一個中世紀法律問題的解決方案與數學教育價值

汪曉勤 (華東師范大學教師教育學院 200062)

數學史是一個寶藏，其中蘊含了豐富多彩的問題．將有關問題用于課堂教學，可以為學生提供應用所學知識解決問題的機會．在學生解決問題的過程中，教師也可獲得考察數學史多元教育價值的機會．

圖1 淤積地分配問題

在14世紀的意大利，曾經產生過這樣一個法律案例[1]：如圖1，具有公共邊界OC的甲、乙兩塊土地的主人都想獲得洪水過后所產生的一塊肥沃的淤積地OAB(其中甲、乙兩塊土地與淤積地接壤的邊界線OA和OB均為線段，河岸線AB為不規則曲線)，雙方爭執不下，最終對簿公堂．假如你是律師，請問你會提出怎樣的分配方案，讓兩人都能接受？

筆者曾在多個不同場合給不同年級的初中生講授數學史課.課上讓學生解決上述土地分配問題,學生給出了很多種方案，且低學段學生的方案通常更加豐富多彩．本文對這些方案進行總結和分類，并對探究活動的德育價值進行分析，最后，對問題進行拓展，為初中平面幾何教學提供參考．

1 淤積地的分配方案

1.1 平均分配

一些學生認為兩人應該均分淤積地．但由于淤積地的形狀不規則，分割線不易確定，于是他們提出以下方法來完成分割．

(1)共同擁有整塊土地，一起種植，收獲的糧食平均分.

(2)播撒種子，根據種子的數量進行均分.

(3)將土地分割成許多相同的單元(如三角形、正方形)，根據單元的數目進行均分.

(4)制作一塊“縮微版”的土地模型，將模型涂上油漆，根據所用的油漆量，來確定分割線．

1.2 按比例分配

很多學生提出按比例分配的方案．具體有以下幾類．

(1)按照甲、乙兩塊土地的面積之比S甲∶S乙進行分配.

(2)按照甲、乙兩塊土地與淤積地接壤的邊界線長度之比OA∶OB進行分配.

(5)按照甲、乙兩塊土地主人家的人口數量之比進行分配.

(6)按照甲、乙兩塊土地主人家經濟狀況之反比進行分配．

1.3 補差分配

有學生認為，應該按照所得淤積地與原土地面積之和相等的方式來分配，即甲、乙主人所得到的面積P,Q應滿足S甲+P=S乙+Q．

1.4 作分割線

一些學生通過幾何作圖來找分割線．具體有以下幾類作圖法．

(1)延長甲、乙公共邊界CO，交河岸線于D，則OD即為淤積地的分割線(圖2).

(2)作淤積地端點連線AB的中點D，聯結OD并延長，交河岸線于E，則OE即為淤積地的分割線(圖3).

圖2 作圖方案1 圖3 作圖方案2 圖4 作圖方案3

(3)測得河岸線的中點D，則OD即為淤積地的分割線(圖4).

(4)分別作甲、乙邊界線OA和OB的垂直平分線，其交點為D，則OD即為淤積地分割線所在的直線(圖5).

(5)作甲、乙共線的邊界線MN的垂直平分線，分別交甲(或乙)與淤積地接壤的邊界線以及河岸線于E,F兩點，則EF為淤積地的分割線(圖6)．

圖5 作圖方案4 圖6 作圖方案5 圖7 作圖方案6

(6)找到淤積地的重心，重心與點O的連線就是分割線所在的直線．

(7)作∠AOB的平分線OD，交河岸線于點D，則OD即為分割線(圖7)．

1.5 其他方案

一些學生采用人們十分熟悉的分蛋糕方法：甲、乙兩塊地的主人中，一人確定分配方案，另一人先挑選．另一些學生提出兩家輪流種一年，或通過決斗武力解決問題，或通過抽簽的方式決定誰單獨擁有整塊淤積地，或通過兩家結成兒女親家而共同擁有淤積地．還有一位學生則提出：國有土地，不容私分．

2 分配方案的辨析

一個合理的分配方案需要滿足以下條件：一是公平公正，雙方都能認可；二是可以實施，具有可操作性．雖然學生給出了各種各樣的方案，但是絕大多數方案并不滿足上述條件．

平均分配方案雖然表面上看是公平的，但沒有考慮與甲、乙兩塊地的位置關系，兩者未必都能接受．另一方面，由于河岸線是不規則的，要將淤積地準確地二等分，僅利用14世紀人們所知道的數學知識是不可能完成的；而學生給出的方法或難以實施或誤差太大．

按比例分配諸方案也都存在面積測量的難題．此外，按邊界線長度之比或甲、乙兩塊地的面積之比的方案雖然考慮了淤積地與甲、乙的位置關系，但可能會產生“多上加多”的結果，面積小的一方顯然不會接受；按邊界長度或甲、乙面積之反比來分配，或按兩家人口數之比分配，或按經濟收入之反比來分配，只能讓其中一方滿意，而法律所追求的公平公正并不等同于濟貧扶困．補差分配也存在同樣的問題．

幾何作圖諸方案中，前六種方案所依據的原則并不清楚，無法令人信服．第七種方案的依據最為清楚：淤積地中的任何一個區域，離誰家原有土地的邊界線更近，就歸屬誰家，因此，角AOB平分線的其中一段就是淤積地的分割線．事實上，這正是14世紀意大利法律教授巴托魯斯(Bartolus,1313～1357)的分配方案．這一分配方案既能為兩家所接受，又易于實施．

“分蛋糕方案”表面上比較合理，但最終還是繞不開如何分割的問題；“決斗”這樣的方案簡單粗暴，與法律背道而馳；“和親”方法雖頗具想象力，但并不現實．

3 德育價值的體現

數學學科的德育價值包含理性、情感、信念、品質等維度．淤積地分配問題用于課堂教學，有著豐富的德育價值．

首先，分配淤積地時，不能憑感情用事，不能僅看分割的便利性，不能局限于表面的公平，不能顧此失彼，更不能隨心所欲．古希臘哲學家亞里士多德云：“法律所事，在保持群益．”需要確立一種保持雙方利益的公平合理的原則，據此來實施分配．學生所給出的均分方案、按比例分配方案、絕大多數作圖方案都缺乏讓雙方都感到信服的依據．角平分線方案之所以令人心服口服，是因為它依據了公平合理的“距離原則”．可見，淤積地分配問題的探究有助于培養學生的理性思維和規則意識．

其次，學科關聯乃是基于數學史的數學文化內涵之一[2].但在傳統的平面幾何教學中，由于數學文化的缺失，學生很少感受到數學與人類其他知識領域之間的密切聯系，正如美國學者Bidwell指出的那樣：“在課堂里，我們常常這樣看待數學，好像我們是在一個孤島上學習似的．我們每天一次去島上學習數學，埋頭鉆進一個純粹的、潔凈的、邏輯上可靠的、只有清晰線條而沒有骯臟角落的書房．學生們覺得數學是封閉的、呆板的、冰冷無情的、一切都已發現好了的．”[3]

淤積地分配問題揭示了數學與法律之間的聯系，可以幫助學生樹立積極的數學信念．角平分線的概念、性質與作圖法也因為有了現實應用而變得生動有趣．

再次，關于淤積地分配的探究活動對于培養學生良好的品質也有重要意義．數學課堂上的探究活動由“準備與聚焦”“探究與發現”“綜合與交流”以及“評價與延伸”諸環節組成[4]．在“綜合與交流”環節，每一位學生都有機會展示自己的解決方案，每一位學生也都是傾聽者、反思者和獲益者．因此，探究活動有助于培養學生傾聽、尊重和包容的品質．在“評價與延伸”環節，教師呈現古今聯系，14世紀的法律教授仿佛成了班里的一名“額外”學生，而那些給出角平分線方案的學生又仿佛成了14世紀的法律教授，其自信心得到了提升．

4 問題的拓展

在淤積地分配問題中，一旦確定了公平合理的“距離”原則，教師可以采用有關提出問題策略，來提出各種不同的問題．例如，如果采用條件操作策略(即改變已知情境中的一個或若干個條件)或目標操作策略(改變已知情境中的目標)，可以提出一系列數學問題．

問題1如圖8，若河岸線AB為線段，淤積地OAB為三角形，OA∶OB=2∶3，則甲、乙兩塊地的主人所分得的淤積地面積之比為多少？

問題2如圖8，河岸線AB為線段，淤積地OAB為三角形，已知AB的中點與點O的連線為淤積地的分割線，試判斷△OAB的形狀．

問題3如圖8，河岸線AB為線段，淤積地AOB為三角形，作OA與OB的垂直平分線，其交點為O′，淤積地的法定分割線恰為OO′的一部分，試判斷△AOB的形狀．

圖8 拓展問題1 圖9 拓展問題2 圖10 拓展問題3

問題4如圖9，河岸線AB為線段，四邊形AMNB為矩形，淤積地AOB為三角形，其頂點O位于MN上，甲、乙兩塊地的主人所得淤積地連同原有土地面積之和恰好相等．試判斷△AOB的形狀．

問題5如圖10，河岸線AB為線段，淤積地AOB為三角形，其頂點O位于MN上，測得∠AOM=∠BON，MO∶ON=m∶n(m>0,n>0)，問：甲、乙兩塊地的主人所分得的淤積地面積之比為多少？

問題6如圖11，若邊界線OA和OB位于同一直線上，則如何分配淤積地？

圖11 邊界共線 圖12 邊界共線、 圖13 邊界為圓弧河岸線為圓弧

問題7如圖12，邊界線AOB為線段，且河岸線為半徑等于50米的四分之一圓弧，若AO∶OB=1∶2，則淤積地的法定分割線有多長？

問題8如圖13，若邊界線AOB為圓弧，則如何分配淤積地？(提示：先求圓弧AOB的圓心，圓心與點O的連線即為淤積地的分割線)

問題9如圖14，邊界線AOB為四分之一圓弧，其半徑為80 m．若河岸線AB為線段，且圓弧AO和圓弧OB的長度之比為1∶2．求甲、乙兩地主人所分得的淤積地面積之比．

圖14 弓形淤積地 圖15 圓弧所圍淤積地

問題10如圖15，邊界線AOB與和河岸線為半徑相同的圓弧．已知淤積地分割線恰好位于CO的延長線上，求甲、乙兩塊地的主人所分得的淤積地面積之比．

我們甚至可以將邊界線換成更一般的曲線(如拋物線)，從而產生更為復雜的問題．

5 結語

不同形狀淤積地的分配問題蘊含著豐富的平面幾何知識，涉及垂線、角平分線的概念與性質、等腰三角形性質、弧長與扇形面積、梯形面積、垂徑定理及其逆定理、相交弦定理、勾股定理、相似三角形性質定理、平行線分線段成比例定理等，是初三平面幾何復習課的理想素材．教學實踐表明，學生對該問題有著濃厚的興趣，通過有關的探究活動可以實現豐富的德育價值；同時，該問題又為學生在課堂上提出新問題提供了理想的情境．因此，我們可以借助該問題的教學，探索初三復習課的新策略，讓初三復習課實現知識的融合、營造探究的樂趣、促成思想的交流、傳遞創新的精神、洋溢文化的芬芳．