傳送帶模型常考問題分類解析

◇ 湖北 許 文

傳送帶是力學問題中的一個經典模型,它能將物體的受力分析、運動過程分析、力與運動的關系、功與能的關系、運動學圖象與動力學圖象等力學主干知識串在一起,衍生出經典的力學問題,備受高考關注．本文結合典型實例,分類解析傳送帶模型中常考的幾類問題．

1 傳送帶上的動力學問題

動力學問題基于牛頓運動定律與運動學規律,從力與運動的角度對物體進行分析研究．對傳送帶上的物體的受力分析,關鍵是對摩擦力Ff的分析．傳送帶上的物體可受靜摩擦力或滑動摩擦力的作用,摩擦力的方向需結合物體的運動狀態來判斷．在經過臨界狀態(物體與傳送帶等速)時,物體受到的摩擦力(大小及方向)可能發生突變,力的變化會導致物體的運動狀態發生改變,物體在傳送帶上可能做單一方向的直線運動，也可能做往返直線運動,即使是做單一方向的直線運動，物體的加速度也可能發生改變,出現臨界狀態與極值問題,使問題更具復雜性;有時物體的臨界狀態還隱含在圖象或文字敘述中,使問題具有一定的隱蔽性．

1.1 傳送帶上物體運動分析

圖1

A.物塊B先做勻加速直線運動,后與傳送帶保持相對靜止

B.物塊B最終一定能追上物塊A

C.在t=0.24 s時,A、B物塊速度大小相等

D.在t=5.4 s前,A、B兩物塊之間的距離先增大后不變

aB=g(sin 37°+μBcos 37°)=10 m·s-2,

物塊A開始下滑的加速度

aA=g(sin 37°+μAcos 37°)=12 m·s-2,

圖2

1.2 傳送帶與運動圖象的結合

(1)傳送帶的速度大小v0;

(2)傳送帶的長度L;

(3)物體A、B、C與傳送帶間的動摩擦因數及C從傳送帶左端P到右端Q所用的時間tC．

(2)v-t圖線與t軸圍成圖形的面積表示物體的位移,由圖乙知物體A的位移大小xA=36 m,故傳送帶的長度L=36 m.

1.3 傳送帶上的劃痕長度

圖3

(1)物塊A由傳送帶頂端滑到底端經歷的時間;

(2)物塊A、B在傳送帶上顯示的劃痕長度之比．

物塊A與傳送帶共速后,由牛頓第二定律有

mgsin 37°-μmgcos 37°=ma2,

代入數值得a2=2 m·s-2.

(2)在物塊A的第一個加速過程中,物塊A在傳送帶上顯示的劃痕長度為L1=v帶t1-x1=0.45 m.

在物塊A的第二個加速過程中,物塊A在傳送帶上的劃痕長度為

所以物塊A在傳送帶上顯示的劃痕長度為LA=L2=1 m.

由分析知物塊B的加速度與物塊A在第二個加速過程的加速度相同,從傳送帶頂端加速到底端所需時間與t2相同．物塊B在傳送帶上的劃痕長度為

故物塊A、B在傳送帶上的劃痕長度之比為LA∶LB=1∶1.

2 傳送帶上的功能問題

功是能量變化的量度,不同性質的力做功對應不同形式能的變化．傳送帶模型中的功能分析如表1所示．

表1

圖4

(1)系統因摩擦產生的熱量;

(2)傳送帶多消耗的電能;

(3)物體的最終狀態及該狀態后電動機的輸出功率．

物體相對傳送帶向下運動的距離Δx1=x1+v0t1=21 m.

物體與板碰撞后,以速度v1反彈,由于v1>v0,故反彈后物體開始相對傳送帶向上滑,受到的摩擦力方向沿傳送帶向下,設物體沿傳送帶向上做勻減速運動的加速度大小為a2.

物體相對傳送帶向上運動的距離Δx2=x2-v0t2=0.2 m.

物體相對傳送帶向下運動距離Δx3=v0t3-x3=4 m;整個過程中物體相對帶運動距離

Δx=Δx1+Δx2+Δx3=25.2 m．

或畫出如圖5所示物體和傳送帶運動的v-t圖象(設沿傳送帶向上為正方向),由兩圖線與坐標軸所夾的面積可得相對位移的大小：

則Δx=Δx1+Δx2+Δx3=25.2 m.

從而得系統因摩擦產生的熱量

Q=μmgcosθΔx=100.8 J.

圖5

(2)傳送帶多消耗的電能是因為傳送帶要克服物體的摩擦力做功,它與傳送帶對地運動的位移有關．在物體向下加速運動和相對傳送帶向下運動的減速階段,帶受到的摩擦力對傳送帶做負功消耗電能,在物體相對傳送帶向上運動的減速階段,帶受到摩擦力對傳送帶做正功,減少電能損耗．則

ΔE電=-Ff(x帶1-x帶2+x帶3)=
-μmgcosθ(v0t1-v0t2+v0t3)=-76.8 J,

即傳送帶多消耗的電能為76.8 J．

第(1)問中物體相對傳送帶的運動有三個階段,第一與第三個階段物體相對傳送帶向下滑動,第二個階段物體相對傳送帶向上滑動．在這三個階段中物體相對傳送帶運動的距離通過勻變速運動規律分段求出,但選取傳送帶為參考系或通過v-t圖象的物理意義來求較為簡潔．同時我們可以看出,在有往返的運動過程中兩物體間的相對運動的路程(距離)不等于相對運動的位移大小．

第(2)問關于驅動傳送帶運轉的電動機多消耗的電能,其實質是傳送帶要克服物體的摩擦力做功,它與摩擦力大小、方向及傳送帶對地運動的位移有關．要注意到在物體向下加速運動和相對傳送帶向下運動的減速階段,傳送帶受到的摩擦力對傳送帶做負功,電動機驅動傳送帶勻速轉動,因此電動機要額外消耗電能;同理,在物體相對傳送帶向上運動的減速階段,傳送帶受到的摩擦力對傳送帶做正功,減少電能損耗．

第(3)問關于物體最終運動狀態的判斷是一個難點．突破此難點仍然需要正確地對物體進行受力與運動過程分析,從力與運動、功與能的觀點來尋找運動過程的本質特征,發現規律,通過聯想、類比的方法,推斷物體的最終狀態．物體與傳送帶因滑動摩擦而產生的熱量Q=Ffx相對,這里x相對是物體與傳送帶相對運動的距離(或路程),不一定等于相對位移的大小．