應用“問題解決”課堂模式探究數學史融入課堂之正弦定理

伍海艷

近年來，HPM視角下的數學教學日益受到中學數學教育界的關注，許多中學數學教師開始開展HPM實踐和案例開發。其一，在中學開展HPM課堂教學并取得好的效果，筆者認為首先要讓課程實施者自己理解到引入數學史是必要的、有用的，可以用來解決問題增強教學效果的；其二，需要足夠的資源以支撐我們進行HPM探索；其三，作為教師，針對不同的內容應該研究出不同的融入方法。如果每節課都是走一樣的程序，引入歷史，導入新知，不僅會引起視覺的疲勞，也失去了引入數學史的意義。所以，本案例以正弦定理的教學為例，談談筆者對HPM的理解。

首先，筆者認為將數學史融入課堂是有必要的、有用的。從當前正弦定理的教學看，無論是教科書的編寫還是教師的教學，對其歷史發展是普遍忽視的，這在一定程度上影響了學生的認知過程。學生在學習過程中會產生很多疑惑，比如正弦定理跟“弦”有關嗎？正弦定理中，三角形的邊與其對角的正弦之比為什么與外接圓直徑有關，為什么會想到外接圓？透過正弦定理發展的歷史，我們不難找到上述問題的答案。所以，筆者認為，在教學過程中適當使用歷史材料，能夠有效解決學生的疑問。

其次，深入研究本內容特點，尋求既生動有趣又高效的課堂教學方式，即采用“問題解決”課堂模式將數學史融入課堂。問題解決能力是“創新精神與實踐能力”在數學教育領域的具體體現，是一種重要的數學素質。在課堂教學中，應使學生在學習中成為發現問題和解決問題的主體，使教學過程成為學生主動獲取知識、發展能力、體驗數學的過程。問題解決”課堂教學模式的操作程序為：1.創設問題情境，激發學生探究興趣；2.嘗試引導，把數學活動作為教學的載體；3.自主解決，把能力培養作為教學的長遠利益；4.練習總結，把知識梳理作為教學的基本要求。基于以上理論及課堂需要，筆者將分三部分進行探究，并在適時位置融入數學史。

一、創設問題情境，引入課題

問題：1.如圖(1)，設A、C兩點在河的兩岸，只有米尺和量角設備，不過河你可以測出它們之間的距離嗎？

為了測定河岸A點到對岸C點的距離，在岸邊選定1 公里長的基線AB，并測得∠ABC=120o，∠BAC=45o，如圖(2)如何求A、C兩點的距離？我們需要弄清楚三角形邊角之間的關系。

二、活動探究，先學生小組活動，然后展示答案

活動1：探究直角三角形邊角之間的關系

思考：在直角三角形ABC中，各個角的正弦如何表示？如圖(3)

圖(3)

思考：這個問題對一般的三角形成立嗎？

活動2：在銳角三角形中是否有相同的結論，如圖(4)

圖(4)

作BE⊥AC，AD⊥BC

請在△ABD、△ACD中用斜邊與三角形的角的關系表示出AE，

請在△ABE、△ACE中用斜邊與三角形的角的關系表示出BD；

答案：AD=ABsin∠ABC=ACsin∠ACB

同理BE=ABsin∠BAC=ACsin∠ACB

活動3：鈍角三角形是否有相同的結論？經證明亦有

活動4：小結，由此得出正弦定理：在任意一個三角形中，各邊與所其對角的正弦值的比相等，即滿足關系式

活動5：定理另證(讓學生小組合作完成，請學生上臺講解)

如圖，分別在CA、BA的延長線上取點G、E，使CG=BE=1如圖(5)，分別以C、B為圓心CG和BE為半徑作弧，交直線于M、N，分別過G、A、E作直線BC的垂線，垂足分別為H、D、F，請利用三角形相D似的比例關系來證明

圖(5)

解：易得GH=sinC，EF=sinB

記b=AC，c=AB，

兩式相除，結合CG=BE知：

此方法是13世紀阿拉伯數學家和天文學家納綏爾丁的證明方法，即同徑法。

活動6：題后反思：(1)比較兩種證法，有什么共同的地方？哪種方法更容易？

(2)在第2種證法中為什么作弧，不作弧能否證明？以此問題作為引入數學史的橋梁。

三、引入數學史，這部分用微課形式展示

十八世紀之前，正弦始終被認為是已知圓內與同一條弧有關的線段，受此影響，對正弦定理的證明基本上都是通過作圓的弦來實現的。直到1748年，歐拉在《無窮分析引論》中指出“三角函數是一種函數線與圓半徑的比值”。比如，以角的頂點為圓心，以某定長為半徑作圓，由角的一邊與圓周的交點P向另一邊作垂線PM后，所得線段MP(即函數線)與OP相互之間的比值即該角的正弦。歐拉的定義實際上將正弦定義為直角三角形的直角邊與斜邊的比值，這一發展立即帶來了正弦定理證明的簡化。如圖(6)：sinB=AD∶AB，sinC=AD∶AC 立即就有sinB∶sinC=AC∶AB這一證明這是數學簡潔美的典范，不足的是脫離了外接圓，失去了正弦定理的完整形式。

圖(6)

那么正弦定理的完整形式是什么呢？以此問題作為橋梁進一步引入數學史。還是從希帕克斯說起。

活動7：思考：添加外接圓怎么證明正弦定理？

引導回答：作弦的垂徑或者輔助直徑。

方法1：設R為三角形ABC的外接圓的半徑如圖(7)作OE⊥BC，OF⊥AC，OG⊥AB……

圖(7)

方法2：如圖(8)，過C做外接圓的直徑CD，連接BD，則三角形CBD為直角三角形∠A=∠D，sinA=sinD=

圖(8)

數學史知識：我國清代數學家梅文鼎在他的著作《平三角舉要》中也證明了正弦定理，以上的證明方法一就是梅文鼎的證明思路之一。16世紀法國數學家韋達(1540～1603)也獨立發現了外接圓法。20世紀初，“外接圓法”演化為“輔助直徑法”。而在上面的方法二也就是輔助直徑法。

本文通過對正弦定理的教學，對任意三角形邊角關系問題的探究，對正弦定理的來源和歷史證明方法的鑒賞及正弦定理應用的例題設置，引導學生自主探索知識的生成，讓學生思之有向，思之有序，思之有理，思之有創，讓學生不斷感悟，使課堂教學有了深度、廣度。實踐了素質教育的八字方針：精講、善導、引思、激趣，讓學生在合作中學習，在探究中創新，在互動中深化，使學生在整個學習中成為真正的主人。