圓與橢圓等比點(diǎn)的類比性質(zhì)及其應(yīng)用

蔡祖才 (江蘇省常熟市中學(xué) 215500)

所謂等比點(diǎn)，是指直線上四個(gè)點(diǎn)組成的某三條線段長依次成等比數(shù)列的點(diǎn)的關(guān)系，也就是若在線段OA上存在兩點(diǎn)B，C，滿足OA·OC=OB2，我們稱A，B，C是關(guān)于點(diǎn)O的等比點(diǎn)，它類似于直線上的調(diào)和點(diǎn)列．圓與橢圓是具有相似性的兩個(gè)對象，本文從圓的一個(gè)等比點(diǎn)性質(zhì)出發(fā)，通過類比得到橢圓相關(guān)的性質(zhì)，并證明和應(yīng)用．

圖1

性質(zhì)1如圖1，已知點(diǎn)F是圓O內(nèi)異于圓心的一定點(diǎn)，射線OF與圓O交于M，在射線OF上存在一點(diǎn)H，使得OF·OH=OM2，過點(diǎn)F的動(dòng)直線與圓O交于點(diǎn)A，B，求證：∠AHF=∠BHF．

證明當(dāng)AB與OM有部分重合時(shí)，顯然成立．

因?yàn)镺A=OB，所以△AOB為等腰三角形，故∠OAB=∠OBA，從而∠AHO=∠BHO，即∠AHF=∠BHF．

評注這是圓的一個(gè)最基本的等比性質(zhì)，由于OF·OH=OM2，所以O(shè)F，OM，OH成等比數(shù)列，由此容易得到一對相似三角形，再通過等腰三角形可以得到角度相等的性質(zhì)．

在圓中簡單的性質(zhì)通過類比橢圓得到不簡單的結(jié)論．

圖2

證明當(dāng)直線l′垂直于y軸，結(jié)論顯然成立．

而 Rt△AA1H∽ Rt△BB1H， 故∠AHA1=

∠BHB1．

因?yàn)椤螦HF=90°-∠AHA1，∠BHB1=90°-∠BHB1，所以∠AHF=∠BHF．

評注通過類比，將圓變成橢圓，若定點(diǎn)分別變?yōu)榻裹c(diǎn)和準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，就可以用橢圓的第二定義及相似三角形，從而得到類似的結(jié)論．

證明當(dāng)直線l垂直于y軸時(shí)，結(jié)論顯然成立．

圖3

評注若將圓變成橢圓，兩定點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積仍保持為a2，則相似結(jié)論同樣成立.我們利用了解析法加以證明，充分體現(xiàn)了用代數(shù)方法解決幾何問題的解析法思想．

圖4

當(dāng)AA1≤BB1或P在直線HA1的其他位置時(shí)，同樣能證明結(jié)論成立．證畢．

評注將圓問題中的一個(gè)定點(diǎn)改變到動(dòng)直線上的任意一點(diǎn)，得到類似的結(jié)論，利用相似三角形的證法也沒有改變．

圖5

評注將圓變成橢圓，定點(diǎn)定直線分別變?yōu)榻裹c(diǎn)與相應(yīng)的準(zhǔn)線，這樣的結(jié)論可用極坐標(biāo)思想的方式加以證明．

圖6

評注類比橢圓中等比點(diǎn)的一般結(jié)論，我們可用解析法加以證明，可見解析法是一種基本的方法之一．

(1)求橢圓C的方程．

(2)設(shè)點(diǎn)P(4，2)，點(diǎn)M在x軸上，過點(diǎn)M的直線交橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．

②設(shè)直線PA，PB，PF的斜率分別為k1，k2，k3，是否存在定點(diǎn)M，使得k1+k2=k3恒成立？若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

評注本試題(2)②是結(jié)論4特例的逆命題．

應(yīng)用2(蘇州市2018-2019學(xué)年第二學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量陽光指標(biāo)調(diào)研卷高二文科數(shù)學(xué)19題)在

(1)求橢圓C的方程.

(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，3)，求弦AB的長度.

(3)設(shè)直線PA，PB，PF的斜率分別為k1，k2，k3，問：是否存在常數(shù)λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

評注本試題(3)是結(jié)論4特例的逆命題．

(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB．

評注本試題(2)是結(jié)論3的特例．

類比思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種較為常見的數(shù)學(xué)思想，類比教學(xué)成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)常常使用的一種教學(xué)手段．正如波利亞解題表對如何解題提出了大量問句或建議，這是解題者的自我詰問、自我類比和自我反思．本文以圓和橢圓等比點(diǎn)的類比研究為例，利用類比思想對數(shù)學(xué)問題的研究，從圓到橢圓，從特例到一般，得到類比結(jié)論和方法，這是研究數(shù)學(xué)問題的最基本方式，值得讀者一試．