GeoGebra平臺支持下一類直線恒過定點問題的探究*

鐘三明 (廣東省廣州市真光中學 510380)

1 問題的提出

解析幾何中的定點問題，歷來是高考重要考點．此類問題通常出現某些特殊直線恒過定點的問題，筆者在高三一節試卷講評課中，針對這一問題，進行了探究和推廣．

(2)過點T(4,0)作斜率不為0的直線l與(1)中的軌跡C交于A,B兩點，點A關于x軸的對稱點為D，證明直線BD必過x軸上的一個定點．

筆者留意到，本題的第(2)問的結論中，可以證明得到：當直線l繞著點T旋轉并與橢圓C相交時，直線BD恒過定點(1,0)．這一結論讓人有推廣它的沖動，因此筆者就此提出了以下兩個新的問題．

問題3若將橢圓改為雙曲線，則點T在什么位置才能使直線BD過定點？換成拋物線又如何呢？

2 基于GeoGebra的探究

問題2將橢圓以及點T一般化后，由于涉及的運算和直線BD的方程較為復雜，對確定是否過定點有一定的干擾，因此借助GeoGebra平臺，通過實驗觀察結論是否成立，為后面的代數證明提供直觀化的思路支撐．

圖1 圖2

實驗2 改變點T在x軸上的位置，發現當點T在橢圓外部時，直線BD過的定點在橢圓內部(圖2)；當點T在橢圓內部時，直線BD過的定點在橢圓外部，而且定點都在x軸上．繼續觀察定點坐標，發現定點的橫坐標隨著t的增大而減小，并且與t的乘積為定值a2，改變橢圓的方程同樣有這樣的結論．

3 推廣與證明

通過以上兩個實驗探索，筆者對這類定點問題進行了推廣．

(證明類似于定理1，過程略)

將雙曲線換成拋物線，經過探究，也可得到直線BD恒過一定點(圖略)．從而得到

定理3已知拋物線y2=2px和定點T(t,0)(t≠0)，過點T的直線l交拋物線于A,B兩點，D為點A關于x軸的對稱點，則直線BD恒過定點(-t,0)．(證略)

圖3

繼續用GeoGebra平臺探究，用“極線/徑線”工具繪出極點T(t,0)關于圓錐曲線的極線，發現極線恰好經過直線BD經過的定點(如圖3所示，以橢圓為例)，因此可得到更一般的

定理4已知圓錐曲線C和焦點所在對稱軸m上異于曲線中心的一點T，過點T的直線l交C于A,B兩點，D為點A關于m的對稱點， 則直線BD恒過以T為極點的對應極線與對稱軸m的交點．

4 反思

《普通高中數學課程標準(2017年版)》明確指出，“提升信息技術的使用能力”“通過信息技術與課程的深度融合以及課程資源開發的多樣化實現”．這就需要合理運用信息技術，以此提高數學教學的有效性．在教學過程中，把信息技術與數學課程進行有效的整合，能夠將枯燥的、抽象的知識變得生動有趣、直觀可感，調動了學生的學習興趣和積極性，有助于樹立學好數學的信心，同時增強課堂中師生之間的互動以及和生生之間的討論交流．

通過用GeoGebra平臺探究，能直觀展現圓錐曲線中和諧、優美的結論，體現解析幾何中蘊含的動中有靜的幾何特性，通過探究，從中發現規律，進而為我們進一步用代數方法證明結論提供了可靠的保障．圓錐曲線中還有很多隱藏的美妙定理，課堂上我們可以借助GeoGebra平臺進行實驗探究，讓學生主動發現問題，解決問題，發現和體會數學的美，這對師生來說何嘗不是一件有趣而又有價值的事情，它必將激發學生學習解析幾何的主動性和積極性，有利于培養學生邏輯思維、探究學習、空間想象、創新和實踐等能力，有助于提高學生的數學學科素養．