以“等比數(shù)列”教學(xué)為例來(lái)談數(shù)學(xué)教學(xué)三境界

朱 哲 常 艷 (浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 321004)

課堂是教師教書(shū)育人的主渠道，也是學(xué)生成長(zhǎng)的重要基地．一個(gè)好的課堂往往不在于教師教了多少知識(shí)，而在于教師是如何教學(xué)生學(xué)知識(shí)的．北京大學(xué)張順燕教授曾提出教學(xué)有三境界，即“授人以業(yè)”“授人以法”和“授人以道”：“業(yè)”指的是基本的知識(shí)；“法”指的是教給學(xué)生方法，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的能力；“道”則可以理解為學(xué)生在繼承知識(shí)與方法的基礎(chǔ)上，自我生長(zhǎng)，自我發(fā)展，走創(chuàng)新之路[1]．對(duì)于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)來(lái)說(shuō)，同樣也蘊(yùn)含著這樣的三種教學(xué)境界．

本文以“等比數(shù)列”的三個(gè)教學(xué)課例為例，分析不同課例之間的授課方式，從中映射出數(shù)學(xué)課堂的三種境界，希望能對(duì)當(dāng)前數(shù)學(xué)教師的課堂教學(xué)模式的創(chuàng)新和突破有所啟發(fā)和幫助．

1 苦教引學(xué)

1.1 課例1教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)介[2]

(1)復(fù)習(xí)回顧

師：上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列．現(xiàn)在我們一起來(lái)回顧一下等差數(shù)列的定義以及它的通項(xiàng)公式、求和公式．(師生共同復(fù)述，教師板書(shū))

(2)創(chuàng)設(shè)情境

師：今天我們共同來(lái)學(xué)習(xí)一節(jié)新內(nèi)容——等比數(shù)列．首先我們觀察以下幾個(gè)情境，可以從中得出哪些數(shù)據(jù)呢？(課件顯示)

情境1 細(xì)胞分裂模型．

情境2 “一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭.”

情境3 計(jì)算機(jī)病毒的傳播．

情境4 儲(chǔ)蓄中復(fù)利的計(jì)算．

由上述情境得到4個(gè)數(shù)列．

(3)建構(gòu)新知

師：上述4個(gè)數(shù)列有什么共同特征？

在學(xué)生歸納的基礎(chǔ)上，教師板書(shū)：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比．

師：上述4個(gè)例子的公比分別為多少？(學(xué)生共同回答，下同)

(4)概念理解

師：公比q能小于0嗎？能等于0嗎？當(dāng)公比q等于1時(shí)，等比數(shù)列有什么特點(diǎn)？

師：首項(xiàng)能等于0嗎？第n項(xiàng)能等于0嗎？

師：你能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示等比數(shù)列的定義嗎？

師：很好！那么接下來(lái)我們來(lái)一起學(xué)習(xí)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么.

(下略)

1.2 課例1簡(jiǎn)析

課例1中采用了教學(xué)中最普遍的一種模式：復(fù)習(xí)回顧—?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境—建構(gòu)新知—概念理解．在復(fù)習(xí)回顧上節(jié)所學(xué)內(nèi)容之后，教師用4個(gè)教科書(shū)中的實(shí)例引出本節(jié)課題“等比數(shù)列”．在后續(xù)的整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，多以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的形式進(jìn)行．教學(xué)中比較注重對(duì)學(xué)生的啟發(fā)和層層引導(dǎo)，可以說(shuō)在讓學(xué)生理解知識(shí)的過(guò)程中，也感受到了知識(shí)的形成過(guò)程．但整個(gè)過(guò)程中也存在著一些不足：皆以教師引導(dǎo)為主，留給學(xué)生自主探究的空間太少，學(xué)生學(xué)習(xí)能動(dòng)性的發(fā)揮受到了限制；等比數(shù)列概念的引進(jìn)忽視了與“等差數(shù)列”的類比，沒(méi)有利用好“等差數(shù)列”這個(gè)先行組織者．?dāng)?shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾在他的現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育思想中指出，數(shù)學(xué)教育應(yīng)聯(lián)系學(xué)生的客觀現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)．筆者認(rèn)為，課例1中的教學(xué)僅僅做到了前者，卻忽視了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的充分利用．所以上述的教學(xué)過(guò)程映射出數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的第一種境界——“授人以業(yè)”，即教師在教學(xué)過(guò)程中只是一味地重復(fù)之前的教學(xué)模式，僅僅關(guān)注到了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和應(yīng)用．從整體來(lái)看，忽視了對(duì)學(xué)生其他層面的培養(yǎng)，距離深層次的學(xué)習(xí)仍有較大的差距．

可以設(shè)想一下，如若每堂新授課都以同樣的環(huán)節(jié)進(jìn)行，學(xué)生在教師的重重誘導(dǎo)下建構(gòu)新知，長(zhǎng)此以往，會(huì)不會(huì)使學(xué)生局限于一種模式，束縛他們的創(chuàng)造性？

2 少教多學(xué)

2.1 課例2教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)介[3]

(1)復(fù)習(xí)回顧

師：前面幾節(jié)課我們共同探討了等差數(shù)列．那么請(qǐng)同學(xué)們想一下，我們是如何來(lái)研究等差數(shù)列的？研究了等差數(shù)列的哪些內(nèi)容？(師生共同回顧，教師板書(shū)并列出表格如下)

表1

(2)提出問(wèn)題、合作探究

師：在學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的內(nèi)容以后，我們能不能將等差數(shù)列中的“差”遷移為“比”，得到一個(gè)叫“等比數(shù)列”的數(shù)列呢？這就是我們今天要研究的新問(wèn)題：等比數(shù)列．接下來(lái)請(qǐng)同學(xué)們以小組合作的形式，類比我們研究等差數(shù)列的過(guò)程，將表1中的等比數(shù)列的相關(guān)內(nèi)容填寫(xiě)完整．

在探究過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生：可以從具體的等比數(shù)列出發(fā)，抽象出這類數(shù)列的共性．

20分鐘后請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)板演，教師進(jìn)一步將學(xué)生的成果系統(tǒng)化、規(guī)范化．

(3)比較異同

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義，對(duì)它們的異同點(diǎn)進(jìn)行比較、總結(jié)，填寫(xiě)表2．(教師引導(dǎo)完成)

表2

(4)習(xí)題鞏固(略)

2.2 課例2簡(jiǎn)析

課例2采用了問(wèn)題探究式的教學(xué)模式．本節(jié)課的基本流程為：復(fù)習(xí)回顧—提出問(wèn)題—合作探究—比較異同—習(xí)題鞏固．教師在回顧等差數(shù)列的學(xué)習(xí)過(guò)程之后，引出一個(gè)新問(wèn)題“能否將等差數(shù)列中的‘差’遷移到‘比’，得到一個(gè)等比數(shù)列”．進(jìn)而引出本節(jié)課的探究問(wèn)題，讓學(xué)生以小組合作的形式開(kāi)展探究活動(dòng)．整個(gè)教學(xué)過(guò)程體現(xiàn)了“學(xué)生中心”的基本理念，教師充當(dāng)了教學(xué)活動(dòng)中的引導(dǎo)者和組織者．但本次探究活動(dòng)中的問(wèn)題提出者是教師，然后以此作為本次探究的任務(wù)，驅(qū)動(dòng)學(xué)生開(kāi)展探究活動(dòng)．這在一定程度上限制了學(xué)生的思維，不能很好地激起學(xué)生的探究興趣．所以課例2中的教學(xué)方式映射出數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的第二種境界——“授人以法”，即在課堂中教師給了學(xué)生獲取知識(shí)的機(jī)會(huì)，注重培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，但同時(shí)也限定了學(xué)生獲取新知的方向和方法，不利于學(xué)生創(chuàng)新思維的拓展與提升．

3 不教而學(xué)

3.1 課例3教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)介[4]

(1) 回顧已知，系統(tǒng)梳理

師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列，我們先來(lái)回顧一下這個(gè)特殊的數(shù)列．我們研究了它的哪些內(nèi)容？(學(xué)生回答，教師復(fù)述)它的定義是什么？我們是如何得出的？知道了首項(xiàng)和公差，如何表示它的通項(xiàng)？等差數(shù)列有哪些性質(zhì)？(學(xué)生敘述、教師板書(shū)列表3，并將等差數(shù)列一欄填寫(xiě)完整．)

表3

(2) 提出問(wèn)題，合作探究

師：在我們研究了等差數(shù)列及其相關(guān)性質(zhì)以后，請(qǐng)同學(xué)們思考：你還想研究一下哪些特殊的數(shù)列呢？

由“等差數(shù)列”中的“差”出發(fā)，學(xué)生容易聯(lián)想到等和數(shù)列、等積數(shù)列、等商數(shù)列，也有學(xué)生可能會(huì)想到等冪數(shù)列、等指數(shù)數(shù)列、等對(duì)數(shù)數(shù)列等．(教師板書(shū))

師：同學(xué)們提得都非常好！接下來(lái)，請(qǐng)同學(xué)們選擇最想研究的一種或兩種數(shù)列，并以小組合作的形式開(kāi)展探究活動(dòng)．我們的任務(wù)就是找出你所研究的數(shù)列的特征或性質(zhì)，完成表格．20分鐘以后請(qǐng)各小組展示自己的研究成果．

(教師依情況提示：可以結(jié)合我們研究等差數(shù)列的過(guò)程，從個(gè)別例子抽象出它們的共性,再去探究它的定義、數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示、通項(xiàng)公式以及有沒(méi)有等和(商/積)中項(xiàng))

學(xué)生以小組合作的形式開(kāi)展探究活動(dòng)．

(3) 成果展示

師：請(qǐng)各小組代表在黑板上寫(xiě)出自己的研究成果．

例：第一組學(xué)生展示的研究成果為“等和數(shù)列”和“等商數(shù)列”．

第二組學(xué)生展示的研究成果為“等積數(shù)列”和“等冪數(shù)列”(表4)：

表4

隨后其他小組展示他們的研究結(jié)果．

(4) 師生互動(dòng)，共同探討

師生共同檢測(cè)各小組的研究成果，探討結(jié)論的合理性、規(guī)范性，并對(duì)難點(diǎn)進(jìn)行剖析與整理．最后教師鼓勵(lì)學(xué)生：有興趣的同學(xué)，課后可以查閱相關(guān)資料，研究一下等指數(shù)數(shù)列、等方差數(shù)列，甚至其他特殊的數(shù)列，如等對(duì)數(shù)數(shù)列．

(5) 課堂檢測(cè)(略)

3.2 課例3簡(jiǎn)析

課例3與課例2較為相似，都采用了探究式的教學(xué)方式，并且都將“等差數(shù)列”作為本節(jié)課的參照物．課例3中，在復(fù)習(xí)梳理“等差數(shù)列”的相關(guān)知識(shí)以后，巧妙設(shè)問(wèn)“你還想研究一下哪些特殊的數(shù)列呢”，激發(fā)學(xué)生的求知欲和想象力．讓學(xué)生從不同的角度提出問(wèn)題，進(jìn)而讓他們自主選擇研究?jī)?nèi)容，填表完成探究任務(wù)．最后以課堂討論的形式幫助學(xué)生進(jìn)一步正確地、系統(tǒng)地建構(gòu)新知．可以說(shuō)，課例3采用了一種開(kāi)放式的教學(xué)方法．教師不拘泥于教材和教案，以學(xué)生為學(xué)習(xí)主體，給了學(xué)生“再創(chuàng)知識(shí)”的空間．整個(gè)教學(xué)過(guò)程不局限于對(duì)學(xué)生知識(shí)和技能的培養(yǎng)，讓學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)了提出問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)知識(shí)的過(guò)程，真正地學(xué)到了知識(shí)，并使不同的學(xué)生得到了不同的發(fā)展．因此，課例3的課堂教學(xué)又是一種新的教學(xué)境界——“授人以道”，即教師充分利用學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，以現(xiàn)有知識(shí)為起點(diǎn)，拓展學(xué)生的思維，讓學(xué)生在獲取知識(shí)的同時(shí)，逐步增強(qiáng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新的能力．

當(dāng)然，課例3中的教學(xué)方式也有其局限性．并不是所有的學(xué)生都能在這種模式下“再創(chuàng)知識(shí)”．所以應(yīng)強(qiáng)調(diào)在給學(xué)生“學(xué)習(xí)空間”的時(shí)候，要充分了解學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)水平，以及對(duì)所要探究的“新知”的接受程度．同時(shí)教師還要在了解學(xué)情的基礎(chǔ)上確定教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)， 在學(xué)生遇到

困惑的時(shí)候適時(shí)介入，扮演好引導(dǎo)者和合作者的角色，幫助學(xué)生走出學(xué)習(xí)的障礙區(qū)．

4 進(jìn)一步的思考

不同的課堂教學(xué)觀就會(huì)對(duì)應(yīng)不同的教學(xué)設(shè)計(jì)，就會(huì)產(chǎn)生不同的教學(xué)效果．上述三則課例，同是對(duì)“等比數(shù)列”的教學(xué)，但卻映射出不同的教學(xué)境界．那么，在這個(gè)飛速發(fā)展的現(xiàn)代社會(huì)，究竟什么樣的數(shù)學(xué)課堂對(duì)學(xué)生來(lái)講更適合？什么樣的教學(xué)方式對(duì)學(xué)生來(lái)講更有效？也許并沒(méi)有統(tǒng)一的答案．但值得肯定的是，作為一名數(shù)學(xué)教師，只停留于一種境界、局限于一種模式，無(wú)疑不利于學(xué)生的全面、可持續(xù)發(fā)展．著名教育家葉圣陶曾說(shuō)過(guò)：“教學(xué)的最高境界是為了不教.”其中也蘊(yùn)含著“授人以道”的教學(xué)思想．這也應(yīng)該成為教師課堂教學(xué)的追求．那么，在數(shù)學(xué)教育中如何達(dá)到這樣的教學(xué)境界呢？這對(duì)教師而言是一個(gè)挑戰(zhàn)，需要教師始終堅(jiān)持“以生為本”的教育理念，以促進(jìn)學(xué)生素養(yǎng)的提高和終身發(fā)展為出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)適宜的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生真正參與到課堂中去，在親自經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中學(xué)會(huì)如何去學(xué)習(xí)，找到屬于自己的學(xué)習(xí)之路．同時(shí)，教師也應(yīng)知道，課堂教學(xué)是一門藝術(shù)，它的生命力就在于創(chuàng)造．希望今后的數(shù)學(xué)課堂能不斷地創(chuàng)新和超越，走向無(wú)模式的自由．

最后，通過(guò)對(duì)上述三則案例的分析，得出以下思考：(1)教無(wú)定法，但教師要知道哪種教學(xué)方式適合學(xué)生．同一內(nèi)容、不同的學(xué)生，應(yīng)該要有不同的教學(xué)方法．(2)數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)的教學(xué)應(yīng)是思維的教學(xué)．在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)盡可能地激發(fā)學(xué)生探索新知的欲望，促使學(xué)生積極動(dòng)腦思考，并在學(xué)習(xí)的過(guò)程中感受到知識(shí)形成的脈絡(luò)．(3)數(shù)學(xué)課堂上的知識(shí)教學(xué)不應(yīng)僅局限在課本上，應(yīng)立足于課本，并在其基礎(chǔ)上延伸和拓展，讓學(xué)生感受到知識(shí)并不是固定存在的，而是可以去探索和創(chuàng)設(shè)的．這樣得來(lái)的知識(shí)才更具有生命力．