探究路徑本質(zhì) 積累活動經(jīng)驗
——“瓜豆原理”教學(xué)設(shè)計與啟示*

顧 君 (江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校 215000)

1 基本情況

本節(jié)課是蘇州數(shù)學(xué)中考專題復(fù)習課，授課對象為九年一貫制學(xué)校初三普通班學(xué)生.

內(nèi)容分析 運動問題是近年來中考的一個熱門話題，此類問題涉及化歸、數(shù)形結(jié)合、圖形變換等數(shù)學(xué)思想和方法.本節(jié)課從圖形變換的角度對一類運動問題進行再認識，探究動點之間的變換關(guān)系與路徑之間的聯(lián)系，歸納此類動點運動問題的本質(zhì)，總結(jié)得到“瓜豆原理”.學(xué)生通過本節(jié)課的學(xué)習，積累相關(guān)活動經(jīng)驗，體會利用“瓜豆原理”解決此類問題相比于其他方法更具優(yōu)越性.

教學(xué)目標 (1)從圖形變換角度觀察定點、主動點和從動點三者之間的變換關(guān)系，感受動點變換規(guī)律與路徑之間的聯(lián)系，歸納得到“瓜豆原理”；

(2)應(yīng)用“瓜豆原理”解決運動問題中一類與動點路徑有關(guān)的問題；

(3)經(jīng)過本節(jié)課的學(xué)習，體會和感悟化歸、數(shù)形結(jié)合、圖形變換等數(shù)學(xué)思想和方法.

2 教學(xué)過程

為了探究動點運動路徑本質(zhì)，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，本節(jié)課的設(shè)計分為以下四個板塊：在情境創(chuàng)設(shè)中發(fā)展學(xué)生動機；在主動嘗試中優(yōu)化學(xué)生認知結(jié)構(gòu)；在變式探究中形成數(shù)學(xué)思維；在綜合應(yīng)用中提升學(xué)生能力.

2.1 板塊一：情境創(chuàng)設(shè)

活動1俗話說“種瓜得瓜，種豆得豆”，數(shù)學(xué)上同樣可以將一個圖形進行放大或者縮小，此類變換是什么？

設(shè)計意圖通過生活情境聯(lián)系數(shù)學(xué)中的位似變換，由數(shù)學(xué)外部情境引入數(shù)學(xué)內(nèi)部知識，旨在喚醒學(xué)生對位似變換知識的記憶，揭示本節(jié)課的主題.

圖1

活動2如圖1，已知線段AB，其中A為定點，且滿足AC∶AB=1∶2.

(1)從位似變換的角度看，點C如何由點B變換而來？

(2)任意拖動點B，點C位置會發(fā)生怎樣的變化？

2.2 板塊二：主動嘗試

活動3如圖2，如果點B在線段MN上運動，其他條件保持不變.

(1)點C的路徑是什么？它可以看作是由點B的路徑如何變換而來？

(2)點C的運動路徑長度PQ和點B的路徑長度MN之間有何數(shù)量關(guān)系？

(3)將點C繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°到點C′，則點C′運動的路徑是什么？

圖2 圖3 圖4

2.3 板塊三：變式探究

活動4如圖5，將點B在“定線段MN”改為在“定圓O”上運動且滿足AC∶AB=1∶2，其他條件保持不變.

(1)點C的運動路徑是什么？它可以看作是由點B的路徑如何變換而來？

(2)點C路徑所在圓的圓心和半徑如何確定？

(3)將點C繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點C′，點C′的運動路徑是什么？

圖5 圖6 圖7

活動5由活動3和活動4積累的經(jīng)驗，請思考：

(1)在圖3和圖6的前提下，若改變主動點和從動點的位似比，如AC∶AB=1∶3，則從動點和主動點所在的路徑長度之間有何變化？若繼續(xù)改變位似比，由此類推，你可以得到什么結(jié)論？

(2)在圖4和圖7的前提下，若改變旋轉(zhuǎn)角α，如∠α=30°，則從動點和主動點所在的路徑長度之間有何變化？若任意改變旋轉(zhuǎn)角α，由此類推，你可以得到什么結(jié)論？

(3)當主動點在三角形、四邊形或者其他圖形上運動，從動點的運動路徑是什么？從動點路徑與位似比、旋轉(zhuǎn)角之間有何關(guān)系？

設(shè)計意圖本活動是學(xué)生經(jīng)歷了操作、觀察和思考，對已有的經(jīng)驗進行歸納，總結(jié)得到以下結(jié)論：①兩動點之間的變換關(guān)系和路徑的變換關(guān)系是一致的，主動點和從動點之間保持“步調(diào)一致，集體行動”；②從動點的路徑長度是主動點的路徑長乘以相應(yīng)的位似比，即確定從動點、主動點與定點之間連線段的比值；③旋轉(zhuǎn)變換只改變路徑的位置，并不改變路徑形狀和大小.

2.4 板塊四：綜合應(yīng)用

圖8

設(shè)計意圖本活動是一個開放性探究活動(可以設(shè)計求點E和點D的路徑)，是對所得“瓜豆原理”經(jīng)驗的綜合應(yīng)用.學(xué)生通過交流和討論，厘清“瓜豆原理”本質(zhì)，關(guān)鍵是尋找“瓜豆三點”：定點、主動點、從動點.

3 教學(xué)啟示

數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗需要在已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上經(jīng)歷歸納推理形成新的經(jīng)驗.學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)除了獲得數(shù)學(xué)知識和技能之外，還能形成一定的數(shù)學(xué)思維模式，應(yīng)用這種數(shù)學(xué)思維模式在解決問題過程中對問題作出直觀的判斷，是數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗積累的關(guān)鍵.學(xué)生經(jīng)歷本節(jié)課的學(xué)習，從圖形變換的角度探究此類動點運動路徑的本質(zhì)，是相關(guān)活動經(jīng)驗的激活、積累、遷移和升華的完整過程.

3.1 在情境創(chuàng)設(shè)中激活經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)習動機

建構(gòu)主義學(xué)習觀認為，學(xué)生知識經(jīng)驗的積累不是簡單被動的接受，而是自己主動參與知識建構(gòu)的過程.作為學(xué)習的主體，學(xué)生的參與程度直接影響著數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的獲取程度.因此，調(diào)動學(xué)生的需求、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習動機至關(guān)重要.在活動1中,通過數(shù)學(xué)外部的情境激活數(shù)學(xué)內(nèi)部的已有經(jīng)驗，以生活中“種瓜得瓜，種豆得豆”直接經(jīng)驗類比圖形變換中的位似變換；在活動2中激活位似變換的相關(guān)知識，發(fā)展學(xué)生的動機，調(diào)動學(xué)生探索問題的主動性.

3.2 在主動嘗試中積累經(jīng)驗，優(yōu)化認知結(jié)構(gòu)

學(xué)生只經(jīng)歷一次活動，積累形成的經(jīng)驗是具體的、單一的.只有經(jīng)歷多次類似的活動，在不斷的反思、交流和歸納過程中才能形成系統(tǒng)的、有條理的經(jīng)驗.活動3中經(jīng)驗的積累分為兩個層次：當主動點在線段上運動時，從動點經(jīng)過位似變換也在線段上運動，這是學(xué)生的直觀感受，屬于淺層次的經(jīng)驗；當主動點和從動點之間不僅存在位似變換還存在旋轉(zhuǎn)變換時，雖然主動點和從動點之間的變換關(guān)系改變了，但本質(zhì)還是把握定點、主動點和從動點三點間的變換關(guān)系來分析.在這個活動過程中學(xué)生逐漸將低層次的經(jīng)驗轉(zhuǎn)化成較高層次的經(jīng)驗，并在推理過程中不斷優(yōu)化自己的認知結(jié)構(gòu).

3.3 在變式探究中遷移經(jīng)驗，形成數(shù)學(xué)思維

學(xué)生由具體的經(jīng)驗層面上升到思維層面，需要從研究對象的空間形式和數(shù)量關(guān)系中抽取出共同的、本質(zhì)的屬性.例如，活動3是點在線段上運動而活動4是點在圓上運動，雖然主動點的運動方式不同，但是主動點和從動點之間仍然保持“步調(diào)一致，集體行動”.經(jīng)過對活動5的經(jīng)驗進行歸納和總結(jié)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)從動點的路徑長度等于主動點路徑長度乘以相應(yīng)的位似比，只要位似比確定，從動點路徑長也隨之確定.在此過程中促進學(xué)生從“經(jīng)歷”走向“經(jīng)驗”，進而形成處理此類問題的數(shù)學(xué)思維模式.

3.4 在綜合應(yīng)用中升華經(jīng)驗，提升關(guān)鍵能力

在活動探究過程中，學(xué)生經(jīng)歷經(jīng)驗的激活、積累、遷移和應(yīng)用，教師除了關(guān)注基礎(chǔ)知識和技能，更需關(guān)注每個學(xué)生的能力培養(yǎng).考慮到學(xué)生個體的差異性，所積累的經(jīng)驗不盡相同，學(xué)生經(jīng)過活動6的組內(nèi)交流和反思，進行思維的碰撞和經(jīng)驗的交流，彌補自身認識的不足，在解決問題的過程中將自己內(nèi)化的經(jīng)驗進行應(yīng)用和升華，促進相關(guān)活動經(jīng)驗的提升和發(fā)展.與此同時，學(xué)生的關(guān)鍵能力在應(yīng)用這種思維模式解決問題的過程中不斷得到提升.