從高考試題談數(shù)學文化融入教學

蔣孝國 (江蘇省太湖高級中學 214125)

為深化課程教學改革，教育部考試中心于2016年10月公布了《關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知》，從考試命題的角度第一次正式地要求把數(shù)學文化滲透入高考試卷．《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》(下稱《標準》)指出數(shù)學文化是數(shù)學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展，還包括數(shù)學在人類生活、科學技術、社會發(fā)展中的貢獻，以及與數(shù)學相關的人文活動．《標準》強調數(shù)學文化要融入課堂教學，因此研究高考試卷中的數(shù)學文化試題有重要意義．本文中筆者將2018年數(shù)學文化試題歸納為數(shù)學名家、數(shù)學名著、數(shù)學名題和數(shù)學應用四種類型進行賞析，并統(tǒng)計1978-2018年高考數(shù)學試卷中文化試題出現(xiàn)的情況，從對試題的分析得到數(shù)學文化融入日常教學的啟示．

1 數(shù)學名家

例1(2018·全國Ⅱ)我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30 = 7 + 23．在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是( )．

本題中不超過30的素數(shù)有：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29，共計10個；滿足題意的為7和23, 11和19, 13和17，答案為C．幾百年來，數(shù)學家對哥德巴赫猜想進行了艱辛的探索，中國的數(shù)學家取得了輝煌的成績． 1966年，陳景潤證明了“1 + 2”，即任一個大偶數(shù)都可表示成一個素因子不超過1個的數(shù)與另一個素因子不超過2個的數(shù)之和．數(shù)學家出現(xiàn)在高考試卷已呈常態(tài)，筆者統(tǒng)計1978-2018年高考試卷中數(shù)學家出現(xiàn)的情況如表1．

從表1可看出，中國古代數(shù)學家出現(xiàn)次數(shù)較多．這體現(xiàn)高考試卷展示中國數(shù)學家成就、培養(yǎng)中學生熱愛傳統(tǒng)文化、弘揚愛國主義精神的導向． 以數(shù)學家或者數(shù)學家的成果命制試題，一方面可以考查學生的思維方式和方法，有利于幫助學生認識數(shù)學的發(fā)展性、直觀性、構造性等；另一方面，中外數(shù)學家為探索真理、發(fā)明創(chuàng)造,以科學務實的精神百折不撓、奮力拼搏，留下了許多可歌可泣的故事，是育人教育的好素材，能激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和動機，培育真善美．

表1 高考試卷中出現(xiàn)的數(shù)學名家

2 數(shù)學名著

例2(2018·上海)《九章算術》中，稱底面為矩形且有一側棱垂直于底面的四棱錐為陽馬．設AA1是正六棱柱的一條側棱，如圖1，若陽馬以該正六棱柱的頂點為頂點，以AA1為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個數(shù)是( )．

(A)4 (B)8 (C)12 (D)16

圖1

本題中陽馬個數(shù)為16．《九章算術》是中國古代最著名的傳世著作，對中國古代數(shù)學和數(shù)學教育的發(fā)展起著巨大的作用．全書共九章，分別是方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股．

本題是著名的“百雞問題”，解得x=8,y=11．唐朝在國子學中設立明算科，欽定的教科書是《算經十書》，包括《九章算術》《張丘建算經》等十本數(shù)學名著．《張丘建算經》主要的數(shù)學成就是某些不定方程的求解以及最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的計算，發(fā)展了等差級數(shù)．數(shù)學名著出現(xiàn)在高考試卷已是屢見不鮮，數(shù)學名著出現(xiàn)情況統(tǒng)計如表2．

表2 高考試卷中出現(xiàn)的數(shù)學名著

從表2我們看出《九章算術》出現(xiàn)的次數(shù)最多．這是因為《九章算術》是中國古代最重要的數(shù)學著作，開創(chuàng)了中國古代數(shù)學的基本術語與概念，反映了社會需要的實際要求，形成中國古代數(shù)學以實用為目的、以算法為核心的獨特體系．以數(shù)學名著為背景命制高考試題，既可讓學生了解中國古代的數(shù)學成就，又可讓學生感受我國古代數(shù)學的優(yōu)秀傳統(tǒng)——數(shù)學要關注生產、生活等社會問題，通過了解數(shù)學文化，體會數(shù)學知識方法在認識現(xiàn)實世界中的重要作用．

3 數(shù)學名題

例4(2018·全國Ⅰ)下圖2來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB,AC，△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ的概率分別記為p1,p2,p3，則( )．

(A)p1=p2(B)p1=p3

(C)p2=p3(D)p1=p2+p3

圖2

由勾股定理可得兩個月牙的面積等于△ABC的面積，故選A．希波克拉底是古希臘幾何學家．他有兩大貢獻，一是第一次闡述了從幾個已知公理或公設中精確而有邏輯性地推導出幾何定理的過程，二是證明了“月牙面積定理”，實現(xiàn)了“化月牙為方”．古希臘數(shù)學家掌握了三種類型的“化月牙為方”，1771年歐拉發(fā)現(xiàn)了另外兩種類型的“化月牙為方”，直到 20世紀，N. G. 切巴托魯和A. W.多羅德諾才證明出這五種“月牙形”是唯一可用等積正方形表示的“月牙形”．數(shù)學名題以“顯性”或者“隱性”的形式在高考試卷中出現(xiàn)，筆者統(tǒng)計如下表3．

表3 高考試題中出現(xiàn)的數(shù)學名題(不完全統(tǒng)計)

數(shù)學名題是在歷史的長河中形成的，并在數(shù)學發(fā)展、數(shù)學應用和數(shù)學教學方面起著重要作用，代代相傳，交融傳播，體現(xiàn)了和諧之美，是數(shù)學園地中的奇花異草，是人類文化的瑰寶．從表3我們可看出，高考試卷中融入了大量的經典名題，背景涉及古今中外，彰顯了數(shù)學的文化特征，豐富了高考數(shù)學的文化內涵，有助于考生接受不同數(shù)學文化的熏陶，領略古今中外數(shù)學思想和方法的魅力．

4 數(shù)學應用

(1)建筑與數(shù)學

圖3

例5(2018·全國Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來，構件的凸出部分叫棒頭，凹進部分叫卯眼，圖3中木構件右邊的小長方體是棒頭．若如 圖3擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是( )．

(A) (B) (C) (D)

本題以古建筑設計為背景，本質上是將小長方體嵌入大長方體中，從俯視方向看，小長方體的俯視圖必然是虛線，故選A．建筑是人類為適應環(huán)境的一種創(chuàng)造，是客觀物質世界的數(shù)量關系與空間形式的表現(xiàn)．數(shù)學是建筑設計思想重要的來源，數(shù)學知識在建筑上的應用無處不在.一部建筑史，也是一部輝煌的數(shù)學史．

(2)音樂與數(shù)學

本題以音樂與數(shù)學為背景，考查等比數(shù)列基本量的運算．萊布尼茨說：“音樂，就它的基礎來說，是數(shù)學的；就它的出現(xiàn)來說，是直覺的．”愛因斯坦風趣地說：“我們這個世界可以由音樂的音符組成，也可以由數(shù)學公式組成．”音樂與數(shù)學都是抽象的，都是通過有限去反映和把握無限．

數(shù)學對人類的影響主要反映在數(shù)學知識、方法和思維的應用上．在社會發(fā)展上，數(shù)學是推動物質文明的重要力量；數(shù)學是建設精神文明的重要因素；數(shù)學是推動藝術發(fā)展的文化激素．生活上，數(shù)學幫助人類提高效率、判斷與決策以及優(yōu)化生活．以數(shù)學應用為背景的文化試題在高考試卷中也多有體現(xiàn)，筆者統(tǒng)計如下表4(不包含應用題和概率統(tǒng)計)．

表4 高考試題中出現(xiàn)的數(shù)學應用

從表4我們不難看出數(shù)學試題貼近生活，反映數(shù)學與其他學科的聯(lián)系．以數(shù)學應用為背景的數(shù)學文化試題拉近考生與生活的心理距離，可以使學生感受到數(shù)學與現(xiàn)實生活的廣泛聯(lián)系，體會數(shù)學的價值，形成數(shù)學應用的意識．

5 教學啟示及建議

數(shù)學文化融入課堂教學可使課堂有文化層次性、有歷史厚重感，讓數(shù)學內容變得生動活潑，使學生興趣盎然．從試題的分析得到如下啟示．

(1)數(shù)學閱讀教學與寫作教學相結合

數(shù)學文化素材中有大量的數(shù)學家故事、數(shù)學概念起源、數(shù)學名題的形成過程等．閱讀數(shù)學文化素材可開擴學生的視野，增長知識，了解數(shù)學方法和思想的形成過程，體會數(shù)學家的辛勤付出和艱難跋涉，學習數(shù)學家探索真理的科學精神．開展閱讀教學，教師要從古中國、古希臘等世界古代數(shù)學文明以及現(xiàn)當代數(shù)學中遴選材料，組織學生閱讀，指導學生寫感想、體會，引導學生對數(shù)學名題進一步研究并撰寫研究報告或者小論文，組織專家對論文進行評價．

(2)教學運用歷史相似性原理

數(shù)學文化主要源于數(shù)學史．歷史相似性原理指出個體數(shù)學理解的發(fā)展遵從數(shù)學思想的歷史發(fā)展順序．因此教學時，教師首先要通過創(chuàng)設情境激發(fā)學生的學習興趣、動機，將數(shù)學思想逐步演化的歷史過程與數(shù)學嚴格的邏輯推理過程有機結合，運用數(shù)學史的觀點和材料重新組織教學的體系與內容，呈現(xiàn)知識的發(fā)生發(fā)展過程．

(3)開展數(shù)學建模活動

數(shù)學建模是聯(lián)系數(shù)學與實際問題的橋梁，是數(shù)學科學技術化的主要途徑．《標準》指出數(shù)學建模活動是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學的語言表達問題、用數(shù)學方法構建模型解決問題的過程．教學時，教師要引導學生在生活化的情境中體驗、探究隱藏于其中的數(shù)學，指導學生在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題，最終解決問題．