高中生數學建模能力發展狀況調查研究
—— 以核心素養為視角

唐麗艷

（深圳實驗學校 中學部，廣東 深圳 518026）

1 問題提出

《高中數學課程標準（2017 年版）》（以下簡稱《課程標準（2017 年版）》）中凝練了數學學科核心素養，六個數學學科核心素養在數學學科本質上蘊涵了六種數學關鍵能力，《普通高中課程方案（2017 年版）》的培養目標也突破了對數學知識的考察，開始由知識取向的評價走向能力取向的評價，這種能力就是數學學科核心素養下的數學關鍵能力。在2019 年的高中數學教育中已經開始對數學關鍵能力進行測評。本研究主要基于高中生數學建模能力，旨在解決如下問題：第一，高中生數學建模能力整體水平如何；第二，高中生數學建模能力在橫向維度與縱向水平的整體狀況如何；第三，不同年級之間學生的數學建模能力在橫向維度是否存在差異；第四，不同年級之間學生的邏輯推理能力在縱向水平是否存在差異。這些問題的解決，可以在一定程度上為高中生數學建模能力的培養與評價提供數據支撐與策略引導。

2 數學建模能力測評的研究述評

數學建模能力測評的相關研究主要集中在以下幾個方面。

第一，關于數學建模能力模型研究，一般來說，可以根據其水平劃分，將其概括為“三水平模型”“四水平模型”與“多水平模型”三類。“三水平模型”采用低、中、高水平對數學建模能力進行刻畫。很多國家課程標準均采用三水平劃分方式，如我國《課程標準（2017 年版）》和德國《高中數學教育標準》都將數學模型劃分了三個水平，但是兩者又有所不同。前者從情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思四個層面對數學建模素養劃分[1]，后者更側重情境的轉變，從給定的情境（水平Ⅰ）到變化的情境（水平Ⅱ），最后到復雜的情境（水平Ⅲ）[2]。“四水平模型”采用不合格、合格、良好以及優秀進行刻畫。例如PISA2012 提出數學化能力，即數學建模能力，并按照其發展階段劃分為0-3 四個水平[3]。林子植基于SOLO 分類法，結合《課程標準（2017 年版）》中關于數學建模水平的劃分，將數學建模能力分為前模型、單結構模型、關聯結構模型與拓展結構模型四個水平[4]，這與PISA2012 的劃分有所不同，從學生的回答表現出發，對學生建模能力的水平進行概括。“多水平模型”泛指超過四水平的數學建模能力模型，例如，徐斌艷等根據數學建模過程的階段將數學建模能力劃分為五個水平[5]，徐斌艷通過中德學生建模能力比較，又將其拓展為六個水平[2]。

第二，數學建模能力構成要素研究。例如Galluzzo 給出了數學建模的關鍵要素，即確定問題、作出假設、定義變量、獲得解決方案、分析與模型評價、報告結果[6,p193-194]。

第三，數學建模能力的評價方式研究。評價方式有很多種，例如Frejd 測試題評價法、動手模擬評價法、建模項目評價法、檔案袋評價法和建模競賽評價法[7]，目前的研究以結果性評價為主，例如Galluzzo 構建一份數學建模評價量表，并據此評價學生數學建模能力[6,p193-194]，Lingefj?rd &Holmquist 比較了同伴評價和家庭作業兩種建模能力評價方法的異同[8]，徐斌艷等以“縫制足球”為例調查了我國6-9 年級學生的數學建模能力[5]。

3 數學建模能力分析框架的構建

《課程標準（2017 年版）》指出，數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構造模型解決問題的素養。從數學關鍵能力的視角來看，數學建模的外顯能力表現包括：“在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題。”[9]根據《課程標準（2017 年版）》中關于數學建模素養水平的闡述，交流與反思更多需要在課堂教學中進行觀察，為了便于分析學生數學建模能力與《課程標準（2017 年版）》之間的一致性，從《課程標準（2017 年版）》中數學建模的能力視角出發，對以上關于數學建模能力測評的相關研究進行梳理、總結與概括，選取可量化測評的水平描述，構建了本研究數學建模能力分析框架，橫向維度考慮數量關系與空間圖形，縱向水平涵蓋模仿與舉例、構造與求解、轉譯與檢驗三個水平。表1為三個水平的劃分結構，其操作簡單，便于對學生數學建模能力進行測評，受到國內外學者和機構的大力支持和廣泛運用。

表1 高中生數學建模能力縱向水平分析框架

3.1 研究假設的厘定

本研究基于以下兩個假設：其一，高中生數學建模能力的發展在一定程度上會受到年級的影響，學生數學建模能力會隨著年級的升高而改變，教師專業素養、教學風格以課外輔導等因素不在本研究考慮范圍之內；其二，高中生數學建模能力的高低可以通過學生測試卷的總平均分來反映，得分越高說明其數學建模能力越強，學生數學建模能力整體狀況還受到各維度測評狀況的影響。

3.2 研究方法的確定

根據分析框架與研究假設，本研究主要采用專家咨詢法與問卷調查法。借助專家咨詢法對初構的水平進行修訂、檢驗，確保其科學性與合理性。專家結構包括高等院校的數學教育理論研究者、中學教研員以及教學一線的專家型教師，這樣的結構對于高中生數學建模能力水平的劃分既有理論的指導，又能從教學實踐出發，符合學生在實際學習中的表現。問卷調查法是為了探究高中生數學建模能力發展狀況，確定高中生數學建模能力達成情況，考察不同年級的學生的數學建模能力在橫向維度與縱向水平的具體表現。

3.3 測評問卷的編制

本研究通過對已有測試題目的甄選與改編，形成高中生數學建模能力測評問卷并對其進測評，在測評問卷開發過程中，根據題型設計的基本原理與題項選擇的基本原則。由于本研究測量高中生數學建模能力，這是一種綜合型數學關鍵能力，注重學生的模仿與舉例、構造與求解、轉譯與檢驗，更多反映學生的思維過程，考察學生在實際情境中解決問題的能力，而非簡單的知識記憶和技能訓練，因此，所選題型與題項依據《課程標準（2017 年版）》要求控制題項難度，依據教學內容減少知識干擾，依據學生特征確定題項來源，依據水平劃分調節題項梯度。除此之外，對高中生數學建模能力進行測評的難點還在于，不能單純以學生所學知識為載體，這樣難以體現其建模能力，所以，盡量選取與所學知識相關不大的內容編制測試卷，以主觀題為主，經過三次調整，最終形成測評問卷，問卷中包含18 個測評題項，每個水平設計3 個題項，數量關系與空間圖形各9個題項。

表2 各年級測評問卷信度表

在正式施測之前，對測評問卷的信度與效度進行檢驗。測評問卷的信度可見表2，各水平題項信度均大于0.7，問卷年整體信度大于0.8，測評問卷的ɑ信度指標基本達到了測量學要求，各分測評之間具有很高的一致性，適宜作為測量工具進行團體測量。

效度主要考察內容效度與結構效度，在內容效度上，采用專家咨詢的方式，結合一線特級教師的教學經驗來提升內容效度。在結構效度上，采用因素分析法，測評問卷旋轉后的因素負荷矩陣和累積解釋變異量表明，提取的三個因素（模仿與舉例、構造與求解、轉譯與檢驗）的特征值分別是2.751、2.134、1.672，累積解釋變異量為61.127%，對整個測評問卷的有效程度較好，數學建模能力三個水平的結構具有很好的穩定性和獨立性，問卷的內部結構較為理想，其建構效度較好。

通過相關分析來檢驗各水平之間是否存在相關性，相關系數矩陣如表3 所示。結果顯示，三個水平之間的相關系數在0.419～0.612 之間，表現為中等相關。各水平與問卷總體的相關系數在0.533～0.738 之間，均表現為中等相關或強相關，達到測評標準。

表3 各水平之間的相關系數矩陣

3.4 研究樣本的遴選

表4 高中生樣本分布表

考慮樣本的代表性與方便性，以唐山、承德、石家莊、衡水、張家口等為樣本城市，根據每個樣本城市學校的生源水平、師資狀況、軟件條件、硬件設施、學校管理等因素，將樣本學校分成三類：一類是優質學校，二類是中等學校，三類是薄弱學校。每個樣本城市選取3 所樣本學校，再從每類樣本學校中選取高一至高三的中等年級的學生作為測試對象，共發放測評問卷2 269 份，回收測評問卷2 269 份，有效問卷2 056，有效率是90.6%，學生樣本分布如表4 所示。

3.5 數據分析的標準

本次調查采用現場測評的方式，由于考慮高考復習的影響，高三年級學生在第一學期期末進行測評，高一、高二學生在第二學期期末進行測評。測評時長為50 分鐘，整個測評過程中，教師不能對學生進行指導或提示，學生測評問卷的評分由一名高校教師和兩名高中數學教師共同完成。每道測評題項最低分為0 分，最高分為5 分，包含0、1、2、3、4、5 六個分值，問卷滿分為90 分。評分方式采用相互獨立評分與仲裁相結合，先由兩名高中數學教師獨立完成評分，如果出現分歧較大的題項或者分數，再由第三名教師進行仲裁，教師評分在95%以上一致，一致性程度較高。

4 研究結果

本研究主要利用SPSS22.0 進行數據處理，主要得到以下研究結果。

4.1 高中生數學建模能力的發展態勢

圖1 高中生數學建模能力整體發展狀況圖

由圖1 可以發現，高中生數學建模能力整體呈現先增后降的發展趨勢，高一年級學生的平均分是25.69 分，高二年級學生的平均分是27.42 分，高三年級學生的平均分是26.76 分，三個年級學生的得分均未達到合格標準（滿分為90 分，合格分數為54 分）。三個年級學生數學建模能力的得分率分別是28.5%、30.4%、29.7%，高二年級學生得分率最高，高三年級得分率次之，高一年級得分率最低，三個年級學生在數學建模能力整體得分均不高。

4.2 高中生在橫向維度與縱向水平的發展態勢

4.2.1 高中生數學建模能力在橫向維度上的發展態勢

從圖2 可以看出，高中各年級學生數學建模能力在空間圖形維度的得分要高于數量關系維度的得分，在兩個維度上均表現為高二年級學生得分最高，高三年級學生得分次之，高一年級學生得分最低，與學生整體發展狀況相吻合。在兩個維度上，高中生數學建模能力呈現先增后降的發展趨勢。在空間圖形維度上，三個年級得分分別為13.04、14.11、13.61，得分率分別為29.0%、31.4%、30.2%，三個年級學生在空間圖形維度得分率在30%左右，得分率較低；在數量關系維度上，三個年級得分分別為12.65、13.31、13.15，得分率分別為28.1%、29.6%、29.2%，得分率很低。

圖2 高中生在數學建模能力橫向維度上的發展狀況圖

4.2.2 高中生數學建模能力在縱向水平上的發展態勢

從圖3 可以看出，高中生數學建模能力的測評成績隨著發展水平的升高而遞減，模仿與舉例水平測評成績最高，構造與求解水平測評成績次之，轉譯與檢驗水平測評成績最低。在模仿與舉例、構造與求解兩個水平上，三個年級學生數學建模能力測評成績呈現先增后降的發展趨勢；而在轉譯與檢驗水平上，三個年級學生數學建模能力測評成績隨年級的升高而增長；在模仿與舉例水平上，三個年級學生數學建模能力測評成績依次是11.44、11.67、10.91，得分率分別為38.1%、38.9%、36.4%；在構造與求解水平上，三個年級學生數學建模能力測評成績依次是8.10、8.68、8.28，得分率分別為27.0%、28.9%、27.6%；在轉譯與檢驗水平上，三個年級學生數學建模能力測評成績依次是6.15、7.07、7.57，得分率分別為20.5%、23.6%、25.2%。

圖3 高中生數學建模能力在縱向水平上的發展狀況圖

4.3 不同年級學生的數學建模能力在橫向維度上的差異

為了更好地理解高中生在數學建模能力橫向維度的表現狀況，我們對高中三個年級學生得分進行方差分析，結果如表5 所示，不同年級學生的數學建模能力在數量關系與空間圖形上存在顯著差異。進行t 檢驗，結果表明，高一年級學生與高二年級學生在數量關系（t=-8.72，P＜0.05）、空間圖形（t=-8.40，P＜0.05）上存在顯著差異，高二年級學生與高三年級學生在數量關系（t=-1.91，p＞0.05）上不存在顯著差異，在空間圖形（t=-3.73，p＜0.05）方面存在顯著差異。

表5 不同年級的學生在橫向維度上的差異

4.4 不同年級學生的數學建模能力在縱向水平上的差異

為了了解不同年級學生在數學建模能力縱向水平上的差異，對三個年級學生的縱向水平得分進行方差分析，如表6 所示。不同年級學生的數學建模能力在數量關系與空間圖形上存在顯著差異。進行t 檢驗，結果表明，高一年級學生與高二年級學生在模仿與舉例水平（t=1.33，p＞0.05）上不存在顯著差異，在構造與求解水平（t=2.53，p＜0.05）、轉譯與檢驗水平（t=4.64，p＜0.05）上存在顯著差異，高二年級學生與高三年級學生在構造與求解水平（t=1.95，p＞0.05）上不存在顯著差異，在模仿與舉例水平（t=3.99，p＜0.05）、轉譯與檢驗水平（t=2.72，p＜0.05）上存在顯著差異。

表6 不同年級的學生在縱向水平上的差異

5 研究結論與討論

5.1 高中生數學建模能力發展狀況不理想

高中生數學建模能力發展水平呈現先增后降的發展趨勢，從測驗的得分率來看，高中生數學建模能力得分偏低（28.5%、30.4%、29.7%），整體發展水平并不理想。這與一些研究所取得的結果是一致的，高中生數學建模能力依然是學生的薄弱之處，這可能與學生疏于從事實際問題解決有關。在傳統課堂中，多以基礎知識與基本技能作為教學重點，所涉及的問題情境也是“去情境化”的“理想情境”，導致學生難以從復雜的情境中獲得有用的信息，這是導致學生數學建模能力偏低的一個原因。除此之外，學生的創新意識與遷移意識的缺乏也是其數學建模能力偏低的重要原因，學生整體構造能力較差，難以構建數學模型，這與高中數學課程設置、教學實施、評價方式等有關。因此，如何培養高中生的數學建模能力仍然是我國目前數學教育中亟待解決的重要問題。

5.2 高中生數學建模能力在各水平上呈現非均衡性

高中生數學建模能力在模仿與舉例、構造與求解、轉譯與檢驗三個水平上呈現非均衡發展。從測評成績來看，模仿與舉例水平遠遠好于構造與求解水平、轉譯與檢驗水平。高中生在模仿與舉例、構造與求解、轉譯與檢驗三個水平的平均得分率分別是37.8%、27.8%、23.1%，可以看出，達到模仿與構造水平的學生將近五分之二，學生更多的是模仿、借助所學模型解決簡單問題，對于舉例說明建模的意義及其所蘊含的數學思想表現不夠好。達到構造與求解、轉譯與檢驗兩個水平的學生均不足三分之一，在這兩個水平中，對于學生較難的是構造、檢驗，構造是整個數學建模的內核，要求學生能夠從現實世界中發現關系，并建立模型，而檢驗的效果較差可能與高中數學應用題的教學有關，高中應用題教學強調如何建立模型解決問題，一般不會給學生提供檢驗的機會和空間。

5.3 高中生數學建模能力的培養滯后于課程標準

在研究中我們發現，大部分學生數學建模能力依然處于初級階段，數學建模的重要性仍未引起教師與學生的重視，這也側面反映出課程標準在教學落實中的缺失，高中生實際數學建模能力與《課程標準（2017 年版）》中對數學建模的要求相差甚遠。從學生在數學建模能力測評中的表現，可以很清楚地看到這一點，一方面，學生在數量關系與空間圖形兩個維度的平均得分率僅為30.2%和29.0%，兩個維度表現均較弱；另一方面，高中生數學建模能力在模仿與舉例、構造與求解、轉譯與檢驗三個水平的表現差異較大。目前問題解決是課程變革所強調的重要內容，而數學建模是數學問題解決的重要能力，因此，高中生數學建模能力的培養要緊跟《課程標準（2017 年版）》的要求，關注高中數學課程改革的變化，使高中生在數學建模能力的發展上與國際數學教育保持同步。