幾何畫板優化二次函數圖像與性質的教學

葉少靜

【摘要】幾何畫板憑借其快捷計算，精準作圖，動態演示效果，大量數據處理等優勢，能更好地優化數學教學。運用幾何畫板把抽象的教學內容具體化，直觀化，動態化，更好地把數形結合的數學思想滲透到教學中去。本文結合教學實踐，闡述幾何畫板在二次函數圖像與性質的教學中具體應用，促進幾何畫板和傳統教學的有機結合，更好地擊破教學重難點，提高課堂效率。

【關鍵詞】幾何畫板;動態化;優化

二次函數在初中教學中占據很重要的地位，也是多年中考的熱點之一。其中二次函數的圖像與性質這一節學習顯得尤為重要，可這部分內容比較抽象，在傳統教學中，缺少形象直觀的教學情境，常常遇到老師講不清，學生不容易理解和消化的情況。學生對知識點含糊不清，只能被動接受老師所講的內容，依靠機械式記憶來完成學習任務，沒能達到理想的效果。

二次函數圖像與性質教學中，傳統課堂教學往往采用如下的教學過程：第一步：指導學生用五點作圖法（列表、描點、連線）在練習本上作出幾個典型的二次函數圖像。第二步：引導學生結合所作出的圖像，仔細觀察圖像的特點，猜想函數圖像的基本特征。第三步：通過幾個典型的二次函數圖像，結合剛才的猜想，歸納出函數圖像的性質。

這樣的教學過程也能培養學生觀察，猜想，歸納和概括的能力，讓學生經歷由特殊到一般，再由一般到特殊的過程，符合學生的認知規律.但是在教學實踐中往往遇到以下問題：

1.由于取點過少，學生的作圖常常出現折線，并沒有形成光滑的拋物線。不規范的作圖，不利于后面觀察二次函數圖像與性質。

2.單憑幾個有限的點，學生很難理解二次函數的圖像是拋物線。無法畫出二次函數完整的圖像。

3.僅從幾個典型的函數圖像中，歸納出二次函數圖像的性質。大部分學生很難準確歸納出圖像的性質和變化規律。不容易從靜態的函數圖像，發現其動態的變化關系。理論的說教在這往往沒有說服力。

筆者通過教學實踐發現，幾何畫板能彌補這些不足。在二次函數圖像與性質課堂教學中，充分發揮幾何畫板在數字計算，生成函數圖像以及動態呈現函數圖像變化的優勢，把幾何畫板融合到傳統的教學中，使學生更全面理解函數圖像的生成以及圖像變化與系數之間蘊含的關系，有助于學生對此知識的理解更深刻。下面以九年級上冊《二次函數圖像與性質》一節為例，談談幾何畫板對于二次函數圖像與性質教學的幫助。

教學目標： 1.學生能夠使用描點法畫出二次函數y=ax2的圖像;2.學生通過對二次函數y=ax2圖像的觀察分析，理解其性質特征。

活動一：借助幾何畫板，通過跟蹤點的軌跡，動態演示二次函數生成過程。初步了解二次函數的圖像。

具體步驟如下：1.在菜單欄上選擇[繪圖]菜單，下拉菜單中選擇[定義坐標系]，在畫板上創建坐標系;2.在x軸上構造一個點A，度量其橫坐標，把標簽修改為x;3.在菜單欄上選擇[數據]菜單，計算2x2;4.在菜單欄上選擇[繪圖]菜單，繪制點P（x，2x2）;5.選中點P， 在菜單欄上選擇[顯示]菜單，選擇跟蹤繪制點。拖動點A，觀察點P的運動路線。選擇生成點P的動畫;6.在菜單欄上選擇[繪圖]菜單，繪制新函數y=2x2，在觀察函數圖像與動點p經過的路線。

設計意圖：幾何畫板動態地呈現無數個點形成拋物線的過程，點動成線的過程一目了然，讓學生體會函數生成的過程。靜態的函數關系通過幾何畫板動態地呈現出來，學生更容易接受和理解。

活動二：老師接著追問所有二次函數的圖像都是拋物線嗎？這時我們可以借助幾何畫板強大的計算功能和繪制函數功能。

讓學生親自動手操作，任意輸入一個二次函數解釋式，利用幾何畫板繪制函數圖像，再讓學生觀察所得函數圖像是否都為拋物線。

設計意圖：借助幾何畫板創造了一個讓學生動手，親身體會的平臺，學生可以通過幾何畫板快速繪制任意的二次函數，從大量的圖像中得出二次函數圖像是拋物線，不再局限于有限個典型的函數圖像，這樣更有說服力，解除學生的疑惑。這個教學過程不再是學生被動地接受知識，而是主動地觀察和發現規律，彌補了傳統教學上的不足。

活動三：讓學生在學案紙上，做出二次函數y=x2和y=-x2的圖像。

通過幾何畫板演示二次函數的生成過程，學生大致了解二次函數圖像，再讓學生動手作圖，學生的作圖會比較接近拋物線，也更順利完成作圖。

設計意圖：

通過描點法做出二次函數y=ax2的圖像是本節課的教學目標之一，讓學生動手作圖，更深刻地理解二次函數的圖像，也為后面研究其圖像性質打下基礎。

活動四：1.觀察y-3x2，y=6x2，y=0.5x2的圖像，分別從圖像的形狀，開口方向，對稱軸，最大（小）值，增減性方面考慮，引導學生找出幾個函數圖像的共同點。

猜想：二次函數y=ax2（a<0）圖像性質

（1）圖像成軸對稱圖形，對稱軸為Y軸。

（2）開口方向：向上。

（3）對稱軸左邊：y隨x的增大而減小;對稱軸右邊：y隨x的增大而增大。

（4）頂點坐標：（0，0） 。

（5）最低點（最小值）。

通過幾何畫板動態演示，驗證學生的猜想：（1）構造圖像上的一點A'，把y軸標記鏡面，再作點A的反射點A'。觀察發現點A與A'都在二次函數圖像上，說明該圖像關于y軸對稱。度量A與A'的坐標，運動時可以觀察兩個對稱點的坐標變化。

（2）選取一個點B，度量橫坐標和縱坐標。當移動點B時，觀察其坐標的變化。在對稱軸左側，橫坐標變大，縱坐標變小;在對稱軸右側，橫坐標變大，縱坐標也變大。

（3）當點B移動到頂點時，縱坐標最小，取最小值。

2.利用幾何畫板強大的計算功能和函數生成的功能。任意新建幾個二次函數y=ax2（a<0）的圖像。學生小組合作，用類比的數學方法，探究并歸納其圖像性質。

老師引導學生歸納二次函數圖像的性質，并填下表：

設計意圖：讓學生經歷“觀察、猜想、驗證、總結”的過程，鼓勵學生主動參與，提高學生動手能力。小組合作的形式，借助幾何畫板驗證函數圖像性質的猜想，在老師的引導下，歸納和總結函數圖像性質，從中感受數形結合的數學思想。

活動五：利用幾何畫板探究系數a對二次函數y=ax2（a<0）圖像的影響。

具體步驟如下：1.在菜單欄上選擇[繪圖]菜單，在下拉菜單中選擇[定義坐標系]，在畫板上創建坐標系;2.在x軸上構造一個點C，過點C作x軸的垂線，在x軸上取一點A，度量其縱坐標，把標簽修改為a;3.在菜單欄上選擇[數據]菜單，計算y=ax2并繪制新函數。老師拖動點A運動，讓學生觀察運動過程中，a的數值變化，以及系數a的變化對函數圖像產生的影響。

老師演示完后，讓學生動手操作，體會當改變a的取值，y=ax2圖像將如何變化。

歸納：（1）系數a決定二次函數圖像開口方向，當a<0，開口向上;當a<0，開口向下。

（2）a的絕對值大小決定開口大小：a的絕對值越大開口越小;? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a的絕對值越小開口越大。

設計意圖：學生動手操作，通過大量的圖像變化演示，親身體會到系數a的變化對函數圖像形狀的影響。

以上五個教學活動，環環相扣，高效地完成本節課的教學任務。借助幾何畫板可以將原來靜止的函數圖像動起來，從而讓學生更直觀地看到二次函數與其圖像之間的對應關系，輕松化解了本節課的教學重難點。我國著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微;數形結合百般好，隔離分家萬事休。”提醒教師要設法把抽象難懂的理論知識轉化為形象直觀，便于學生發現和接受，幫助學生化解學習難點，激發學生的學習興趣和熱情。在老師的指導下，讓學生在學習中探索，在學習中發現，在學習中總結。

作為一線教師，要走在教學的前沿，不斷鉆研教材的同時，學習和接納一些創新的教學手段和教學方法。讓多媒體教學更好地輔助傳統教學，兩者優勢互補，相輔相成。

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