高中數學新概念起始課的教學研究
——以“指數函數(1)”為例

王 婭 (江蘇省蘇州市第五中學校 215008)

起始課又稱導言課、引言課或緒論課．《辭海》中說：緒者，絲之頭．緒論，即開頭要講的話．隨著新課程改革的不斷深入，對起始課教學的研究越來越受到廣大教師的重視．2019年8月26日,蘇州市高一數學教改組組織了主題為“基于提升數學核心素養的高一教學的策略研究”的教學研討活動，筆者開設了一節“指數函數(1)”公開課.“指數函數(1)”作為一個新概念的起始課(以下簡稱起始課)，有很多方面值得研究．本文中，筆者將以這節公開課的教學片段為案例對高中數學起始課的教學提出一些思考．

1 高中數學起始課的教學現狀

起始課往往不受教師重視，在起始課的教學中教師經常是單刀直入地直奔主題，教師的教經常是由解題代替知識的生成過程，而學生則被動地跟著教師走，對教師有著很強的依賴性，沒有主動參與概念的生成過程．學生在經歷新概念、新知識的產生過程中也是一知半解，缺乏對于知識產生背景的了解，數學思想的滲透、數學文化精神的感染、數學思維也得不到發展，思維是固化的．

2 高中數學起始課的地位和作用

李邦河院士認為：“數學根本上是玩概念的，不是玩技巧！技巧不足道也！”[1]高中數學起始課是一個章節或一個單元學習的起點，它承接在上一章節已學內容的基礎上，對原知識展開拓展研究或對新知識展開探究學習．如何使學生對本章將要學習的內容、結構、思想方法有一個大致的了解，使起始課發揮“先行組織者”的作用，是起始課教學設計過程中應重點關注的問題．上好章節起始課，不僅可以使學生了解本章知識的來龍去脈，更重要的是讓學生知道為什么學、怎樣學以及學什么，在學習過程中提升學生數學核心素養．

本節課是學生繼初中學習一次函數、二次函數、反比例函數之后初次學習新的函數，并且本節課對于指數函數的研究過程將為今后學生學習對數函數、冪函數等其他函數奠定了基礎．因此，筆者想結合本節公開課的教學實錄，展開對起始課，特別是新概念起始課的教學研究．

3 “指數函數”的教學設計和實錄

3.1 問題情境的設計

了解數學概念的實際背景，讓學生經歷知識的探究生成過程，有助于數學概念本質的掌握．同時,從實際生活的例子出發能使學生感受到指數函數用途廣泛并體會到學習指數函數的必要性，從而激發學生學習指數函數的興趣．

(1)利用章引言，創設問題情境

蘇教版教材“指數函數、對數函數和冪函數”一章中，在“分數指數冪”之前，首先呈現了這樣一段文字：“某細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個……如果分裂一次需要10 min，那么1個細胞1 h后分裂成多少個細胞？假設細胞分裂的次數為x，相應的細胞個數為y，則y=2x．當x=6時，y=26=64．即1個細胞1 h后分裂成64個細胞．”據此，筆者在本節課的教學過程中是這樣進行的：

師：我們已經學習了函數的概念、圖象與性質，大家都知道函數可以刻畫兩個變量之間的關系．你能用函數的觀點分析下面的例子嗎？

師：大家知道細胞分裂的規律嗎？

情境1 某細胞分裂時，由一個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個……如果細胞分裂x次，相應的細胞個數為y，如何描述這兩個變量的關系？

設計意圖章節起始內容是整個章節的“劇情簡介”．作為教材每一章節數學知識的“首秀”，章節起始內容發揮著先行組織者的作用，揭示了本章研究的數學知識及知識的背景來源．無論是章頭圖還是章頭語，都開門見山地告知學生本章我們將要研究什么主題、探討什么樣的數學知識，告知“我們將要到哪里去”.[2]在章引言的教學中，充分利用教材中的章引言材料，創設適當的問題情境激發學生興趣，達到引入課題的目的．教材提出細胞分裂這一數學模型，旨在通過細胞分裂的實例讓學生了解指數函數模型的實際背景，認識學習指數函數的必要性．

師：我發現教室里第一排第一位同學的桌上有兩個饅頭.如果老師給第二位同學四個饅頭，第三位同學八個饅頭，以此類推，到最后一排最后一個男生那里，老師要給他幾個饅頭？如果教室里有x名同學，老師應給這第x名同學幾個饅頭？

筆者就地取材(剛好教室第一位同學桌子上有兩個包子)，舉這樣一個例子拉近了問題與學生的距離，使得學生發現原來數學就在身邊.這不僅揭示了指數函數的實際背景，還讓學生了解本章的學習內容，解決“為什么引入指數函數”的問題．

(2)文化與歷史同行，展現多元的互動探究

《普通高中數學課程標準(實驗)》中指出：“通過在高中階段數學文化的學習，學生將初步了解數學科學與人類社會發展之間的相互作用，體會數學的科學價值、應用價值、人文價值，開闊視野，尋求數學進步的歷史軌跡，激發對于數學創新原動力的認識，受到優秀文化的熏陶，領會數學的美學價值，從而提高自身的文化素養和創新意識．[3]課堂教學是一門科學也是一門藝術，數學教學過程中應該體現出數學知識授受與數學文化滲透的統一．課堂中數學文化價值的傳承對于幫助學生樹立正確的數學觀至關重要，而高中數學起始課可以作為傳承數學文化的載體．

情境2 “一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”寫出截取x次后，木棰剩余量y關于x的關系式．

師：《莊子·天下篇》中有這樣一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”同學們是否知道這句話的意思？

生：有一根一尺長的木棒，每天截取一半，永遠也取不完．

師：請你寫出截取x次后，木棰剩余量y關于x的關系式.

設計意圖實際生活中有不少指數函數的模型.追溯到很久以前，古人早已發現了這樣的模型．利用《莊子·天下篇》中的這樣一句話，使得學生不僅能全面深刻地理解數學知識、體會數學的價值，更能提高其科學及文化素養、提升數學的審美意識．教師在課堂教學中滲透數學文化，對于幫助學生建立正確的數學觀、提升數學的審美素養、培養學生學習數學的興趣具有極其重要的意義．樸實靈動的數學課堂應該具有本真的數學氣息、厚重的文化氣韻、靈動的生命氣象．

3.2 數學概念形成的設計

對于指數函數概念的形成，要讓學生經歷一個由特殊到一般、由具體到抽象的循序漸進的過程，這樣更加符合學生的認知心理，從而能提高學生的數學核心素養．

(1)概念建構中，提升數學抽象能力

數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程．數學抽象主要包括從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并且用數學符號或數學術語予以表征．通過問題情境的創設，使得學生認識學習指數函數的實際背景，同時教師也應該引導學生舍棄事物在實際生活中的背景，抽象出數學的研究對象，實現數學化的過程．

問題請你觀察得到的函數，它們具有哪些相同的特征？

生：自變量在指數位置上，底數為常數．

師：同學們能否舉出類似于自變量在指數位置上、底數為常數的函數？

生：(舉例)函數y=3x,y=10x……(函數y=ax(a>1))

師：(板書學生的舉例,稍停頓)能舉個不太一樣的例子嗎？(提示：底數非得大于1嗎？)

師：這些函數的自變量是什么？它們有什么共同特點？

生：底數是常數，自變量在指數位置上．

師：你舉出的函數中，自變量x能否等于0，能否小于0？

生：可以．

師：怎樣用一個函數形式來概括它們？

生：y=ax．

師：在y=ax中，自變量是x，底數a是常數．以上例子的不同之處是底數不同．那你覺得底數的取值范圍是什么呢？

生：底數不能取負數．

師：為什么？

生：如果底數取負數或0，x就不能取任意實數了．

師：能否舉一個例子來說明？

師：為了研究的方便，我們要求底數a>0．當a=1時，函數就是常數函數y=1．對于這個函數，我們已經比較了解了．通常我們還規定a≠1．今天我們就來了解一下這個新函數．(出示定義)

指數函數定義：一般地，函數y=ax(a>0且a≠1)稱為指數函數．它的定義域是R．

設計意圖在創設的問題情境中，自變量實際上是有限制條件的，它們的范圍是x∈N*．而我們所要研究的指數函數的自變量取值范圍是x∈R，從x∈N*過渡到x∈R，需要讓學生感受得到的函數的共同特征，從而自己舉例說出這樣類型的函數.學生舉例說出的函數沒有實際背景，這樣就自然而然地將指數的取值范圍擴充到了R．通過列舉生活中指數函數的具體例子，感受指數函數的與實際生活的聯系．引導學生從具體實例中概括典型特征，初步形成指數函數的概念，并用數學符號表示．初步得到y=ax這個形式后，引導學生關注底數的取值范圍，完成概念建構．指數范圍擴充到實數后，關注x∈R時y=ax是否始終有意義，由此引導學生得到a>0且a≠1的限制條件.概念教學應當讓學生感受形成過程，了解知識的來龍去脈，那種直接拋出定義后輔以“三項注意”的做法剝奪了學生參與概念形成的過程．

(2)在交流合作中，培養自主探究能力

學生已經學習了函數的概念、表示方法與函數的一般性質，對函數有了初步的認識．在此認知基礎上，筆者引導學生自主提出所要研究的內容，尋求方法．開始的問題較寬泛，教師通過幾個問題逐步縮小問題范圍．教師在引導的過程中，應充分尊重學生的思維個性和主體地位，創造學生自主探究的機會，設置合作交流的平臺，通過匯報交流活動讓學生體驗數學概念性質的形成過程．

師：我們一般要研究函數的哪些性質呢？

生：定義域、值域、單調性、奇偶性．

師：(板書學生回答)怎樣研究這些性質呢？

生：先畫出函數圖象，觀察圖象，分析函數性質．

師：我們先研究幾個具體的指數函數，再研究一般情況．

師：請同學們選取數據，畫出圖象，觀察特點，歸納性質．(板書“畫圖觀察”“取特殊值”)

(師生活動)學生選取不同的a的值，作出圖象，觀察它們之間的異同，總結指數函數的圖象特征與函數性質．

學生在描點作圖時列舉點的個數有局限性，因此對當x→∞時函數的圖象特征缺乏直觀感受．而且所舉例子個數有限，學生對于歸納的結論缺乏一般性的認識．教師可利用繪圖軟件作出底數連續變化的圖象，強化直觀感受，驗證猜想．在合作探究過程中，學生感受到從特殊到一般的思維方法是概括歸納抽象對象的一般思維方法，體驗了數形結合的數學思想．本節課的重點是通過對指數函數圖象性質的研究，總結研究函數的一般方法，對于以后研究其他函數奠定基礎．

學生通過觀察圖象，發現指數函數y=ax(a>0且a≠1)的性質．教師用實物投影儀展示學生所畫圖象，學生根據具體函數圖象說明具體函數性質．

師：(實物投影)請大家觀察一下這位同學的圖象是否正確？

生：不正確，他只畫了x軸正半軸的圖象．

師：讓我們一起再來認識一下指數函數的定義.一般地，函數y=ax(a>0且a≠1)稱為指數函數．它的定義域是R．

師：指數函數的定義域是R，那么我們在列表時要注意什么？

生：x可以取負數．

設計意圖在列舉學生所畫圖象的過程中，教師引導學生關注列表描點作圖的過程，引導學生反思畫圖過程，使學生獲得對指數函數圖象的直觀認識．學生觀察圖象是對圖形語言的理解,根據圖象描述性質是將圖形語言轉化為符號或文字語言;對函數的理解是建立在三種語言相互轉化的基礎上的．在交流匯報過程中，一方面要通過對探究較深入的學生的具體研究過程進行剖析，總結提升學習方法，優化學習策略；另一方面要關注部分探究意識與能力都薄弱的學生的表現，鼓勵他們大膽發言，激勵他們主動參與活動，讓全體學生成為真正的學習主體．自主探究活動能充分激發學生的相互學習能力，有效幫助學生突破難點．

(3)滲透數學思想，提升幾何直觀能力

起始課教學中有一個狀況：以解題來代替起始課中的概念生成過程．教師往往把注意力放在幾種題型、幾種方法上面，很多教師都分不清解題技巧和數學思想的界限，認為直接告訴學生解題技巧，學生按照這個技巧依葫蘆畫瓢，時間久了自然而然能體會到數學思想；教師沒有告訴學生這個技巧因何而來、其中蘊含的數學思想方法是什么.數學思想方法的滲透應該是潛移默化的過程，只有讓學生知道了所以然，這些技巧學生才能靈活應用．比如對于本節課的例1，筆者是這樣給出的：

例1比較1.52.5,1.53.2兩個值的大小．

變式1 比較0.52.5,0.53.2．

變式2 比較0.52.5,1.53.2．

圖1 圖2

設計意圖例1和變式1都是可以通過構造一個指數函數，并利用指數函數的單調性來解決的，但是變式2的兩個值底數不同，無法構造一個指數函數而直接得解.有教師可能會說：“這類題目我們需要找一個中間量1來比較．”這個中間量1從何而來？學生百思不得其解，感覺這個1出現地非常突兀.筆者在處理這個問題時借助了指數函數的圖象，如果引導學生將這兩個值所對應的指數函數圖象畫出來(圖1)，可以看出1.53.2比1大，而0.52.5比1小，由此自然而然地引出y=1這條直線來(圖2).數形結合能使思考過程更有效．

4 關于數學起始課的教學反思

4.1 在起始課中要合理設置問題情境

本節課是蘇教版必修1第3章“指數函數、對數函數和冪函數”中“指數函數”第1節課，學生已經學習過一次函數、二次函數、反比例函數，而指數函數是學生在高中學習的第一個重要函數模型，并且指數函數是學生在學習過函數概念及性質的基礎上，應用研究函數的一般方法來研究初等函數的一次實踐．因此，本節課所學習的內容起著承上啟下的作用,也是學生體驗數學思想與方法應用的過程．問題情境的創設可以是與實際生活背景相關的問題，可以是數學概念形成過程中的問題，也可以是數學史或數學文化等，但它們都必須具備說明概念引入的必要性的功能，這是最重要的選擇標準.一方面可以引入指數函數，另一方面也使學生理解了學習指數函數的必要性，從而激發學生學習興趣．

4.2 在起始課中要注重概念的生成

當前高中數學起始課的概念教學中，許多教師不重視，僅僅就是將知識點過了一遍，對于概念背景的引入也是蜻蜓點水、一筆帶過，或者是給出“一個定義，三項注意”.實際上，概念背景的引入不光是讓學生知道為什么要學，更能向學生揭示概念的本質.本節課的教學過程中，筆者從實際生活例子出發引導學生理解指數函數的實際背景，而對于指數函數概念的形成過程，筆者希望學生都能主動參與概念的形成過程，這也是新課程的理念.但學生如何參與？教學設計需要為這個過程搭建合適的平臺.在本節課中，筆者設置了有關指數函數概念的一連串的問題，為學生的提煉、抽象、概括活動搭建好“腳手架”，有效地組織課堂活動，大大提高了課堂的效率．

4.3 在起始課中要搭建互動探究平臺

教師應發揚教學民主，給學生提供由自己提出問題、確定研究策略的平臺，使學生逐步學會怎樣研究問題，促進自我能力的發展，同時為今后的學習積累經驗，鼓勵學生大膽質疑，提出自己的看法，使學生在合作學習中有獲得輕松感．這樣才能有利于學生在課堂上大膽提出問題，暢所欲言，集思廣益，逐步形成寬松民主的課堂氣氛，為生生、師生之間成功合作學習創設良好的教學環境．鑒于學生尚未完全掌握研究函數的一般方法，在自主探究活動前，教師應組織學生對研究的策略、方法和內容展開討論，達成共識．在問題提出后，教師應及時有針對性地補充啟發，幫助學生理解什么叫“如何研究”，促進學生理解研究函數的一般方法．在交流合作探究活動過程中學生通過實際操作，經歷從特殊到一般、具體到抽象的研究過程，體驗數形結合的思想方法．對于部分能力較強的學生，可引導他們嘗試說明(或證明)歸納出來的性質，體驗數學研究的完整過程．

4.4 在起始課中要提升數學核心素養

數學的核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析六個方面．數學抽象是數學的基本思想，反映了數學的本質特征，貫穿在數學的產生、發展、應用的過程中．在這節課的教學活動中，從實際生活中特殊的指數函數模型抽象出一般的指數函數的結論，在經歷了從x∈N*過渡到x∈R，再到底數a的取值范圍問題的過程，這一過程使得學生能更好地理解數學概念的形成，知道概念的來龍去脈．而直觀想象利用直觀幾何圖形理解和解決數學問題．對于本節課的例1，我們就利用指數函數的圖形特征，從圖形中不難發現兩個數值與1的大小關系，在課堂教學中我們要啟迪學生解決問題的思路，建立形與數之間的聯系，加深對指數函數的理解和認知．