“平方根”教學(xué)設(shè)計(jì)與反思*

葉新和 (江蘇省泰州市高港區(qū)教師發(fā)展中心 225300)

1 基本情況

1.1 授課對象

使用蘇科版數(shù)學(xué)教材的八年級學(xué)生，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較好．

1.2 教材分析

1.3 教學(xué)目標(biāo)

(1)了解算術(shù)平方根、平方根的概念，會用根號表示非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根和平方根;

(2)了解乘方和開方互為逆運(yùn)算，會用平方運(yùn)算求一些非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根和平方根;

(3)能用算術(shù)平方根解決一些簡單的實(shí)際問題，形成問題意識，發(fā)展理性精神．

說明關(guān)于知識目標(biāo)的確定，以《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》(以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》)中相應(yīng)要求為依據(jù)．能力目標(biāo)方面，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力以及發(fā)展學(xué)生的理性精神應(yīng)該是貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程始終的，具體到每課時(shí)的學(xué)習(xí)則要把握好分寸．

教學(xué)重點(diǎn) 算術(shù)平方根的概念．

教學(xué)難點(diǎn) 算術(shù)平方根符號表示的必要．

1.4 教學(xué)策略

(1)調(diào)整教材中內(nèi)容的呈現(xiàn)順序，先學(xué)習(xí)算術(shù)平方根知識，再學(xué)習(xí)平方根知識;

(2)創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題;

(3)對于猜測的結(jié)論，能夠說理時(shí)盡可能說理，不能說理時(shí)設(shè)法進(jìn)行驗(yàn)證．

2 教學(xué)過程

(第1課時(shí))

2.1 預(yù)備性活動(dòng)

2.2 探索活動(dòng)1

問題1有的計(jì)算器顯示為“Error”．

“Error”表示什么意思？選擇的數(shù)字具備什么共同點(diǎn)？你有何猜想？換幾個(gè)數(shù)字試試，驗(yàn)證你的猜想．

問題2觀察選擇的數(shù)字以及顯示的結(jié)果，你有何想法或者會提出什么問題？

想法較多時(shí)由簡到繁適當(dāng)梳理，再就結(jié)果為整數(shù)或者一位小數(shù)的情形進(jìn)行觀察、分析，并思考問題3．注意盡可能采用學(xué)生提出的問題展開后續(xù)教學(xué)．

為便于發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，可引導(dǎo)學(xué)生填寫下表：

aa0=01=14 =425 =250.36 =0.36……

2.3 學(xué)習(xí)新知

·算術(shù)平方根概念與表示

·體會概念含義

問題4對于算術(shù)平方根及其符號表示，你能提出什么問題來考考同學(xué)嗎？

如果沒有能夠提出一些問題，可以考慮選用下面的練習(xí)題：

第3題 對于上述問題，你有什么想法或者疑惑嗎？

2.4 探索活動(dòng)2

·感受符號表示的必要

說明該問題屬于計(jì)算器顯示結(jié)果位數(shù)比較多的情形，是問題3的繼續(xù)．該問題也是學(xué)生最容易感到疑惑的．

·感受研究的必要

例1假設(shè)圖1中小方格邊長為1，試寫出線段AB,A′B′的長．

圖1

應(yīng)用練習(xí)：

第4題 寫出上圖中線段CA′,CB′的長；

第5題 求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：

·說理

問題6試解釋負(fù)數(shù)為何不能求算術(shù)平方根．

2.5 鞏固新知 (略)

(第2課時(shí))

2.6 復(fù)習(xí)鞏固

圍繞簡單實(shí)際應(yīng)用以及學(xué)生學(xué)習(xí)中常見錯(cuò)誤設(shè)計(jì)，練習(xí)略．

2.6 探索活動(dòng)3

問題7還有具備上述特征的非負(fù)數(shù)a嗎？

問題8任選一個(gè)正數(shù)，連續(xù)求算術(shù)平方根，你有何發(fā)現(xiàn)？

操作發(fā)現(xiàn)：在計(jì)算器上輸入一個(gè)正數(shù),如果這個(gè)數(shù)大于1，不斷地求這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，運(yùn)算結(jié)果越來越小，越來越接近1，最后都等于1．在計(jì)算器上輸入一個(gè)正數(shù)，如果這個(gè)數(shù)小于1，不斷地求這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，運(yùn)算結(jié)果越來越大，越來越接近1，最后都等于1．

問題9滿足上述特征的非負(fù)數(shù)是否只有0和1？能說明你的判斷是正確的嗎？

2.9 轉(zhuǎn)化得平方根

問題11先借助計(jì)算器完成下列填空，然后思考：對于計(jì)算結(jié)果，有何猜測？

2.9 學(xué)習(xí)新知

例2下列各數(shù)有平方根嗎？如果有，請寫出來;如果沒有，請說明理由．

(答案及規(guī)范解答略)

平方根性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有______個(gè)平方根，它們互為______；0的平方根是______；負(fù)數(shù)______(填“有”或者“沒有”)平方根．

2.10 鞏固新知(略)

3 回顧與反思

3.1 根據(jù)學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)因勢利導(dǎo)

對教材內(nèi)容順序的調(diào)整某種程度上是被“逼”出來的(注：創(chuàng)造性使用教材是教師實(shí)踐性智慧的重要表現(xiàn)，其前提是認(rèn)真研究教材、準(zhǔn)確理解編寫意圖、深刻把握教材精髓，對此應(yīng)持審慎態(tài)度)．學(xué)生學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤多次糾正后效果總不是很好，筆者感覺可能由于兩個(gè)原因：一是對平方根內(nèi)容的學(xué)習(xí)有困難．由于一個(gè)正數(shù)的平方根涉及到正負(fù)兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)是方程x2=a的根，這與學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)相差太遠(yuǎn)，于是出現(xiàn)了學(xué)習(xí)“平方根”概念的困難[3].二是蘇科版數(shù)學(xué)教材利用求網(wǎng)格中線段長作為情境引入平方根定義[1]，可能人為增加了學(xué)生學(xué)習(xí)難度．在學(xué)生經(jīng)驗(yàn)中線段長只能是正數(shù)，結(jié)果只有一個(gè)，而正數(shù)的平方根有一正一負(fù)兩個(gè)數(shù)，學(xué)生會心存疑慮．當(dāng)學(xué)生調(diào)節(jié)已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對平方根知識有所接受后，接著學(xué)習(xí)算術(shù)平方根，又回歸到結(jié)果是一個(gè)的情況，需要再次調(diào)整認(rèn)知結(jié)構(gòu)．給人感覺兩次在牽著學(xué)生鼻子走．如果此時(shí)再回頭看情境，難免會認(rèn)為“平方根”內(nèi)容的學(xué)習(xí)是多此一舉．

識轉(zhuǎn)化為算術(shù)平方根來處理，因勢利導(dǎo)以有效化解難點(diǎn)．

需要指出的是，計(jì)算器上沒有平方根按鍵，只有算術(shù)平方根按鍵，這從另一個(gè)角度驗(yàn)證了將算術(shù)平方根作為重點(diǎn)并先學(xué)習(xí)的合理性與必要性．

3.2 努力培養(yǎng)學(xué)生的問題意識

《課程標(biāo)準(zhǔn)》在“總目標(biāo)”中提出：“增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力.”[4]跟課標(biāo)實(shí)驗(yàn)稿相比，“增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力”是新增加的要求，對此教師理應(yīng)給予足夠重視.然而實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，該要求對于教師的能力要求很高，素材不好找、培養(yǎng)方法不易總結(jié)，一直是教學(xué)的薄弱環(huán)節(jié)．筆者試圖通過自己的探索與研究能夠給人以啟迪．

3.3 在計(jì)算器使用中“生長”數(shù)學(xué)

關(guān)于計(jì)算器的使用，《課程標(biāo)準(zhǔn)》在“使用現(xiàn)代信息技術(shù)與教學(xué)手段多樣化的關(guān)系”中多處給出建議：有條件的地區(qū)，教學(xué)中要盡可能使用計(jì)算器；應(yīng)當(dāng)根據(jù)課程內(nèi)容的要求，允許學(xué)生使用計(jì)算器，還應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生用計(jì)算器進(jìn)行探索規(guī)律等活動(dòng)．[4]遺憾的是，有些地區(qū)中考不允許學(xué)生使用計(jì)算器，因此這些地區(qū)計(jì)算器使用的教學(xué)往往也是流于形式．本文課例在挖掘計(jì)算器在知識發(fā)現(xiàn)與結(jié)論驗(yàn)證的方面進(jìn)行了一些嘗試．

算術(shù)平方根有兩個(gè)本質(zhì)特征：正數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)正數(shù)，正數(shù)算術(shù)平方根的平方等于它本身．[2]這兩個(gè)本質(zhì)特征都是學(xué)生在利用計(jì)算器進(jìn)行操作中自行“生長”出來的，而不是提出概念后感受的．再有，在不斷地對一個(gè)正數(shù)取算術(shù)平方根的操作中，學(xué)生不斷感受其算術(shù)平方根逼近數(shù)值1的趨勢，在這樣充分的經(jīng)歷中，“算術(shù)平方根等于自身的正數(shù)只有1”差不多是脫口而出的事情．