基于牛頓運動定律與運動學規(guī)律,從力與運動的角度對物體進行分析研究．對傳送帶上的物體的受力分析,關鍵是對摩擦力Ff的分析．傳送帶上的物體可受靜摩擦力或滑動摩擦力的作用,摩擦力的方向需結合物體的運動狀態(tài)來判斷．在經過臨界狀態(tài)(物體與傳送帶等速)時,物體受到的摩擦力(大小及方向)可能發(fā)生突變,力的變化會導致物體的運動狀態(tài)發(fā)生改變,物體在傳送帶上可能做單一方向的直線運動，也可能做往返直線運動,即使是做單一方向的直線運動，物體的加速度也可能發(fā)生改變,出現臨界狀態(tài)與極值問題,使問題更具復雜性;有時物體的臨界狀態(tài)還隱含在圖象或文字敘述中,使問題具有一定的隱蔽性．

1.1 傳送帶上物體運動分析

圖1

A.物塊B先做勻加速直線運動,后與傳送帶保持相對靜止

B.物塊B最終一定能追上物塊A

C.在t=0.24 s時,A、B物塊速度大小相等

D.在t=5.4 s前,A、B兩物塊之間的距離先增大后不變

aB=g(sin 37°+μBcos 37°)=10 m·s-2,

物塊A開始下滑的加速度

aA=g(sin 37°+μAcos 37°)=12 m·s-2,

圖2

1.2 傳送帶與運動圖象的結合

(1)傳送帶的速度大小v0;

(2)傳送帶的長度L;

(3)物體A、B、C與傳送帶間的動摩擦因數及C從傳送帶左端P到右端Q所用的時間tC．

(2)v-t圖線與t軸圍成圖形的面積表示物體的位移,由圖乙知物體A的位移大小xA=36 m,故傳送帶的長度L=36 m.

1.3 傳送帶上的劃痕長度

圖3

(1)物塊A由傳送帶頂端滑到底端經歷的時間;

(2)物塊A、B在傳送帶上顯示的劃痕長度之比．

物塊A與傳送帶共速后,由牛頓第二定律有

mgsin 37°-μmgcos 37°=ma2,

代入數值得a2=2 m·s-2.

(2)在物塊A的第一個加速過程中,物塊A在傳送帶上顯示的劃痕長度為L1=v帶t1-x1=0.45 m.

在物塊A的第二個加速過程中,物塊A在傳送帶上的劃痕長度為

所以物塊A在傳送帶上顯示的劃痕長度為LA=L2=1 m.

由分析知物塊B的加速度與物塊A在第二個加速過程的加速度相同,從傳送帶頂端加速到底端所需時間與t2相同．物塊B在傳送帶上的劃痕長度為

故物塊A、B在傳送帶上的劃痕長度之比為LA∶LB=1∶1.

2 傳送帶上的功能問題

功是能量變化的量度,不同性質的力做功對應不同形式能的變化．傳送帶模型中的功能分析如表1所示．

表1

圖4

(1)系統因摩擦產生的熱量;

(2)傳送帶多消耗的電能;

(3)物體的最終狀態(tài)及該狀態(tài)后電動機的輸出功率．

物體相對傳送帶向下運動的距離Δx1=x1+v0t1=21 m.

物體與板碰撞后,以速度v1反彈,由于v1>v0,故反彈后物體開始相對傳送帶向上滑,受到的摩擦力方向沿傳送帶向下,設物體沿傳送帶向上做勻減速運動的加速度大小為a2.

物體相對傳送帶向上運動的距離Δx2=x2-v0t2=0.2 m.

物體相對傳送帶向下運動距離Δx3=v0t3-x3=4 m;整個過程中物體相對帶運動距離

Δx=Δx1+Δx2+Δx3=25.2 m．

或畫出如圖5所示物體和傳送帶運動的v-t圖象(設沿傳送帶向上為正方向),由兩圖線與坐標軸所夾的面積可得相對位移的大小：

則Δx=Δx1+Δx2+Δx3=25.2 m.

從而得系統因摩擦產生的熱量

Q=μmgcosθΔx=100.8 J.

圖5

(2)傳送帶多消耗的電能是因為傳送帶要克服物體的摩擦力做功,它與傳送帶對地運動的位移有關．在物體向下加速運動和相對傳送帶向下運動的減速階段,帶受到的摩擦力對傳送帶做負功消耗電能,在物體相對傳送帶向上運動的減速階段,帶受到摩擦力對傳送帶做正功,減少電能損耗．則

ΔE電=-Ff(x帶1-x帶2+x帶3)=
-μmgcosθ(v0t1-v0t2+v0t3)=-76.8 J,

即傳送帶多消耗的電能為76.8 J．

第(1)問中物體相對傳送帶的運動有三個階段,第一與第三個階段物體相對傳送帶向下滑動,第二個階段物體相對傳送帶向上滑動．在這三個階段中物體相對傳送帶運動的距離通過勻變速運動規(guī)律分段求出,但選取傳送帶為參考系或通過v-t圖象的物理意義來求較為簡潔．同時我們可以看出,在有往返的運動過程中兩物體間的相對運動的路程(距離)不等于相對運動的位移大小．

第(2)問關于驅動傳送帶運轉的電動機多消耗的電能,其實質是傳送帶要克服物體的摩擦力做功,它與摩擦力大小、方向及傳送帶對地運動的位移有關．要注意到在物體向下加速運動和相對傳送帶向下運動的減速階段,傳送帶受到的摩擦力對傳送帶做負功,電動機驅動傳送帶勻速轉動,因此電動機要額外消耗電能;同理,在物體相對傳送帶向上運動的減速階段,傳送帶受到的摩擦力對傳送帶做正功,減少電能損耗．

第(3)問關于物體最終運動狀態(tài)的判斷是一個難點．突破此難點仍然需要正確地對物體進行受力與運動過程分析,從力與運動、功與能的觀點來尋找運動過程的本質特征,發(fā)現規(guī)律,通過聯想、類比的方法,推斷物體的最終狀態(tài)．物體與傳送帶因滑動摩擦而產生的熱量Q=Ffx相對,這里x相對是物體與傳送帶相對運動的距離(或路程),不一定等于相對位移的大小．