實驗中感悟 思考中明理
——以平面圖形密鋪的實驗教學為例

王 龍 (江蘇省南京師范大學蘇州實驗學校 215000)

蘇科版數學教材每冊都有一本《數學實驗手冊》，目的是讓學生經歷實驗探索的過程，在動手操作中感悟數學．本文對平面圖形的密鋪的實驗教學進行整理，以供參考．

1 平面圖形的密鋪教學流程

教學環節1 欣賞生活實例

欣賞圖案(圖1).

圖1

課前學生已經預習過教材，知道什么是平面圖形的密鋪(以下簡稱密鋪).課堂上,教師首先讓學生回答什么是密鋪.

平面圖形的密鋪：用形狀和大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，使圖形之間沒有空隙、也沒有重疊地鋪成一片，叫做平面圖形的密鋪，也叫平面圖形的鑲嵌．

接著，學生欣賞生活中常見的圖案，感悟密鋪在生活中隨處可見、有研究的價值，為后面的實驗操作打好基礎．教師著重提問：你能說說你對“密鋪”中的“密”的理解嗎？學生自主提煉出關鍵點：圖形之間沒有空隙，圖形之間沒有重疊．

學生在預習的基礎上，通過對圖片的欣賞、觀察，發現生活中到處存在數學圖案之美；以此激發學生自主創作的熱情，為探究數學現象的本質打下基礎．

教學環節2 實驗操作

活動1 只用同一種正多邊形圖形，哪些圖形可以密鋪？

學生利用手中的材料，在實驗單上粘貼拼圖，部分作品如下(圖2).

圖2

教學組織：學生展示拼圖，并總結出正三角形、正方形、正六邊形可以進行密鋪．

深度思考：你能發現這些拼在一起的角滿足什么數量關系嗎？(同一頂點處，各角之和為360°)

進一步說明：6×60°=360°，4×90°=360°， 3×120°=360°.對于x個正n邊形，若關于x的方程nx=360有整數解，則圖形能夠密鋪．

活動2 只用兩種正多邊形圖形，哪些組合可以進行密鋪？

學生小組合作拼圖，部分作品展示如下(圖3).

圖3

學生在拼圖時遇到多種情況，比如拼圖有空隙、拼圖有重疊，再重新操作，而有的小組先計算再進行拼圖．學生在實驗操作中感受到分類組合，有些小組試圖優化實驗操作的方案，從而自發對圖形中角的數量關系進行思考．教師拿著學生的作品追問：“大家看這個拼圖，很美觀！但是有沒有一點縫隙或者一點重疊，你怎么能知道呢？”有學生回答可以看出來，但最后大家一致認定要通過計算進行驗證.此時學生的思維趨于理性，思維也更加嚴謹，這就實現了從感性到理性的升華．

結論：正三角形和正方形、正三角形和正六邊形、正方形和正八邊形能組合密鋪．

第三，定價方法單一。正如上文所言，南通鵬越紡織有限公司堅持成本定價為主，市場競爭定價為輔，這是一種典型的成本定價法。但這種定價方法十分機械，不能囊括所有。且面對靈活多變的市場，也能有著較為全面客觀的掌控。

活動3 同一種任意三角形能否密鋪？

啟發學生從正多邊形到一般多邊形的研究．

學生通過小組合作，發現同一種任意三角形能夠密鋪．教師追問為什么,學生從問題的本質出發，得出結論：在同一頂點處能拼成360°角．同樣地，在教師的追問下，學生易得：同一種任意四邊形也能密鋪，因為四邊形內角和是360°．

問題：同一種任意五邊形能密鋪嗎？

教師展示目前發現的十六類五邊形的密鋪圖案(圖4)．

圖4

教學環節3 課堂小結(圖5)

圖5

2 回顧與反思

反思這節課的教學，有以下幾點思考.

(1)從簡單實驗到理性思考.課前預習使學生對于本節課的內容有了淺層的了解，目的是使課堂學習的針對性更強，也讓學生體會怎樣才能做到深度地學習．學生喜歡動手操作，感覺好玩，卻容易忽視實驗后的反思．教師及時引導，讓學生在直觀感知的基礎上更進一步，由感性到理性，揭示現象的本質．數學的價值在于抽象歸納，要把直觀感受變成抽象的規律， 就像學生操作時能直觀感受看到密鋪，但通過理性思考(在同一個頂點拼成360°)則思維更加嚴謹．

(2)從問題研究到方法滲透.本節課的實驗操作設計簡單，學生易于獨立完成或小組合作完成.學生在實際操作中不知不覺地感受到研究問題的基本方法，提升學生學習數學的基本素養．課堂上學生經歷了由生活現象到數學問題、由圖形能否密鋪到方程是否有解、由研究簡單圖形到探究復雜圖形之間的關系、由具體的實驗現象到抽象的數學模型、由特殊實驗素材到一般的幾何圖形問題研究的過程．問題在于學生能否在每個階段的實驗中歸納出抽象的結論，能否感悟研究問題的方法．學生先經歷一種特殊圖形的拼圖操作，部分學生能從數量關系的角度總結，為接下來的深入研究提供參考.在后面的活動中，學生類比前面的經驗很快總結出一般性的結論，并根據數量關系列出方程，此時就實現了揭示問題本質的目的．史寧中教授認為，教學不僅要交給學生知識，更要幫助學生形成智慧．

(3)從數學知識到數學文化.從生活中隨處可見的建筑圖案就能聯想到在建筑師的設計中，不同的幾何元素可以表達不同的藝術理念，也表達了設計者的文化追求．學生在欣賞美的同時也產生出設計美的作品的愿望．數學文化不但是直觀的藝術形象，它還體現了數學的內在美．在學生印象中，現在學的知識都是很古老的，早就被人們所熟知，現在只是拿過來重新學習一遍而已．本節課中展現的任意五邊形的例子給學生很大的觸動，原來這些研究在世界最著名的大學中正在進行著．我們能發現學生激動的眼神，有的已經躍躍欲試，準備自己嘗試找到第十七種方案．此時學生心里已經埋下了數學的種子，這顆種子在某一個時刻就會破土發芽，這是一種數學文化，是一種數學精神、科學的精神．

(4)充分展現學生的思維.學生的思維是數學課堂上最美的花朵，或者說，學生不完美的思維展示才是課堂教學的意義所在.教師若能讓學生充分展示這種原生態的思維的過程，就能助推學生的真正發展．在本節課組合拼圖的過程中，有的小組發揮了集體智慧，創作出意想不到的圖案來.這樣的“意外”在課堂上要多一點，讓學生把知識靈活地應用到自己的設計方案中去．