基于貝葉斯概率模型的纖維混凝土梁受剪承載力預測

張廣泰，張 梅，張路楊，曹銀龍，陳 勇

(新疆大學建筑工程學院，烏魯木齊 830046)

0 引 言

鋼纖維混凝土梁受剪承載力預測是國內外學者研究的熱點之一，但由于其影響因素眾多、受力復雜，以及混凝土材料自身具有較大的離散性，至今尚未形成統一的受剪理論體系[1-2]。鋼纖維混凝土梁受剪承載力計算方法主要為半經驗半理論公式和基于力學模型的簡化計算公式，但由于存在著主觀不確定性，導致在預測承載能力時會產生偏差[3-5]。而貝葉斯理論通過引入影響鋼纖維混凝土梁受剪因素的修正系數能較好的考慮主觀、客觀不確定性的影響，并能更加準確的預測構件的承載能力。

目前，在國內外已開展大量關于鋼纖維混凝土梁受剪承載力的研究[6-10]。Ding等[6]對鋼纖維混凝土梁進行了受剪承載力試驗研究，探討了鋼纖維對梁的撓度、開裂、極限荷載和破壞形態的影響，以及鋼纖維與箍筋的共同作用，并提出了一種基于修正壓力場理論的鋼纖維混凝土梁受剪承載力計算方法。焦楚杰等[7]研究了鋼纖維體積率、剪跨比、配箍率及混凝土強度等級等因素對鋼纖維輕骨料混凝土梁受剪承載力的影響，并在試驗結果基礎上, 通過數據回歸分析, 建立了梁斜截面受剪承載力計算公式。徐旭煒等[8]研究了鋼纖維摻量對混凝土梁受剪承載力的影響，并對我國CECS38:2004和歐洲RILEM TC162-TDF規程中鋼纖維混凝土梁受剪承載力計算公式及計算結果進行了對比分析。熊毅[9]以鋼纖維體積率為變量,對鋼纖維再生混凝土梁的受剪承載力進行了試驗研究，根據受剪承載力隨鋼纖維體積率的變化趨勢擬合出相應關系的數學公式，并結合有關的國家規范總結出鋼纖維再生混凝土承載力的理論規律和計算方法。Lim等[10]研究表明摻入鋼纖維可減少構件所需的受剪箍筋數量，且鋼纖維和箍筋的組合能較好滿足梁延性和抗剪強度的要求，同時通過綜合考慮混凝土強度、纖維體積率、剪跨比及配箍率等的影響，建立了預測鋼纖維混凝土梁抗剪強度的分析方法?？傮w而言，上述研究建立的受剪承載力公式均考慮了混凝土強度、剪跨比及纖維體積率等因素的影響，但均為基于確定性模型建立的，忽略了縱筋、混凝土強度離散性、和尺寸效應等因素的隨機性，導致計算結果離散性較大，計算精度和適用性有限。因此，有必要采用貝葉斯概率模型，綜合考慮主觀、客觀不確定性的影響，建立鋼纖維混凝土梁受剪承載力計算方法。

基于此，本文采用貝葉斯理論，結合先驗模型和106組試驗數據信息，建立了鋼纖維混凝土梁受剪承載力概率模型，并將得到的計算值與試驗值和我國《纖維混凝土結構技術規程》CECS 38:2004、歐洲RILEM TC 162-TDF規程中建議的計算公式計算結果進行了對比分析，驗證了此模型的可行性和適用性，為鋼纖維混凝土梁受剪承載力的準確預測提供了理論依據。

1 模型的建立

1.1 貝葉斯理論簡介

貝葉斯假設：參數的先驗分布應在其取值范圍內服從均勻分布。在先驗信息及貝葉斯假設的基礎上，貝葉斯定理表達式為[11]：

(1)

式中：π(θ)為參數θ的先驗分布；f(x|θ)為參數θ的后驗分布。

貝葉斯推斷是基于先驗信息和樣本信息的動態處理過程，其一般模式為：先驗信息⊕樣本信息推出后驗信息，即π(θ)⊕p(x|θ)?π(θ|x)，“⊕”表示貝葉斯定理的作用。

1.2 貝葉斯概率模型建立

以收集到的鋼纖維混凝土梁的受剪承載力先驗模型和數據信息作為先驗信息，并考慮采用貝葉斯理論修正先驗模型的誤差，建立鋼纖維混凝土梁受剪承載力概率模型：

V(x,Θ)=Vd(x)+γ(x,θ)+σε

(2)

式中：x為影響鋼纖維混凝土梁受剪因素的向量形式，其需滿足與公式方差σ2相互獨立的條件；Θ=(θ,σ)為試驗數據經過貝葉斯方法估計得到的模型參數；Vd(x)為現有鋼纖維混凝土梁受剪承載力計算公式；γ(x,θ)為誤差修正項；θ=[θ1,θ2, …,θp]T表示對x的修正系數；σ為修正模型存在的誤差；ε是服從標準正態分布的隨機變量。

用p個函數將誤差修正方程γ(x,θ)線性表示為：

(3)

式中：hi(x)是根據理論和經驗確定的一些基本函數。

將式(2)轉化為對數形式表示為：

(4)

運用貝葉斯最大似然估計法與式(4)進行參數估計，可求得參數的后驗估計。假設p(Θ)為參數Θ的先驗分布，f(Θ)為后驗分布，L(Θ)為試驗數據的最大似然函數，則可得：

f(Θ)=κL(Θ)p(Θ)

(5)

由貝葉斯假設可知：對先驗信息掌握不明確的情況下，參數的先驗分布為[11]：

(6)

在滿足上述內容的基礎上，似然函數可表示為：

(7)

式中：φ(·)為正態分布概率密度函數；Φ(·)為正態分布函數；Vi為試驗值；Vd(xi)為模型計算值。

破壞試驗表示：Vi=Vd(xi)+γ(xi,θ)+σε;

下界破壞表示：Vi

上界破壞表示：Vi>Vd(xi)+γ(xi,θ)+σε。

選取破壞試驗為研究對象，基于上述先驗分布的貝葉斯理論對其中未知參數進行估計，本文的概率模型形式可表示為：

(8)

式中：hi(x)是由鋼纖維混凝土梁受剪承載力影響因素確定。

2 計算分析

2.1 影響因素選定及試驗數據整理

通過查閱相關文獻，對收集到的鋼纖維混凝土梁受剪承載力影響因素進行統計分析，得到以下主要影響因素：混凝土強度、截面尺寸、剪跨比、箍筋配箍率、縱筋配筋率、箍筋屈服強度、纖維體積率及長徑比；故hi(x)可確定為修正常數項h1(x)=ln2[12]，h2(x)=lnfc，h3(x)=lnb，h4(x)=lnh，h5(x)=lnλ，h6(x)=lnρsv，h7(x)=lnρl，h8(x)=lnfyv，h9(x)=lnλf，h10(x)=lnft。

為綜合考慮鋼纖維混凝土梁受剪承載力的各影響因素，根據構件在混凝土強度、截面尺寸、剪跨比、箍筋配箍率、縱筋配筋率、箍筋屈服強度和纖維特征值等方面的差異，從近十年國內外相關文獻[2,10,13-21]中收集了106組試驗數據，其中混凝土抗壓強度范圍為37.8～122.4 MPa，混凝土抗拉強度范圍為2.50～5.96 MPa，梁寬范圍為100～400 mm，梁高范圍為150～700 mm，剪跨比范圍為1～4，箍筋配箍率范圍為0%～1.41%，縱筋配筋率范圍為1.29%～4.93%，箍筋屈服強度范圍為0～641.9 MPa，纖維特征值范圍為0～1.2，具體參數見表1。

2.2 后驗模型建立

以我國纖維混凝土結構技術規程(CECS 38:2004)和歐洲材料與結構聯合會標準(RILEM TC 162-TDF)提出的鋼纖維混凝土梁受剪承載力計算公式作為概率模型公式中的先驗模型，采用貝葉斯理論分別對其因不確定因素產生的偏差進行修正，從而得到基于不同先驗模型的鋼纖維混凝土梁受剪承載力概率模型。

以我國CECS 38:2004建議的鋼纖維混凝土梁受剪承載力計算公式為先驗模型：

(9)

式中：h0為截面有效高度；βv為鋼纖維對鋼筋鋼纖維混凝土構件斜截面上與混凝土有關的受剪承載力的影響系數；Asv為箍筋截面積；s為箍筋間距。

基于CECS 38:2004建議的先驗模型，結合表1中的試驗數據，進行貝葉斯參數估計后得到的未簡化概率模型如下式：

(10)

表1 試驗數據Table 1 Experimental data

續表1

注：fc為混凝土抗壓強度；ft為混凝土抗拉強度；b、h為截面尺寸；λ為剪跨比；ρsv為箍筋配箍率；ρl為縱筋配筋率；fyv為箍筋屈服強度；λf纖維特征值，λf=Vflf/df，Vf為纖維體積率，lf/df為纖維長徑比；Vtest為剪力實測值。

以歐洲RILEM TC 162-TDF建議的鋼纖維混凝土梁受剪承載力計算公式為先驗模型：

VRd,3=Vcd+Vfd+Vwd

(11)

Vcd=[0.12K(100ρlffck)1/3+0.15σcp]bh0

(12)

Vfd=KfKτfdbh0

(13)

(14)

基于RILEM TC 162-TDF建議的先驗模型，結合表1中的試驗數據，進行貝葉斯參數估計后得到的未簡化概率模型如下式：

(15)

2.3 模型簡化

本文的10個受剪承載力影響因素中，部分因素對其影響不明顯，故可采用貝葉斯參數剔除法剔除影響較小hi(x)以達到簡化公式的目的，具體步驟如下：

(1)計算參數θ=[θ1,θ2, …,θp]和σ的后驗估計值。

(2)根據參數θ的后驗分布計算每個hi(x)的變異系數C：

C=σi/ui

(16)

式中：σi為hi(x)的標準差；ui為hi(x)的均值。

(3)依次剔除θi對應的變異系數最大的hi(x)，直至模型參數σ的后驗估計值顯著增大則停止參數剔除。具體參數剔除過程見表2和表3。

表2 基于中國規程的參數剔除過程Table 2 Parameter culling process based on Chinese specifications

表3 基于歐洲規程的參數剔除過程Table 3 Parameter culling process based on European specifications

由表2和表3可知，采用不同規程中建議的受剪承載力計算公式為先驗模型進行參數剔除過程中，均依次剔除了對鋼纖維混凝土梁承載力影響較小的h9(x)、h6(x)、h8(x)、h5(x)、h10(x)和h4(x)，當剔除h7(x)時，σ2值顯著增大，故h7(x)、h3(x)、h2(x)及h1(x)對其受剪承載力影響較大，不能剔除?；趦煞N先驗模型的受剪承載力概率模型的簡化公式為：

(17)

(18)

2.4 計算結果及驗證分析

兩種先驗模型及其簡化后的概率模型計算結果見表4，由表可知，試驗值與兩種先驗模型計算值比值的均值為1.361、0.83，方差為0.152、0.06。試驗值與兩種修正后的概率模型計算值比值的均值為1.034、1.024，方差為0.077、0.05，由此可見，修正后概率模型的均值接近于1，且方差較小，能更為精確的預測鋼纖維混凝土梁的受剪承載能力。圖1、圖2為試驗值與修正前的先驗模型計算值及修正后的后驗概率模型計算值的對比分析圖。由圖可知，簡化后的概率模型計算值與試驗值的比值較兩種先驗模型更接近于1，計算值與試驗值的偏差較小，采用不同先驗模型進行貝葉斯估計后的計算值與試驗值比值的整體分布情況相似。說明可采用貝葉斯方法對鋼纖維混凝土梁受剪承載力進行無偏估計，且具有一定的優越性。

表4 試驗計算結果Table 4 Experimental calculated results

續表4

圖1 中國規程修正前后與試驗值對比
Fig.1 Comparison between Chinese procedures before and after revision with test values

圖2 歐洲規程修正前后與試驗值對比
Fig.2 Comparison of European procedures before and after revision with test values

3 結 論

(1)由采用貝葉斯概率模型建立鋼纖維混凝土梁受剪承載力計算公式過程可見，中國CECS 38:2004規程和歐洲RILEM TC 162-TDF規程中建議的計算公式已較好考慮了配箍率、剪跨比、纖維因素以及箍筋屈服強度等的影響。

(2)基于貝葉斯概率模型建立的鋼纖維混凝土梁受剪承載力計算公式的計算值較規程建議公式計算的承載力值更為接近試驗值，且離散性較小，說明采用貝葉斯概率模型建立鋼纖維混凝土梁受剪承載力計算公式具有合理性。

(3)文中建議的受剪承載力計算公式較好利用了先驗模型和試驗數據，避免了試驗數據的離散性對其產生影響，同時可根據試驗數據的不斷積累對建議的受剪承載力計算方法進行實時更新。因此，本文建議的計算方法具有較好的準確性和完備性，且應用范圍更為廣泛。