深諳極限思想，活用微元方

◇ 內蒙古 劉漢明 劉鎖霞

所謂極限思想,就是指在某個方向上或者某個范圍,一個指標不斷逼近某個預設特定值的過程,是一個動態過程．這個預設的特定值可以是極小值,也可以是極大值．某個指標可能能夠達到這個極值,抑或只能無限趨近它．極限思想是用極限概念分析問題和解決問題的一種數學思想．微元法是先將整體無限分割為眾多微小的“元過程”,從而將非物理模型變成理想化模型,然后累加求和．

高中物理中某些概念的提出、某些實驗設計的原理和一些物理定理定律的拓展研究等,都需要借助極限思想和微元法．

首先，我們了解一下與極限思想有關的物理概念和物理名詞．

在物理學中,很多概念的提出都必須借助極限思想來完成．一般涉及“瞬時”的概念,就意味著要將時間等物理量無限細分,例如一段時間可以被無限分割后成無窮多個時刻;一段時間內或一段位移內的平均速度、加速度或者功率、平均感應電動勢等被無限分割后會出現某一時刻或某一位置的瞬時速度、瞬時加速度、瞬時功率、瞬時感應電動勢等.當然,有些概念也涉及對空間的分割,如將一段位移無限分割會出現不同空間的位置，將一段電流無限分割后會出現電流元等．

其次，體會極限思想在實驗原理設計上的妙用．

在物理實驗中,人們雖然無法取到極限,但是卻可以想辦法去接近極限．光電門就是一個很好的例子：采用極窄的遮光條通過傳感器來測量其遮光時間,以求獲得更便捷、更準確的瞬時速度,它要優于測速度的其他實驗方法，如頻閃照片法測速度、打點計時器測速度等．

最后，非特殊運動情形下的物理規律的定量表達和物理公式的表述,有時也需要用到極限思想及微元方法來助推思維的發展．

無論是運動學還是電磁學,很多定律都是可以由極限思想及微元方法論證的,這也更加驗證極限思想以及微元方法的重要性,下面我們按照方法分類論證．

1 圖象面積法(微元法)

圖1

用圖象面積來求某些物理量的大小(如圖1),是有關極限思想的重要考點,一般要滿足橫縱坐標物理量的乘積能表示一個新的物理量,如s=vt，W=Fs,U=Ed等．

物體做初速度為v0,加速度為a的勻加速直線運動,求物體經過t時間的位移.

圖2

圖3

同理不難論證:彈簧彈力做功和彈性勢能公式(以彈簧恢復原長的過程為例).

彈簧伸長量變小的過程,W彈>0,由動能定理得W彈=Fx=ΔEk,由微元法求解面積得

特別提醒: 1)以上分析告訴我們,無論物體做怎樣的直線運動,畫出它v-t的圖象,位移就是與x軸圍成的面積,但是要注意速度是矢量,所以這里的面積是有正負之分的．同理,由W=Fs、v=at可知，W和v也可以通過F-s、a-t圖象的面積進行求解,不過同樣要注意物理量的標矢性．

2)有時所要求解面積的圖形并不規則,可以考慮先求出函數解析式,再用定積分法進行求解．

圖4

圖5

2 圓和球的無限分割

在求解與曲線、曲面、球體相關的物理問題時,往往要用到“化曲為直”的極限思想．

1) 向心加速度公式是在幾百年前由惠更斯提出的,下面我們來感受一下向心加速度公式的論證過程．

圖6

2) 力學和電磁學“化曲為直”的典型案例.

圖7

對圓的分割自古有之,而大多數都是分解圓弧,把圓看作一個正n邊形,其中n趨于正無窮,對于此時的圓，弦長與弧長相等．無獨有偶,除了惠更斯外,我國偉大的數學家祖沖之也運用這種方法算出了圓周率．

力學中“化曲為直”的典型應用就是滑動摩擦力做功的求解,經過“化曲為直”的極限思想結合微元法,容易得出:水平粗糙地面上運動的物體,滑動摩擦力做功Wf=Ffs，其中s是對地路程.

而電磁學部分“化曲為直”思想的典型應用是彎曲金屬導線(化曲為直)切割磁感線發電.

求證:半圓形導線在垂直紙面的磁場中以速度v水平切割時,感應電動勢大小E=2Brv．

圖8

證明:將圓弧無限分割,每一小段近乎為線段．如圖8,取出一小段進行分析有E=BΔlvcosθ,而Δlcosθ為該“線段”在AB上投影的有效長度,如此將每一段有效投影匯總,就得出E=2Brv．

3) 球類問題無限分割法.

求證:在勻質球層的空腔內任意位置處,質點受到球殼層引力的合力為零,即∑F=0．

圖9

證明:如圖9所示,一個勻質球層可以等效為無限多厚度可以不計的勻質球殼．任取一個球殼,設球殼內有一質量為m的質點,在P(任意位置)處,以質點所在位置為頂點,做兩個底面積足夠小的對頂圓錐．這時,兩圓錐底面可以視為平面．

設空腔內質點到兩圓錐底面中心的距離分別為r1、r2,兩圓錐底面的半徑為R1、R2,底面單位面積質量為ρ．根據萬有引力定律,兩圓錐底面對質點的引力可以表示為

根據相似三角形對應邊成比例,有R1∶r1=R2∶r2,則兩個萬有引力之比為

因為兩引力方向相反,所以引力的合力為零．

以此類推,球殼上其他任意兩對應部分對質點的合引力為零,將整個球殼對質點的合引力積分后為零,故由球殼組成的球層對球殼內任意質點的合引力也為零,即∑F=0．

上述證明拓展了規律適用的范圍,它遵從了由特殊到一般的普適性拓展思路．

最后，我們呈現一組用微元法解題的典型例子.

3 典例分析

分析動能定理是力對空間的積累效應,是功與能之間關系構建的橋梁,它能靈活地解決變力做功的問題．

圖10

如圖10所示，當一個物體受到的合力為恒力,以最簡單的情況為例,分析物體運動過程.

當一個物體受到合力為變力時,將“位移”無限分割,在趨近于無限小的位移Δs中,物體所受合力可認為不變,則此時

以此類推

疊加求和得

拓展后的結論:變力做功動能定理仍然適用．

圖11

分析動量定理是力對時間的積累效應,是沖量和動量變化關系的紐帶,它可以解決變力對時間的積累問題．

圖12

當一個物體受到的合力為恒力(如圖12),仍然以最簡單的情況為例,對物體運動過程進行分析.由牛頓第二定律得F=ma,由運動學公式得vt=v0+at,聯立得Ft=mvt-mv0,即在恒力問題中動量定理成立.

當一個物體受到合力為變力時,將“時間”無限分割,在趨近于無限小的時間Δt中,物體所受合力近乎不變,則此時F1Δt=mv1-mv0,F2Δt=mv2-mv1,以此類推FnΔt=mvn-mvn-1.

疊加求和得

I合=F1Δt+F2Δt+…+FnΔt=mvn-mv0.

拓展后的結論:動量定理對于變力作用問題仍然適用．

圖13

特別提醒: 微元法最大的難點在于先找到要無限分割的對象,是位移、時間,還是其他的物理量,這取決于最終我們要求解的物理量是什么,這是我們要格外注意的地方．

圖14

將線框下落時間t無限分割,每小段近乎勻速,由動量守恒定律得

…

匯總求和得

其中每一段近乎勻速的位移累加有

v1Δt+v2Δt+…+vnΔt=s,

解得

總之,運用極限思想和微元法解題時,其步驟可概括為:對于被考查的未知狀態量,先設法構思一個與它有關的變量,確認無限個此變量的和就是所求的未知量，最后用極限計算得到結果．對于被考查的未知過程量,則用微元法求和來解決．熟悉極限思想,善于運用微元法,對于理解和掌握物理概念、定律、定理，解答物理問題很有幫助．