基于創新能力培養的高職數學建模課程案例教學研究

摘 ?要：培養高職學生的創新能力是高等職業教育的重要使命和擔當，高職數學建模課程案例教學緊密圍繞創新能力培養這一主線，總結了數學建模和競賽五個作用，分析了案例教學的六個特點，剖析了案例教學應該注意的三個問題：選擇合適的案例、充分發揮教師的主導作用和學生的主體作用，以易拉罐的優化設計模型為例闡述案例教學課堂設計理念。

關鍵詞：高職教育;創新能力;數學建模;案例教學

中圖分類號：G712 ? ? ? ?文獻標志碼：A ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2020）13-0096-05

Abstract： Cultivating the innovation ability of students is an important mission and responsibility of higher vocational education， and the case teaching of higher vocational mathematics modeling course closely centers on the main line of innovation ability training. This paper summarizes five functions of mathematical modeling and competition and analyzes the six characteristics of case teaching and the three problems that case teaching should be paid attention to： selecting the right case， giving full play to the leading role of teachers and the main role of students， and taking the design optimization model of "ring-pull can" as an example to expound the design concept of case teaching.

Keywords： higher vocational education; innovation ability; mathematics modeling; case teaching

創新是一個民族進步的靈魂，是國家興旺發達的不竭動力。高等學校是創新性人才培養的搖籃，高職教育是高等教育的一個類型，高職院校規模占據高等學校半壁江山，高職學生與本科生相比，普遍存在創新意識淡薄、創新精神缺乏、創新能力不足等現象，因此，培養高職院校學生創新能力是每一名教育工作者的責任和義務。數學建模于20世紀80年代成為一門新興的大學數學課程，是連接數學與工業、經濟、社會生活的橋梁，在創新性人才培養中具有不可替代的作用。然而，對數學建模課程運用傳統方法教學，學生參與度不高，教師拼命地教，學生被動地接受，效果不佳。采用案例教學，從傳統的以教師為中心的教學模式向以教師為主導、學生為主體的教學模式轉變，充分調動學生課上、課下的積極性，是提高數學建模課程教學效果、培養學生創新能力的有效途徑之一。

一、數學建模及競賽在創新能力培養中的作用

創新常常是在問題解決中產生的，問題解決是創新的源泉，是創新的土壤，當然，不是所有的問題解決都是創新，但創新一定是來源于問題的解決。問題解決一般分為四個步驟：1. 準備。認識問題，進行聯想，試圖用術語對問題進行解釋;2. 孕育。對問題一步一步分析，理清問題的邏輯結構，找出與其它相關問題的聯系;3. 明朗。得出問題的解決方法，有時會產生頓悟一樣的感覺;4. 驗證。檢驗解決方法是否正確，若正確，問題得到解決，不正確，則全面重復或者部分重復前面的解決問題的過程。[1]

數學建模就是從問題出發，通過分析問題，在合理假設的基礎上，建立問題之間的聯系，找出問題的客觀規律，達到問題解決的目的。數學建模的四個步驟為：模型準備-模型分析（孕育）-模型求解（明朗）-模型驗證，建模過程就是問題解決的全過程，也是創新思維產生的過程，三者在很大程度是相通的。

全國大學生數學建模競賽創辦于1992年，每年一次，是一項深受廣大師生歡迎的賽事，其宗旨：創新意識，團隊精神，重在參與，公平競爭。競賽試題來自科學與工程技術、社會、經濟、生活某個領域的實際問題，由專家簡化、加工、提煉而成，具有非常高的代表性和權威性，略高于大學生認知結構和知識水平。學生3人組成一個競賽隊，挑選一道題目，完成一篇包括模型的假設、模型的建立和求解、結果的檢驗和分析、模型的改正等方面的論文。論文的評閱以假設的合理性、建模的創造性、結果的正確性和文字表述的清晰程度為主要標準。

數學建模和競賽對培養學生創新能力的作用主要體現在五個方面：一是大多數建模問題來自學生未接觸的領域，在建模過程中，學生必須學習新知識、新方法、新技術，從而培養了學生與時俱進的學習能力和文獻資料的查閱能力;二是大多數建模問題沒有準確的答案，沒有固定的求解模型，假設不同答案也不一樣，在整個建模過程中，學生的思維不受約束，建模的方法靈活多樣，從而培養了學生抽象思維的簡化能力和發散思維的聯想能力;三是數學建模和競賽需要團隊的合作，在整個建模過程中，個人既要獨立承擔自己的建模任務，又要相互協作、共同討論，從而培養了學生豐富靈活的想象能力和團結協作的攻關能力;四是數學建模從實際問題出發，構建一個理論模型，再用實際數據檢驗模型，然后應用模型指導現實世界，為學生提供了從實踐到理論，再從理論回到實踐的科學訓練方法，從而培養了學生會抓重點的判斷能力和活學活用的創造能力;五是數學建模競賽最終是提交一篇論文，論文的撰寫水平直接影響評獎結果，從而培養了學生科技論文的寫作能力和靈活運用的綜合能力。

二、案例教學在創新能力培養中的特點

案例教學法是為了預定的教學目標，在教師的指導下，由學生對選定的典型案例，進行有針對性的分析、思考和討論，作出自己的判斷和評價的教學方法，教學過程由傳統的講解說明進程轉變為通過情景假設、問題探究、合作學習、意義建構等以學生為主體的過程，它的顯著特點就是案例的運用，這是區別其他教學方法的關鍵。數學建模案例是來自工業、經濟、生活等典型的實際問題，如“椅子能在不平的地面放平嗎”？就是一個來自生活中的數學建模案例，通過構建椅腳到地面距離和的函數，利用連續函數介值定理可以得出其結論。數學建模案例教學法就是利用這樣的案例進行教學的一種方法，它具有以下特點：

（一）問題的綜合性

數學建模案例來自工業、經濟、社會等領域，問題復雜、內涵豐富。要求學生不僅需要具備基本的數學理論知識， 還需要學生通過查閱文獻、綜合運用各種專業知識和靈活的技巧來求解問題。

（二）理論的應用性

數學理論抽象難懂，學生往往感到學而無用，通過一個具體的案例，將理論知識與實際問題結合起來，教學的著眼點不是學會定理的推導、公式的證明，而是靈活運用這些數學知識去解決實際問題。

（三）結論的不確定性

對學生而言，案例的結論是未知的，不同的假設，會產生不同的結論。教學上引導學生作出多種合理的假設，尋求多種解決問題的方法，提升學生認知加工的層次和水平。

（四）思維的靈活性

案例教學擺脫原有的思維慣性，根據不同的信息，學生獨立自主地去思考、探索，及時修訂自己對問題的認識，在教師的指導下，學生建立一套分析、解決問題的多角度思維方式。

（五）學生的主體性

在案例教學過程中，教師從臺前走向幕后，鼓勵學生獨立思考，參與案例的分析、討論、交流， 獲取信息，提煉觀點，探尋問題的解決方法，得出問題的結論。學生通過討論和教師的指導，既學到了知識，又鍛煉了才干，學習的主動性、積極性和創造性得到有效的發揮。

（六）過程的動態性

在教學過程中存在著教師個體與學生個體、教師個體與學生群體、學生個體與學生個體、學生群體與學生群體的交往，即師生互動，生生互動。

三、案例教學在創新能力培養中應注意的三個問題

從文獻對案例教學的定義中可以看出，它包含三要素：案例、教師和學生[2]。案例教學只有從這三大要素入手，這樣才能理解案例教學的內涵，達到培養學生的創新能力的目的。

（一）選擇合適的教學案例

案例是案例教學的關鍵內容，它是否合適直接影響教學效果，選擇合適的數學建模案例是一項重要而有難度的工作，需要從課堂教學目標，可行性、實用性等多個維度來衡量案例。

1. 課堂教學目標。是指教學活動預期達到的結果，是教育目的、教學目標和課程目標的具體化，也是教師完成教學任務所要達到的要求和標準。案例教學教學目標不僅要提升學生的數學知識、數學技能和創新能力，而且要培養學生正確的人生觀、價值觀。

2. 可行性。是指案例符合高職學生的認知水平，既不能過高，也不能過低，過高導致學生失去對案例分析、思考、討論的興趣，過低達不到培養學生創新能力的效果。同時要契合學生的專業，為專業服務。此外，還要考慮課堂教學時間因素的可行性，一個案例教學用時以45分鐘或者90分鐘為宜。

3. 實用性。是指案例要符合實際需求，滿足社會需要，解決實際問題。這樣學生能充分認識到數學建模理論和方法在實際問題解決中的作用，提高學生數學建模的興趣，培養他們的解決實際問題的能力。

例如，利用一元函數的最大值和最小值構建實際問題的優化模型，下面3個案例，如何選擇？

案例1：客房定價優化問題

某剛建的賓館有150個客房，經過一段時間的試運營，經理得到了一些數據：每間客房定價為160元時，住房率為55%;每間客房定價為140元時，住房率為65%;每間客房定價為120元時，住房率為75%;每間客房定價為100元時，住房率為85%。欲使賓館每天收入最高，每間客房應如何定價？

案例2：不允許缺貨的存貯問題

配件廠為裝配線生產若干種部件，輪換生產不同的部件時因更換設備要付生產準備費（與生產數量無關），同一部件的產量大于需求時因積壓資金，占用倉庫要付貯存費。設已知某一部件的日需求量100件，生產準備費5000元，貯存費每日每件1元。如果生產能力遠大于需求，并且不允許出現缺貨，試安排該產品的的生產計劃，即多少天生產一次（稱為生產周期），每次產量多少，可使總費用最小。

案例3：易拉罐的優化設計

為什么市場上銷售的飲料瓶（易拉罐）做成差不多的樣子？

三個案例均滿足實用性。案例1給的數據詳實，供分析、假設、討論的信息不多，達不到培養學生創新能力的教學目標，不適宜作為教學建模案例。案例2給了一些數據，是用來驗證模型，該案例構建為經濟學中著名的經濟訂貨批量模型（EOQ模型）。案例3是一種現象，沒有具體的數據，需要學生做課前調查、測量、分析數據，是一個難度較大的案例。案例2適合經濟管理類專業，授課時間為45分鐘;案例3適合工科類專業，授課時間為90分鐘。

（二）教師的主導作用

教師不再是主宰課堂的權威，教師在此時所起的作用類似于“導演”，是學生的學習信心之源，對學生的分析、討論不作過多干預、不作過多評論，充分尊重學生的觀點、想法，成為學生友好的、值得信賴的學習伙伴。但教師絕不是袖手旁觀，除選擇合適的案例外，主導作用應體現在以下幾個方面：

1. 設計案例情景。教師對案例有關信息進行透徹分析，根據學生的數學基礎和認知能力，設計符合高職學生現狀和興趣的案例情景，問題由淺入深，由具體到抽象，層層遞進，便于學生盡快將理論與實踐快速融合。

2. 明確教學重點。案例教學的時間有限，應該根據教學目標對案例中重要的問題作優先安排。在教學重點的準備過程中， 須多考慮教學目標與高職學生特點等因素， 教師切忌憑主觀想象確定教學重點，造成學生需要的而沒有列為重點，學生已經掌握的或掌握不了的卻被作為重點。

3. 做好授課計劃。根據教學目標和教學重點，教師按照課前準備、課堂實施和課后評估三步制訂教學實施計劃。

課前準備：包含兩個方面，一是明確提出學生課前準備的要求，學生按照教師的要求對案例進行閱讀、思考和個人分析，帶著問題和目的進入案例教學課堂實施環節;二是深入分析案例內容，根據教學目標寫出細致而全面的分析提綱，便于有效地調控整個教學過程，對學生進行及時引導與評價。

課堂實施：教師希望課堂上發生什么？如何讓其發生？ 討論按什么方式、順序進行？ 每一部分大約討論多長時間？ 是對討論進行引導，還是任其自由發揮？是否需要將學生分組？如何分組？小組成員間應該如何協調？同時還要組織引導、激勵控制，對學生的觀點加以歸納和總結，促使學生知識和能力的升華。

課后評估：教師結合學生對案例的分析和交流情況進行總結和評估， 教師在總結時應注意避免空談。可從以下幾個方面入手，選擇的案例是否符合課程教學標準？是否突出教學的重點和難點？案例教學各階段組織是否恰當？是否符合教學設計要求？是否適合高職學生？是否提高了學生分析問題和解決問題的能力？指出學生的特點、優勢和不足，為其進一步分析案例積累經驗、指明方向。

（三）學生的主體作用

在案例教學中，教師與學生之間是一種“師生互補，教學相輔”的關系，學生是教育資源，學生發展的基礎和動力從根本上說是他們的潛能，案例學習過程成為學生激發潛能的過程，教師將分析案例的“主權”交給學生，讓學生運用所掌握的各種知識，甚至是課外的知識去分析這些問題，討論解決方法。

課前準備：學生閱讀案例，對已掌握的資料進行分析，歸納相似性、尋找差異性，對數據進行處理，發現數據的內在聯系和規律。

課堂實施：積極參與小組討論和課堂討論，通過思想碰撞，引發并記錄新發現和新認識。

課后評估：從案例選擇是否適合課程目標、可行性、實用性等方面及時反饋;從課堂討論的組織與引導，激勵機制、課堂控制及案例的總結等方面對教師課堂教學進行評價，并提出改正意見。[3]

四、案例教學在創新能力培養中的常用方法

在具體的案例教學過程中，運用不同的教學方法，可以提高學生的學習興趣，激發學生的創新潛能。大致采用以下五種教學方法：

案例講授法。教師講解案例，說明案例教學目標，講解案例需要的數學理論和數學方法，理順學生案例思路，做出案例總結和評估，形成完整的課程內容體系。

案例討論法。案例討論是案例教學的主要形式，它是在教師的指導下，學生對案例進行充分的討論，彼此發表自己獨立見解的一種方法。它有利于調動學生學習的積極性和主動性，培養他們分析和解決問題的能力，也有利于訓練學生的口頭表達能力。

案例辯論法。數學建模案例有多種解決問題的方法，方法不同，結論也不一樣。引導采用不同方法的學生分組辯論。首先各方闡述自己的觀點，然后指出他方的不足，形成激烈的思想碰撞，達到理越辯越明的目的。

案例練習法。教師選定一個案例，作為學生課后、單元、數學建模培訓練習，學生三人一組，合作完成一篇論文。它有利于檢驗案例教學效果和培養學生獨立性、自主性。[9]

案例評價法。運用發展性、形成性等多種評價方式對案例進行課后評估的一種方法。它有利于選擇合適的案例和完善案例教學過程，提高課堂教學效果。

以易拉罐的優化設計模型為例[4]，說明案例教學設計過程。

環節一：選擇合適的案例

1. 教學目標：調查市場上易拉罐的形狀，分析其原因;構建節省易拉罐成本模型。

2. 學情分析：學生已掌握求一元函數單調性、極值、最值的原理和方法，會求簡單實際問題的最大值和最小值。

3. 可行性：構建易拉罐的設計形狀，以達到節省材料的目的，屬于一元函數的最小值問題，符合高職工科學生的數學認知水平和能力結構。

4. 實用性：外面銷售的易拉罐，其形狀、尺寸大致一樣，這并非偶然，應該是節省成本的最優設計，單個這樣的易拉罐設計優勢是有限的，大量的（幾十億）這樣的設計就可觀了。

5. 重點與難點：重點是建立模型;難點是模型的求解和分析。

環節二：課堂教學實施計劃

1. 課前準備

學生分組：在過去案例分析過程中，根據大致掌握的不同學生的知識結構和性格特點，優化學生分組，組成最佳組合。

布置案例：（1）以小組為單位收集3-5個不同的易拉罐，觀察其形狀;（2）測量易拉罐數據，找出數據之間的聯系;（3）初步分析，簡要回答易拉罐為什么做成這種形狀？

2. 課堂實施

（1）模型準備（10分鐘）

學生分小組匯報，從學生對該問題的理解，教師綜合得出易拉罐形狀、尺寸大致相同，肯定是基于某種節省成本的優化設計，形成問題：將易拉罐看作一個圓柱體，其容積一定，當圓柱體底面直徑和高的比例如何設計，制作易拉罐所用的材料最省？

（2）模型分析（20分鐘）

根據學生小組的分析情況，教師將學生出現的較大錯誤及時予以糾正，學生沒有掌握的必要知識點進行啟發性講解，引導學生從易拉罐形狀（圓柱體）、材質、厚度等方面比較分析。

材質：易拉罐看成同一材質。

厚度：不考慮易拉罐厚度差異（底蓋、頂蓋與側面厚度相同）;考慮易拉罐厚度差異，底蓋、頂蓋厚度相同，比側面厚一些，設側面厚度為b， 底蓋、頂蓋厚度為ab，a>1）。

（3）模型求解（45分鐘）

重點講授模型的建立過程，分散、突破難點。下面用r和h分別表示易拉罐的底蓋半徑和高度，S和V分別表示易拉罐的表面積和容積，SV表示易拉罐所用材料的體積。

定理：如果一個實際問題可以預先斷定必存在最值，并且函數在定義域內只有唯一極值點，則無需判別即可斷定，該極值點的函數值必為所求最值。

（4）模型驗證和推廣（15分鐘）

學生通過驗證模型，分析與實際情況是否吻合，運用討論法，找出問題的關鍵在哪？教師總結如下：

根據模型一的結論，很少有這種形狀的易拉罐，與實際不符，問題出在哪兒呢？模型二的結論，通過同學們測量易拉罐底蓋、頂蓋的厚度通常比側面的厚度多2倍以上，比如取a=3，即易拉罐的高度是底圓直徑的3倍，大多數易拉罐就是按這個比例設計的。

仔細觀察易拉罐，其頂蓋是一個小圓臺，這樣設計更省材料，也更美觀。若易拉罐頂蓋是一個小圓臺，罐身是一個圓柱體，在容積一定的條件下，如何設計才能達到用料最省？這是一個復雜的多元函數的極值問題，是一個不適合高職學生的案例。

如果其他形狀的易拉罐，比如長方體型、球體型等，充分考慮其實用性、安全性和美觀等因素，如何設計才能用料最省，也是一個值得探討的問題。

3. 課后評估

教師：點評學生的課前、課堂情況，重點是針對課前測量易拉罐的側面、底蓋、頂蓋的厚度數據，底圓直徑與高的數據進行評價;根據學生課堂的反應，評估案例、教學方法是否適應學生，是否有助于培養學生的創新能力。

學生：評價案例、教學方法是否適合自己，案例難易如何？這個案例對自己的創新思維有哪些啟發？哪些教學方法有待改正？

五、案例教學在創新能力培養中的成效

通過在數學建模課程采用案例教學，激發了學生的創新意識，激勵了學生的創新精神，培養了學生的創新能力，根植了學生的創新基因。2010至2019年，筆者所在學校參加全國大學生數學建模競賽，獲國家一等獎5項、二等獎11項;獲省一等獎24項、二等獎36項、三等獎48項，獲獎數量位居廣東省近百所同類院校前列。

六、結束語

誠然，培養高職學生的創新能力不是一種新的教育理念，但確實是一個新的課題，更是對高職教育體制和高職數學建模微觀教育一場前所未有的挑戰。采用案例教學培養學生的創新能力，還有許多值得探討的內容，筆者希望與同行一道，無怨無悔為之努力、為之奮斗。

參考文獻：

[1]鄭金洲.能力培養中的若干問題[J].中國教育學刊，2000（1）：13-17.

[2]郭德紅，紀向榮.案例教學的要素和方法[J].衡水學院學報，2007（2）：107-110.

[3]段振華.高職數學建模案例教學研究[M].天津：天津科學技術出版社，2018.

[4]段振華，周小玲，吳蔚.數學建模及典型的案例分析[M].成都：電子科技大學出版社，2018.

[5]胡素敏.案例教學在金融數學課程中的應用[J].金融理論與教學，2019（4）：104-106.

[6]鄭金洲.案例教學：教師專業發展的新途徑[J].教育理論與實踐，2002（7）：36-41.

[7]劉海菊.案例教學在創新能力培養中的實踐[J].哈爾濱金融學院學報，2012（1）：93-94.

[8]楊正.柔性教學思想在網絡課程建設中的應用研究[D].上海：華東師范大學，2008.

[9]王剛.高等職業技術學院數學建模案例教學研究[D].昆明：云南師范大學，2006.