基于“數學理解”的高中數學教學設計

福建省莆田擢英中學 康杉杉

很多高中生都將數學學科視為高中階段最難學的一門學科。高中數學知識本身就具備極強的抽象性和邏輯性，理解起來難度很大，同時高中生數學學習方式的低效也是造成學生學習困難的原因之一。因此，高中數學教師應關注課堂教學的優化設計，根據高中生認知基礎和思維能力，靈活調控課堂教學節奏，充分激活學生的數學探究思維，提高學生的課堂參與效度，引導學生以“數學理解”的學習手段建構數學認知體系，提高學生數學學習的能力。

一、以梳理知識脈絡為起點

高中數學學科教學內容的連貫性極強，各章節間或多或少都存在一定聯系，如果學生出現某一章節的學習短板，很容易影響到整個數學知識網絡的構建，限制學生數學新知學習的實效性。教師以遷移學習理念為指導，根據教學內容的編排設計、難度高低，鏈接與之相關的數學舊知，幫助學生快速定位學習內容在認知體系中的位置，理清其中的數學知識脈絡。高中生已經具備了較強的數學信息分析能力，能夠通過自主學習認識到一些顯性的知識聯系，但對蘊含于知識背后的潛在的聯系及數學思想、數學方法的挖掘能力稍顯欠缺。教師應著重關注這些隱性的知識脈絡，將舊知回顧、習題鞏固等活動設計滲透到各個教學環節當中，為學生的遷移學習建立立足點。

人教版高中數學教材同一章節編排的內容都是由基礎知識開始，層層遞進展開的，具有很強的科學性。教師要深入理解編者的編排意圖，設置必要的前置性學習活動，喚醒學生已有的舊知。例如：“空間點、直線、平面之間的位置關系”單元共分成了平面、空間中直線與直線的位置關系、空間中直線與平面的位置關系、平面與平面的位置關系四個小節。教師展開“平面與平面的位置關系”教學內容時，在導學案中設置了有關前三小節內容的總體回顧，強化學生對“平面”概念的基本認知，引領學生回憶直線與直線、直線與平面學習中主要討論的位置關系，以這些舊知內容作為遷移學習的基礎，組織學生展開類比分析。這些數學舊知剛剛學習不久，學生印象比較深刻，很快就完成了導學案的問題解答，這樣，將主要課堂時間集中到類比學習活動中，課堂學習效率顯著提高。

該單元的教材編排不僅在數學知識內容上有著緊密聯系，而且各小節的數學學習方法也具備很強的相似性。教師對接前三小節的學習內容設計前置學習活動，啟發學生結合已有認知，運用之前的類比學習方法展開新知探究，保持了數學學習的思維連貫性，降低了數學新知的理解難度，能夠簡化學生數學思維認知過程，引導學生建構空間中的點、直線、平面之間位置關系的完整知識網絡。

二、以呈現思維過程為支點

基于“數學理解”的數學學習活動，不能簡單地停留在學習結果的死記硬背、生搬硬套上，而是要激活學生主動思維意識，讓學生可以親歷數學知識探究、建構的思維過程。這要求教師擺脫“知識本位”的教學觀念，將教學目光由學習結果轉向學習過程，豐富學生數學探究學習體驗，提高學生課堂參與效度。對于簡單的數學探究課題，教師可為學生提供必要的認知素材后，直接投放給學生，組織學生展開自主探究，發揮學生數學學習主觀能動性。而對于認知難度相對較大，探究方向多元呈現的課題內容，教師應細化數學學習活動，為學生展示探究成果、提出課堂問題提供機會，暴露學生的認知短板，并及時修正學生數學思維過程，幫助學生從正面突破數學理解的思維難點，推動學生數學知識的動態建構。

要保證數學思維指導的針對性，教師必須轉變教學立場，多從學生的思維角度出發，對學生數學課堂的動態學習表現做好預設，提高學生探究學習過程的指向性。例如：考查學生有關拋物線習題的解題能力時，教師投放這樣一道題目：已知拋物線y2=2px（p ＞0），一直線經過該拋物線焦點，且與拋物線相交，兩個交點坐標的縱坐標為y1，y2，試證明：y1y2=-p2。該問題解題難度不高，學生根據題意畫出函數圖像后，可以很快理清其中的數學關系，條理清晰地完成證明。教師在此基礎上進行習題變式，將題干中的“過焦點”變式為“過定點（a，0）”，要求學生探究該問題能得出什么數學結論。從學生解題步驟來看，大部分學生都是設直線方程后與拋物線方程聯立，消掉x，得出y1y2為常數的結論。

教師以拋物線的典型習題為載體展開數學訓練活動，引導學生在典型問題的分析、解決中，鞏固拋物線習題的一般解題思路，強化學生基本的解題能力。再通過習題變式提高解題難度，拓寬習題考查視角，使學生充分感受問題鏈分析解決時的思維過程，展現數學習題的多重變化，幫助學生把握該類問題的考查本質，真正理解其中的數學方法。

三、以構建個性認知為要點

學生在嘗試理解數學知識、應用數學知識的過程中，必然會主動對接自己現有的數學認知體系，按照自己的學習習慣建構新知。這種主動學習行為有利于塑造學生的個性化認知，拓展學生的數學思維廣度，提高學生的分析能力和創造能力。教師有意識地創設一些開放性較強的數學學習課題，以小組合作學習的形式展開探究學習活動，鼓勵學生大膽表達自己的個性見解，與其他小組成員一起分析這些數學構想的可行性，避免學生因思維定式陷入認識誤區中。提高數學課堂的開放性，意味著學生錯誤的數學理解也會變得更多，教師要將數學課堂視為容許學生犯錯的學習平臺，并把這些錯誤資源作為課堂教學的契機，組織二次探究學習活動，培養學生再創造的高階數學思維能力。

有關取值范圍的數學習題是高中階段各個知識領域都經常涉及的重要題型。這些問題涉及很多數學知識的細節把握，能夠充分考查學生數學知識的綜合運用能力。教師在學生問題出現后，關注學生錯誤成因，找到學生解題思維存在的缺陷，組織反思學習活動，深化學生知識理解，培養學生認真審題、勤于反思的解題習慣。

四、以自主創新應用為重點

“學以致用”是高中數學學科教學的最終目標，學生學習效果的好壞，也可以從學生數學應用能力高低上直觀體現出來。考查學生數學應用準確性最直接的方法無疑是設置教學內容相關的數學習題，但單一、死板地采用習題訓練方式，容易增添學生學業負擔，打擊學生訓練活動的積極性，也會將學生思維框死在固定的題目模式中，不利于提高學生數學解題思維靈活性。教師基于學生實際學習情況，清楚地認識到學生深層次理解數學知識的關鍵點落在哪里，有針對性地設計一些創新應用活動，提高數學應用思維起點，激發學生挑戰心理，挖掘學生數學學習潛力。創新應用活動需建立在一定的知識基礎上，教師可以選擇在各單元、各小節的階段性學習結束后投放。

設計自編問題是創新應用活動的主要形式，教師可以組織學生自主設計和解決自編問題，強化學生數學訓練意識，轉變學生被動接受的數學學習地位。例如：學習了“空間幾何體的表面積和體積”的相關知識后，學生已經熟練掌握柱體、錐體、臺體、球體，以及之前學習的正方體、長方體、圓柱、圓錐等多種空間幾何體的表面積和體積的計算方法。教師在專題復習課中放手給學生，組織學生自主設計一些幾何體拼接后的組合圖形，標注出必要的圖形信息，計算它們的表面積和體積后，與小組成員交換自編題目，完成其他成員設計的題目。學生全程都保持著較高的專注力，積極參與到題目編寫和解答活動中，課堂訓練效果顯著提高。

自編問題活動中，學生編寫的題目質量并不一定要非常高，只要學生參與到問題的編寫和解答過程中，必然能夠加深學生數學知識的學習印象，鍛煉學生數學問題的分析能力和解決能力。教師在“空間幾何體的表面積和體積”單元學習后展開自編習題的創新應用活動，為學生靈活應用不同圖形的表面積、體積計算公式搭建交流平臺，錘煉了學生數學解題能力，升華了學生數學思維品質。

對高中數學學科教學來說，改善學生數學學習方法，提高學生數學認知能力與數學知識講授同樣重要。教師加快教學觀念轉變，真正從學生的視角審視教學內容，優化數學知識演繹手段，使其更加契合學生的數學認知習慣，從而彰顯學生數學學習主體地位，促使學生在數學新知學習中碰撞出更多思維的花火，不斷發展學生數學認知水平，提高學生數學課堂學習效率，事半功倍地完成數學課堂學習任務。