探究“隱形橢圓” 培養關鍵能力*

趙加營 王騰飛 (江蘇省宿遷中學 223800)

橢圓與圓極為相似，它的封閉性特征可以類比圓的諸多性質．不僅如此，橢圓又是圓錐曲線的“領頭羊”，和雙曲線、拋物線等開放曲線有著共通的特性(如對稱性、離心率、光學性質等)．因此，對橢圓的研究具有極其重要的地位和作用．這一點不僅體現在現實世界的廣泛應用及數學世界的理論研究中，也表現在現行高考制度下的考題內．在圓錐曲線解題教學時，發現部分橢圓問題往往不是以顯性的形式出現，而是隱藏在題設所給的信息中，只有通過化歸轉化，讓橢圓顯現出來才能峰回路轉，從而迎刃而解．對于這一類“隱形橢圓”問題，根據題設中隱含信息把橢圓顯化是解決問題的關鍵．在轉化、顯化的過程中，可以培養學生的認知能力(如邏輯推理、數學建模、數學抽象、直觀想象等)、合作能力、創新能力等數學關鍵能力．

1 第一定義顯示橢圓

例1已知△ABC的周長為6，AB=2，求△ABC面積的最大值．

圖1

以上思路是不少學生拿到題目后的第一選擇，但是這里存在以下兩個問題：(1)運算量偏大，出錯機會多；(2)盡管結果是對的，但變量x的范圍是錯誤的．事實上，x的范圍應該是04-x且2+4-x>x，即1

點評數學概念是最基礎的知識，是數學推理的基礎．對于數學概念內涵和外延的準確理解和掌握是學好數學的前提．而應用數學概念解決數學問題往往能起到事半功倍的效果，常常能舉重若輕，一點即通．運用概念，往往沒有復雜的運算，也可避免設置的陷阱．第二種思路就是通過橢圓的第一定義，把隱藏的橢圓顯現出來．在顯化的過程中，體現出數形結合的思想，從而培養等價轉化的思維能力．

另外，蘇教版教材選修2-1中利用橢圓的第一定義的問題有：

第33頁習題7：已知圓F1:(x+1)2+y2=1，圓F2:(x-1)2+y2=9．若動圓C與圓F1外切，且與圓F2內切，求動圓圓心C的軌跡方程．

圖2

第33頁習題11(操作題)：準備一張圓形紙片，在圓內任取不同于圓心的一點F，將紙片折起，使圓周過點F(圖2)，然后將紙片展開，就得到一條折痕(為了看清楚，可把直線l畫出來)．這樣繼續折下去，得到若干折痕．觀察這些折痕圍成的輪廓，它是什么曲線？

第76頁本章測試6：已知點N(2,0)，圓M:(x+2)2+y2=36，點A是圓M上一個動點，線段AN的垂直平分線交直線AM于點P，則點P的軌跡方程是．

2 第二定義揭示橢圓

點評數和形是構成數學問題的兩個基本要素，正如一枚硬幣的正反面，兩者的恰當轉換有利于問題的順利解決．本題中，觀察條件中等式兩邊的結構，通過其幾何意義的聯想，運用橢圓的第二定義揭開隱藏的橢圓，尋找到動點的軌跡．事實上，幾乎所有數學問題的解決都是在不斷地等價轉換問題，由復雜到簡單，由陌生到熟悉，由綜合到基本，由抽象到具體．加強學生等價轉換問題的思維能力的訓練，也是對數學思維的靈活性、發散性、創造性的訓練，有利于發展數學思維能力、提升數學思維品質．

3 圓的伸縮演變橢圓

圖3

點評從教育哲學的觀點看，某些知識結構之間存在著必然的內在聯系，橢圓與圓正是如此．本題中，揭開隱藏的橢圓后，可以清楚看到：在伸縮變換中，圓與橢圓互為演變；從類比推理上，得出兩者一致性的結論(斜率乘積為定值)．沿著這樣的思路，還可以探究出兩者諸多類比的性質．對培養學生的推理論證能力(特別是合情推理中的類比推理)，揭示數學知識內部聯系的認知能力，都是大有裨益的．

4 Dandelin雙球締造橢圓

圖4

分析 此問題中兩個平面之間的距離其實就是兩球心O1,O2之間的距離，也就是兩個半徑與中間“懸空”部分的距離．“懸空”的距離怎么求呢？似乎是比較困難的．但如果換個角度，設球O1,O2與平面γ切于F1,F2，點P是平面γ與圓柱相交的曲線上任一點，過點P的母線與平面α,β交于點K1,K2．由于PF1,PK1均為球O1的切線，所以PF1=PK1．同理，PF2=PK2．故PF1+PF2=PK1+PK2為定值．根據橢圓

點評本題有著悠久的數學文化背景和豐富的圓錐曲線知識．追溯圓錐曲線的起源，2000多年前，古希臘數學家阿波羅尼斯(約公元前262-前190)采用平面切割圓錐的方法得到圓、橢圓、雙曲線、拋物線．并且，在其《圓錐曲線》著作中使用純幾何方法已經取得了今天高中數學教科書中關于圓錐曲線的全部性質和結果．事實上，現在教材中的第一定義是阿波羅尼斯《圓錐曲線》中的一個命題[1]．

另外，比利時數學家旦德林(Dandelin，1794-1847)在圓錐與圓的切線等研究上取得了巨大的成果．舉世聞名的旦德林雙球就以他的名字命名．旦德林在圓錐里上下各塞進相離內切球，球面與切截平面的切點就是焦點，平面與圓錐的截線是圓錐曲線．旦德林雙球將圓錐曲線的截線定義和軌跡定義如此神奇地融為一體，真是讓人嘆為觀止．同時，圓錐曲線的第二定義在此也巧妙呈現：截線上的點到切點的距離與到相應兩個平面的交線的距離之比為離心率．

對此問題的探究，一方面可以利用圓錐曲線的豐富內容進行數學史、數學文化的教育．另一方面，在研究問題的過程中，平面與空間不斷轉換，線面相切與面面相切相互交織，平面距離與空間距離不斷轉化，數學抽象、直觀想象能力能夠得到有效的訓練與提升．

以上幾個“隱形橢圓”的例子只是冰山一角．事實上，球的斜投影、一些星體的運行軌道、某些動點的軌跡(如帕普斯在《數學匯編》中研究的“三線軌跡”和“四線軌跡”[2]等問題)等等都會“顯露”出橢圓來．從高觀點上看，數學的研究對象之間存在著某種內在的聯系，一邊是“顯山露水”的，另一邊是“藏而不露”的，兩者之間似乎有一根無形的絲線，將它們密切地牽連在一起，從一邊沿著這條絲線抽絲剝繭，便可順利地到達另一邊．在教學中，需要教師精心設計，精選問題，啟發學生善于捕捉提供的信息，發揮聯想，加強聯系，積極聯動，將思維游走在“絲線”上，去揭示隱藏起來的橢圓、圓等．在此過程中，培養學生的認知能力、合作能力、創新能力等數學關鍵能力．