對橢圓中若干斜率問題的探究

顧旭東 (江蘇省海門中學 226100)

圓錐曲線問題在高考中一直是學生較難逾越的一道坎，而近幾年對于橢圓中的斜率問題的考查顯得尤為突出，對于那些不熟悉套路的學生而言，一個個斜率可謂“群魔亂舞”,讓人吃盡苦頭. 筆者結合平時的教學體會對與斜率有關的問題稍做整理，拋磚引玉，懇請同行指正.

斜率探究之1一步到位

圖1 圖2

點評 若讓A，B兩點向中間無限靠攏，則借助極限知識可知(1)與(2)兩者可融為一體.

圖3

點評λ,e,k這三個關鍵元素在解題中相得益彰、和諧共處，而“知二求一”就是常規考查的方向.

斜率探究之2二龍戲珠

圖4 圖5

圖6 圖7

點評 (4)—(7)這四個結論，形變神不變，讀者可細細體會其中關聯.

圖8 圖9

略證(1)若kMN不存在，顯然滿足.

(2)若直線MN斜率存在，不妨設為k，

圖10

點評 (8)與(9)充分體現了特殊與一般的關系.(10)又很好地傳承了(9)，這為指導我們的命題起著積極的作用.

圖11 圖12

點評 (11)與(12)不僅可以通過逆向設問來構造題目，甚至還可用來幫助我們確定準線的位置.

斜率探究之3三國演義

圖13 圖14

點評 (13)與(14)涉及橢圓中兩類特殊的三角形，(13)體現了設而不求思想與韋達定理的精彩演繹，(14)隱藏了焦點三角形中頂點P處的內角平分線與P處切線垂直的特征.

圖15 圖16

點評 (15)與(16)的相關結論時常隱于各省市的模擬試題中，用等差數列作為載體來考查學生的綜合能力．這兩題運算難度較大，學生會有一定的畏難情緒，但作為教師如何設置臺階把學生引入門，使其站在一定的高度，一覽眾山小，這是我們教育工作者需要考慮的問題.

筆者僅以橢圓為例，歸納了橢圓中與斜率有關的部分有趣、優美的性質，同樣在雙曲線與拋物線中也有類似的性質，在此不再贅述.