解決E-x、φ-x圖象問題的必備知識和思想方法

◇ 北京 趙?，F

E-x和φ-x圖象,即場強和電勢與位置關系的圖象,是高考要求必考的兩個圖象．圖象蘊含著豐富的信息,若沒有一定的必備知識和思想方法做基礎和支撐,考生往往不能順利解決相關問題．本文通過具體實例和應用,對破解兩圖象問題的方法進行詳細介紹和分析．

1 解決兩圖象問題的必備知識、思想方法

1.1 明晰E和φ正負值含義、判斷E和φ變化情況(或走勢)

E的正負代表方向:E>0(或E<0),表示E的方向與正方向相同(或相反);絕對值|E|表示E的大小:|E|越大(或越小),表明場強越大(或越小)．φ的正負,表示電勢的高低(大小)．

例如,圖1和圖2分別為不同電場中,沿x軸方向的場強E和x軸上各點電勢φ與坐標x的關系圖象:1)圖1中，x1、x2處的場強分別沿-x方向、+x方向;x1處的場強大于x2處場強;圖2中，φ0<0、φ2>0、x1處的電勢φ1=0,有φ0<φ1<φ2;2)圖1中，順著+x方向看,E先沿-x方向逐漸變大，到x=0附近突然方向改變為沿+x方向再逐漸減小;圖2中，沿x方向，φ先增大后減小(x2處電勢最高)．

圖1 圖2

1.2 利用圖象上已知點的坐標

由圖象上已知點的坐標,再結合相關物理規律(公式、結論等),就可求出某個(或某些)待求量，判斷出某個(或某些)待求量的變化情況．

Ep2=φ2·q．

1.3 由φ-x圖象判斷場強E的大小和方向

1)定性判斷E的方向:根據φ-x圖象的走勢以及φ的正負,確定x軸上不同范圍內各點電勢的大小;再由“沿電場方向電勢越來越低(或逆電場方向電勢越來越高)”,判斷各點場強的方向．

圖2中,隨著x的增大，在0x2范圍內,φ減?。试?x2范圍內,E沿+x方向．

2)定量判斷E的大小|E|:φ-x圖象中,圖象上任一點切線斜率的絕對值|k|表示E的大小:|k|越大(越小),表示|E|越大(越小)．

圖3

證明如下: 如圖3所示,M、N為電場中x軸上任意兩個足夠近的點(圖中兩點的間距已畫得過分夸張),可認為這兩點在坐標軸方向的場強大小|E|相等．

若M、N的電勢分別為φM、φN,由U=E·d(各量均取正值),則|φN-φM|=|E|·(x2-x1),故x軸上任一點沿坐標軸方向的場強大小

圖2中,x1處的電勢φ1=0,但過點(x1,0)圖象的切線斜率并不等于零,即該點的場強不等于零;從x1到x2,圖象上各點切線斜率的絕對值逐漸變小,故由x1到x2,場強逐漸減?。?/p>

1.4 由E-x圖象判斷電勢φ的高低

1)定性判斷:根據E-x圖象中縱坐標E的正負,確定并用帶箭頭的線段表示出x軸上各點電場方向，再由“沿電場方向電勢越來越低”,進而判斷各點φ的高低．

圖4

例如,在圖1中x<0和x>0范圍內,E分別為負值和正值,因此x軸上各點的電場方向如圖4帶箭頭的線段所示,即從O點向左或向右電勢均越來越低．

2)定量判斷:E-x圖象與x軸之間圍成的“面積”(取正值),等于與“面積”左、右邊界橫坐標對應點的電勢之差(取正值)．

圖5

證明如下: 在圖5的E-x圖象上任取兩個靠得足夠近的點P、Q(兩點的間距已畫得過分夸張),可認為這兩點的縱坐標E相等,若兩點對應的橫坐標之差Δx=x2-x1,則圖象與橫軸在Δx范圍內圍成的“矩形面積”(圖中陰影部分，直線x=x1、直線x=x2分別是“面積”的左、右邊界)ΔS=E·Δx,得|ΔS|=|E|·|Δx|．

將足夠多的ΔS相加、足夠多的Δφ相加,就得到圖象與橫軸圍成的“面積”S、與S左右邊界橫坐標對應點的電勢之差φ左-φ右,故|S|=|φ左-φ右|．

2 應用舉例

圖6

A.Ea∶Eb=4∶1 B.Ec∶Ed=2∶1

C.Wab∶Wbc=3∶1 D.Wbc∶Wcd=1∶3

類似地,對選項C、D也要利用點的坐標:把試探電荷+q由電勢為φ1的位置1移到電勢為φ2的位置2,電場力做功W12=q(φ1-φ2),所以有Wab∶Wbc=(φa-φb)∶(φb-φc),φa、φb、φc可由圖象的縱坐標得出,故選項C正確,選項D錯誤．

該題利用了圖象上點的坐標并結合相應物理規律進行分析、求解．

圖7

A.q1和q2帶有異種電荷

B.x1處的電場強度為零

C. 負電荷從x1移到x2,電勢能減小

D. 負電荷從x1移到x2,受到的電場力增大

也可定性判斷:負電荷-q0從x1移到x2,即從低電勢移到高電勢處,屬于逆電場方向移動,電場力做正功,電勢能減小．

選項D:由F=E·(-q0)=-Eq0可知,要判斷負電荷受到的電場力F是增大還是減小,只要判斷場強E的大小如何變化即可(負號只表示F的方向)．從x1移到x2,圖象上各點切線斜率的絕對值減小，場強E減小,所以負電荷受到的電場力減小,選項D錯誤．

若不知該公式,則由上文“0

x2處圖象切線斜率的絕對值為零,即q1和q2在x2處的合場強為零;q1在x2處的場強沿-x方向,所以q2在x2處的場強必沿+x方向．

再用反證法證明q2不可能帶負電:假設q2帶負電,則q2只有位于x>x2范圍內,x2處的場強才可能為零;而x>x2范圍內圖象切線斜率的絕對值逐漸減小,場強不斷減小，電場線變得越來越疏,即負電荷q2不可能位于x>x2范圍內,故q2必為正電荷．

圖8

A.O點的電勢最低

B.x2點的電勢最高

C.x1和-x1兩點的電勢相等

D.x1和x3兩點的電勢相等

方法1x>0和x<0區域,E分別為正值和負值,電場方向則分別沿+x方向和-x方向,所以從O到x1、到x2再到x3點的電勢依次降低(從O到-x1電勢也降低),故選項A、B、D均錯誤．用排除法可知選項C正確．

方法2只分析選項C:要比較x1和-x1兩點的電勢高低,借助“中間點O”,又由于涉及電勢大小是否相等的問題,故用定量判斷法較方便．

假設圖象與x軸在0φ1、φO>φ-1,故|S1|=φO-φ1、|S2|=φO-φ-1,所以φ1=φ-1,故選項C正確．

對于F-x圖象(F為電場力)、Ep-x圖象(Ep為電勢能),可將F、Ep分別看成q·E、q·φ,即縱坐標分別看成E、φ的q倍,這樣,就可把F-x等圖象轉化為這兩個基本圖象來處理．