基于物理意義下的高斯公式教學(xué)探究

李慶容

摘 要 針對大學(xué)數(shù)學(xué)的高斯公式教學(xué)中存在數(shù)學(xué)理論化較重、實際應(yīng)用不強等問題，采用發(fā)現(xiàn)教學(xué)法，緊密聯(lián)系實際物理背景，在矢量分析基礎(chǔ)上，通過發(fā)現(xiàn)、直覺、探究和提取，介紹散度及其在物理上的應(yīng)用，歸納出高斯公式的具體形式，對學(xué)生應(yīng)用能力的培養(yǎng)，具有一定的借鑒意義。

關(guān)鍵詞 發(fā)現(xiàn)教學(xué)法 高斯公式 散度

中圖分類號：G424 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A ? ?DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2020.01.049

Research on Gauss Formula Teaching Based on Physical Meaning

LI Qingrong

（Department of Basic Science， Wuchang Shouyi University， Wuhan， Hubei 430064）

Abstract Aiming at the problems of heavy mathematical theorizing and weak practical application in the teaching of Gaussian formula in college mathematics， the discovery teaching method is used to closely connect with the actual physical background. Based on vector analysis， through the discovery， intuition， exploration and extraction， the introduction of divergence and its application in physics summarize the specific form of the Gauss formula， which has certain reference significance for the cultivation of students' application ability.

Keywords discovery teaching method; Gauss formula; divergence

高斯公式是微積分學(xué)中非常重要的一個公式，思維上繼承了微積分基本公式、格林公式“馭繁于簡”的思想，揭示了曲面積分和三重積分的聯(lián)系，方法上一定程度地解決了曲面積分繁雜的計算問題，形式上統(tǒng)一了與上述兩個公式具有類似的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)形式;物理應(yīng)用上，由高斯公式發(fā)展而來的高斯定理，是靜電場中不可或缺的重要工具。受學(xué)時和專業(yè)的限制，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)上主要側(cè)重于高斯公式的介紹和定理的證明，課后習(xí)題也側(cè)重于計算，較少涉及應(yīng)用，一方面推導(dǎo)過程抽象，不易理解，另一方面學(xué)生覺得數(shù)學(xué)離實際很遠，產(chǎn)生“數(shù)學(xué)無用”的思想，導(dǎo)致學(xué)習(xí)積極性不高，但是在大學(xué)物理等其它學(xué)科的學(xué)習(xí)時又不會用，尤其在對電磁學(xué)相關(guān)問題要用數(shù)學(xué)方法進行處理時，覺得無從下手，成功的用數(shù)學(xué)方法解決問題的時候很少。本文結(jié)合自己的教學(xué)實踐，利用發(fā)現(xiàn)教學(xué)法，探索高斯公式在數(shù)學(xué)課堂上的教學(xué)，為數(shù)學(xué)上針對本次課的教學(xué)改革提供一些有益的參考。

1 發(fā)現(xiàn)教學(xué)法簡介

發(fā)現(xiàn)教學(xué)法，[1]上世紀50年代由美國的教育學(xué)家布魯納首先提出，該方法遵循學(xué)習(xí)規(guī)律，注重思維過程，在教學(xué)實施過程中，不直接把現(xiàn)成的理論成果提供給學(xué)生，而是從學(xué)生好奇、喜究的心理特點出發(fā)，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，學(xué)生根據(jù)教材和教師提供的材料，自己去發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題，成為知識的發(fā)現(xiàn)者而不是被動的接受者。一般操作流程是：首先是創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣;其次是提出問題，形成探究動機;然后是引導(dǎo)觀察、分析比較，提出假說;最后是驗證假說，得出結(jié)論。運用發(fā)現(xiàn)教學(xué)法時，需要強調(diào)四個方面：（1）發(fā)現(xiàn)過程（即“好奇”的過程）;（2）直覺思維（防止過早結(jié)論化）;（3）內(nèi)在學(xué)習(xí)動機（即“喜究”的心理，具有對知識探究的內(nèi)在的興趣）;（4）信息提取（即“歸納提煉”的過程，對新知識加以組織，形成內(nèi)化效果）。

2 發(fā)現(xiàn)教學(xué)法的實施

高斯公式的傳統(tǒng)教學(xué)立足于數(shù)學(xué)角度，從解決曲面積分計算問題入手，引出公式，利用重積分理論進行分析證明，然后舉例應(yīng)用，最后介紹物理上的通量、散度概念，[2]這種教學(xué)方式有一定的不足，缺乏實際背景，主要是就數(shù)學(xué)講數(shù)學(xué)，學(xué)生容易在諸多積分的學(xué)習(xí)中引起混淆，更是不知道在其他方面有何應(yīng)用。針對現(xiàn)行教學(xué)中存在的問題，現(xiàn)利用發(fā)現(xiàn)教學(xué)法，在科學(xué)實施的基礎(chǔ)上，緊扣實際背景，主要從物理意義出發(fā)，對學(xué)生激趣，然后逐步引導(dǎo)學(xué)生進行發(fā)現(xiàn)、探究和提煉，本次設(shè)計由曲面積分的物理意義，即通量出發(fā)，探究閉合曲面通量問題，引出散度概念，由散度和通量的關(guān)系，歸納出高斯公式，這種設(shè)計遵循教育規(guī)律，學(xué)生能夠既理解所學(xué)知識的實際背景，又學(xué)習(xí)了科學(xué)的研究方法，并且掌握了公式的應(yīng)用。具體實施過程如下：

2.1 實施過程

2.1.1 發(fā)現(xiàn)問題——任一點處通量

設(shè)不可壓縮流體的流速為，當通過曲面時，則單位時間內(nèi)通過曲面的通量為：。若為方向向外的閉合曲面，則通量為。現(xiàn)需要研究曲面內(nèi)任一點處的通量，顯然現(xiàn)有公式已不適合。如何合理有效的解決？這時學(xué)生會發(fā)現(xiàn)這樣的問題，也必然想辦法去解決問題。

2.1.2 直覺思維——借助微元法

直覺思維很重要，教師可以略作提示引導(dǎo)，此時就是利用高等數(shù)學(xué)里的微元法思想，借鑒導(dǎo)數(shù)求解瞬時速度的方法，將閉曲面∑所包圍的體積進行劃分，其中點包含在中，其曲面為，則得到點M的通量應(yīng)該為，但無法回避極限的計算困難，必須尋求其它有效方法來解決。又出現(xiàn)了問題，怎么辦？

2.1.3 “喜究”心理——散度定義[3]

教師要鼓勵學(xué)生，進行進一步思考和探索。考慮一個平行于坐標面的微長方體，邊長為，其體中心坐標為（），易知在長方體的表面計算的積分即為六面積分之和。如圖1所示。

考察圖1中標記為的面，易知有。因面中心的坐標為，因此。同理，在其相對的面，有，兩式合并，得

，

利用，變形得

，

兩邊取極限，有

，

其他四個面類似處理可得，于是

，

該結(jié)果表明通量的極限并不依賴于體積的幾何形狀，且這個量是標量，不同點有不同的值，記作，稱為散度。

將哈密爾頓算子與進行數(shù)量積運算，得到。

繼續(xù)考慮由封閉曲面∑包圍的體積 ，將其任意劃分成個微幾何體，為研究方便，本文取內(nèi)部的一個立方體，如圖2所示。易知通過曲面∑的通量應(yīng)等于通過每一個小體積的面的通量之和，即，這里是包圍小體積的面。觀察圖3，可以發(fā)現(xiàn)，除了部分外表面，通過內(nèi)部的立體面的通量會相互抵消，從而通過曲面∑的通量僅來自于這些小立體面的和相加構(gòu)成的面∑。這時獲得了初步的成果，雖然和預(yù)先設(shè)想的不完全一致，但為成功解決本課次問題提供了方向，應(yīng)該繼續(xù)探究下去。

2.1.4 信息提取——高斯公式

將進行變形，得：

，

結(jié)合三重積分的定義，上式有

因為，，從而

，此即為高斯公式的形式，再進行必要的條件完善和補充，即可得到數(shù)學(xué)教材中所給的高斯公式和物理教材上的高斯定理。[4]

2.2 不同坐標系下的散度公式

柱坐標系和球坐標系也是工程中常見的坐標系，實際應(yīng)用也較為廣泛，因此在教學(xué)中有必要拓展一下這兩個坐標系下的高斯公式問題。具體推導(dǎo)過程有一定的繁瑣性，教師可以把其作為參考資料發(fā)放給學(xué)生，讓學(xué)有余力的學(xué)生借鑒和參考，一定程度上也體現(xiàn)了因材施教、分層教學(xué)的理念。具體推導(dǎo)過程如下：

柱坐標系中變量有，設(shè)其對應(yīng)單位向量分別為，，，由正交性及與直角坐標系的關(guān)系，有，或，，。設(shè)，，表示的分量，由于，從而。

球坐標系中變量為，設(shè)其對應(yīng)單位向量分別為，由正交性及與直角坐標系的關(guān)系，有，，或，，。設(shè)，，表示的分量，類似有，從而。

3 結(jié)束語

多元函數(shù)積分學(xué)是大學(xué)物理課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)所涉及到的積分類型比較多，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中普遍感到各類積分交織在一起，容易產(chǎn)生混淆，特別是高斯公式、斯托克斯公式及物理應(yīng)用，更使得學(xué)生對高等數(shù)學(xué)產(chǎn)生畏難情緒，學(xué)生在學(xué)習(xí)大學(xué)物理時又不會應(yīng)用，導(dǎo)致大學(xué)物理的學(xué)習(xí)困難。實際上只要緊密聯(lián)系實際物理背景，采用合理的教學(xué)方法，積極發(fā)揮學(xué)生的主觀探索意識，就能使學(xué)生由厭學(xué)變樂學(xué)。

參考文獻

[1] 布魯納.發(fā)現(xiàn)的行為[J].哈佛教育評論，1961年冬季號.

[2] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2015.

[3] H.M斯徹.散度、旋度、梯度釋義[M].北京：機械工業(yè)出版社，2017.

[4] 姜大華等.大學(xué)物理[M].北京：科學(xué)出版社，2017.11.