一種新的壽命分布
——Rayleigh-Logarithmic 分布

田 兵

（包頭師范學院 數學科學學院，內蒙古 包頭 014030）

如何用恰當的概率分布模型描述研究對象的壽命，是可靠性統計中一個十分重要的研究內容。人們通常采用失效率來刻畫所研究對象壽命的概率分布。王蓉華等[1]介紹了失效率圖形常見的特點。Adamidis K 和Loukas A S[2]、Coskun Kus[3]、Rasoo Tahmasbia 和Sadegh Rezaeib[4]分別研究了EG 分布（指數-幾何分布）、EP 分布（指數-泊松分布）和EL 分布（指數-對數幾何分布）。通過研究，學者們發現這三種分布的失效率函數具有單調遞減的特點。同時他們分別給出了這三種分布的生存函數、失效率函數和矩以及得到了這些分布參數的EM 算法的迭代方程、極大似然估計的漸近方差和協方差，并進行了數值模擬。高艷紅[5]對RG 分布（瑞利-幾何分布）進行了類似的研究。

受到上述研究工作的啟發，本文提出了一種新的帶有兩個參數的壽命分布——Rayleigh-logarithmic 分布（RL 分布），研究了其概率密度、生存函數、失效率函數、分位數、矩等性質，同時給出了RL 分布參數的極大似然估計的漸近方差——協方差陣和EM 算法的迭代方程組。

1 Rayleigh-logarithmic 分布

由(2)式所確定的分布為RL 分布。RL 分布是一個由Rayleigh 分布與logarithmic 分布混合在一起得到的分布。

2 Rayleigh-logarithmic 分布的性質

2.1 概率密度 f(x, θ)的性質

2.1.1 f(x, θ)的極限

圖1 是RL 分布的f(x,θ)在不同條件時的圖形。從圖1 可以看出，RL 分布的概率密度是先增大后減小的。

圖1 不同條件下f(x, θ)單調性示意圖

2.2 RL 分布的分位數和k 階矩

由(1)式，根據分位數的定義

可以得到RL 分布的分位數、中位數分別為

其中polylog 是Polylogarithms 函數[6]，定義如下：

2.3 生存函數、失效率函數和平均剩余壽命

由(1)式、(2)式，可得RL 分布的生存函數、失效率函數分別為

由于RL 分布h(x,θ)、h ′( x , )θ的表達式較復雜，所以很難對h(x,θ)的單調性作出精確的判斷。圖2呈現的是RL 分布h(x,θ)在不同條件下的單調性圖形。從圖2 可以發現：當p 非常小時，h(x,θ)的單調性較復雜；當p 較大時，h(x, θ)的單調遞增。總的來看，當x＞1 時RL 分布的失效率函數h(x, θ)單調遞增的。

圖2 h(x, θ)不同條件下的單調性示意圖

RL 分布的平均剩余壽命函數為

其中Γ 是不完全伽馬函數[7]，定義如下：

3 RL 分布參數的估計

3.1 極大似然估計的漸進方差和協方差

利用矩法和極大似然法得到RL 分布的參數估計是非常困難的。下面利用RL 分布的似然函數，根據大樣本的漸近正態性，得出RL 分布的極大似然估計的漸進方差和協方差。設

是從RL 分布中抽取的樣本，由(2)式可以得到RL分布的似然函數L(θ, yobs)。其對數似然函數為

根據大樣本的漸近正態性，參數θ 的極大似然估計漸近于均值為θ，方差－協方差陣為J-1(θ)的二元正態分布，其中

為觀測值的Fisher 信息陣，為Fisher 信息陣中的元素[8]。對(6)式和(7)式求導，可得

相關的期望值如下：

上述期望值的具體計算過程見附錄。由附錄公式(12)、(13)與(14)可得

3.2 RL 分布參數的EM 算法

EM 算法最早由Dempster A P，Laird N M，Rubin D B[9]提出，常用于求含有隱變量的概率模型中的極大似然估計。EM 算法稱為期望最大化算法（Expectation Maximization Algorithm），一般由兩步組成：（1）E 步：求期望（Expectation）；（2）M 步：求極大值（Maximization）。下面利用EM算法求RL 分布的參數β，λ 的估計[10]。

令(xi,zi; i=1,2,…,n)為完全數據集，它是不能被完全觀測，只能觀測到其中的xi, yobs=(xi, i=1,2, …, n)。完全數據的概率密度為

由完全數據的概率密度函數f(x,z;θ)，可以得到其似然函數L(x,z|θ)。相應的對數似然函數為

4 結論

提出了一種新的帶有兩個參數的壽命分布——Rayleigh-logarithmic 分布（RL 分布），得到其概率密度f(x,θ) 在p=0.25，0.5，0.75，β=1；p=0.25，β=1，2，3 時的圖形以及失效率函數h(x, θ)在p=0.005，β=1、3、6 和p=0.2，β=1、3、6 時的圖形。還得到了RL 分布的分位數、矩等性質、極大似然估計的漸近方差——協方差陣和EM 算法的迭代方程組。

附錄：

下面給出RL 分布極大似然估計的漸進方差和協方差中相關的期望值的計算過程。