多自由度電機中的氣體靜壓球軸承特性分析*

李 爭，楊 凱，劉令旗，杜 磊

(河北科技大學 電氣工程學院，河北 石家莊 050018)

0 引 言

近年來，隨著多自由度電機技術的不斷發展，因其在三維運動時存在摩擦大且易發生機械碰撞的原因，使得傳統的關節軸承已無法滿足當前應用的需求[1-3]。因此，多自由度電機軸承的研究顯得尤為重要。

因其無摩擦、可靈活實現空間三自由度運動等優點，氣體靜壓球軸承在多自由度電機的應用方面表現出了其優異的性能。法國學者HIRN G[4]最早在1854年提出了以空氣作為潤滑介質的想法，之后由美國學者建立了流體潤滑的數學模型[5]。雖然許多學者一直致力于氣體潤滑軸承的研究，但受限于當時的工藝水平，一直無法加工出高精度的氣體潤滑軸承，所以氣體潤滑軸承的研究進展一直緩慢。隨著20世紀60年代計算機的出現和航天原子能等高新技術的需求，制造業水平獲得了飛速提升。隨之而來的是氣體潤滑軸承的研究也得到了迅猛發展，氣體潤滑軸承開始被逐漸應用于工業生產當中。20世紀80年代以來，氣體靜壓設備開始商用于納米級機床及超精密車床當中。近年來，BELFOR G等學者[6]開始研究氣體靜壓軸承的節流孔及結構對軸承的影響，一些學者開始嘗試將氣體靜壓軸承應用于自由活塞式斯特林發電機[7]。

氣體靜壓球軸承不僅近似無摩擦力，且可以實現空間三自由運動，因此，本文對氣體靜壓球軸承在多自由度電機的應用方面進行理論分析。

相對于傳統的關節軸承和液質潤滑軸承，氣體靜壓球軸承在多自由度電機的應用方面表現優異。因其特殊的潤滑方式和結構，不僅摩擦極小，甚至可近似無摩擦，在三自由度電機運行時極為穩定，不易發生機械碰撞[8-10]；此外，采用空氣或惰性氣體為潤滑介質，不僅環保無污染，而且氣體流動較快，相對液質潤滑軸承溫升較小，解決了油、脂軸承在電機高速運轉中產生的溫升及黏性較大的問題。因此，對氣體靜壓球軸承在多自由度電機當中的應用研究顯得十分有必要[11-12]。

本文將通過推導公式，建立氣體靜壓球軸承的數學模型，并用Matlab建立解析法計算程序，通過與有限元軟件COMSOL的計算結果進行對比，驗證解析法的正確性；并進一步使用解析法，分析不同參數對氣體靜壓球軸承的性能影響[13-16]。

1 多自由度電機氣浮軸承的結構

1.1 電機整體結構及靜壓氣體球軸承結構

本文研究的是一種新型的基于氣體靜壓球軸承的多自由度電機，其結構如圖1所示。

圖1 基于氣體靜壓球軸承的多自由度電機結構圖

圖1中，基于氣體靜壓球軸承的多自由度電機具體結構為：球形轉子上端為輸出軸，內部鑲嵌有4排8列32個永磁體，按N、S極交替分布；定子部分設有進氣口、供壓槽和節流孔，設有2排8列16個定子。

該電機采用混合驅動控制方式，可實現空間90°范圍內大偏轉，對多自由度電機輸出實現精準控制。相對于傳統的多自由度電機，該電機可實現無摩擦，及空間內大范圍的偏轉運動。

1.2 靜壓氣體球軸承結構及工作原理

通過分析，氣體靜壓球軸承對比圖如圖2所示。

圖2 氣體靜壓球軸承對比圖

本電機采用的氣浮軸承是一種多孔空氣靜壓球軸承，截面圖如圖2(b)所示，Ps為供氣壓力，m2為流出薄膜層的方向，m1的方向形成均壓區。

對比多孔氣體靜壓球軸承可知，多孔氣體靜壓球軸承比其有更大的包角，且減少了m2方向的消耗，在同等供氣壓力下，不僅耗氣量小且承載能力高。

與單孔靜壓球軸承相比，多孔氣體靜壓球軸承可以提供多孔供壓，在同等的供氣壓力下，承載能力高，且解決了單孔氣體靜壓球軸承承載能力小的問題。

1.3 氣體靜壓球軸承的數學模型

本文研究的為氣體靜壓球軸承，因此，建立球形坐標系可以更好地計算和分析軸承特性。

通常情況下，氣體從各節流孔流出后，會在定轉子的薄膜間隙內產生3個互相垂直的速度分量。在薄膜中取一點為例，其速度分量在球坐標系下的角度關系為：沿θ方向的速度分量為Vθ，因為氣體主要沿θ方向流出，其速度分量最大；在圓周方向的速度分量為Vψ，其沿轉子半徑至圓心方向速度分量為Vr。

由于薄膜厚度最大只有幾十微米，假設其沿轉子半徑方向速度分量為0，即取Vr=0。

由于球半徑R遠遠大于氣膜厚度h，可以把球坐標r看作為一常量，可建立球坐標系下的速度運動方程為：

(1)

式中：P—坐標點處的壓力；η—坐標點處的空氣粘度；r—坐標點到圓心的半徑距離。

假設經小孔節流后進入氣膜的空氣不發生擴散現象，即氣體只沿θ方向流出；取球面圓周方向速度分量Vψ=0，則式(1)可以簡化為：

(2)

由式(2)可得：在球面軸承氣膜中的壓力分布只與角度θ相關，與其他變量無關。

在氣體潤滑的研究中遵循質量守恒定理，即流入氣體質量等于流出氣體質量，故關于球坐標的連續方程為：

(3)

式中：ρ—坐標點處空氣的密度。

在氣膜中，由于氣體流動快，溫度變化很小，可以忽略不計，可以得到氣體狀態方程為：

(4)

式中：Pa—標準大氣壓下得空氣的壓力；ρa—標準大氣壓下得空氣的密度。

由圖2(b)可知：經小孔流入氣膜的氣體的一部分沿m1方向流動，一部分沿m2方向流動。由于氣體主要從m2流出，可以近似認為流入的氣體質量M等于流出的質量m2。

可得到穩態方程為：

(5)

式中：M—節流孔流入氣膜的質量。

由圖2(b)還可知：h=ecosθ，其中，e—氣膜厚度。因此，根據流量公式，有：

(6)

式中：A—節流孔入口面積；Ps—外界供氣壓力；Cd—節流孔的節流系數。

其中ψ為：

(7)

式中：k—空氣的比熱比值約為1.4;βk—節流臨界壓力,其值約為0.528。

在式(5)中，由于薄膜厚度h與半徑R相差極大，可以認為r為一常量，可得dy=dr，將此代入式(2)中，并通過積分可得：

(8)

將邊界條件：Vθ=0,y=0,y=h,分別代入上式中，通過求解可得：

因此，可以得到：

(9)

將式(4，8)代入式(5)，聯立可得：

(10)

將式(10)分離變量，并進行積分，通過求解可得：

(11)

將初始條件：θ=θ1，代入到式(11)中，可得：

P=

(12)

式(12)即為θ1≤θ<θ2時，氣膜內壓力的分布。當θ<30°時，P=Pd。

將式(5)中M的表達式代入到式(12)中，可得：

(13)

式中:n—節流孔的數目；σ—無因次供氣壓力比，σ=Pa/Ps；β—節流系數，β=Pd/Ps。

根據此式(13)可求出節流系數，進而求出節流后的供氣壓力Pd；進一步可以求出軸承承載能力W，其公式如下：

(14)

根據式(14)中得出的承載能力，進而可以對軸承靜態剛度K進行計算，即：

(15)

氣體擴散系數公式為：

(16)

式中：D—擴散系數；M—氣體質量；v—氣體速度。

氣體靜壓球軸承的承載能力和靜態剛度是氣浮軸承設計時不可或缺的兩個指標，同時耗氣量也是需要考慮的重要指標。因此，在進行軸承設計時，在符合承載能力的前提下，要考慮選擇較高的靜態剛度，以利于提高軸承的穩定性。這是因為在負載發生變化時，較高的靜態剛度可以保證多自由度電機平穩運行；同時也要考慮耗氣量的消耗，在符合設計要求及優化目標的前提下，盡量減少耗氣量。

筆者利用公式編制Matlab程序，以求解各參數下的軸承性能。

具體的程序流程圖如圖3所示。

圖3 解析法計算程序流程圖

2 仿真分析

2.1 氣體靜壓球軸承特性仿真分析

筆者通過Matlab對氣體靜壓球軸承建立解析法計算程序，并對壓力與承載能力進行了求解，與COMSOL進行了對比分析驗證，得到的薄膜壓力圖如圖4所示。

圖4 薄膜壓力圖

通過Matlab程序，可以對本文中的模型進行求解，通過求解可得節流變壓比。當起浮量小于11 μm時，其節流比接為1；當起浮量大于11 μm時，其值開始逐漸變??；起浮量在30 μm左右時，達到節流比的臨界比0.528；當節流比小于該值時，氣體靜壓球軸承易發生阻塞現象。

由此可見，通過節流比可以求出氣體靜壓軸承氣膜內的壓力分布。

在Matlab程序中，取初始參數為：起浮量值10 μm，此時節流比為1，節流孔數目為8，節流孔分布角度為30°。則此時的氣膜內的壓力計算結果如圖4(b)所示。

在COMSOL中，設定供氣壓力為0.6 MPa，環境溫度24 ℃，出口壓力為0.1 MPa，氣體屬性設置為空氣可壓縮。則此時的COMSOL計算結果如圖4(c，d)所示。

通過圖4(b)可直觀看出：在大約0°～30°的區域中，角度小于進氣口角度的區域，形成均壓區。當大于30°時，氣體壓力開始逐漸下降，最終下降到0.1 MPa；圖4(c，d)的三維仿真結果圖與圖4(b)的變化規律基本相同。

因此，通過結果對比可得：解析法計算結果與COMSOL計算結果基本相同。

筆者通過解析法計算取間隔為1 μm，計算起浮量在10 μm～30 μm下的承載能力，并將結果擬合成一條曲線；同理，在COMSOL中計算不同起浮量下的承載力，并擬合成一條曲線。

所得結果對比圖如圖5所示。

圖5 解析法計算與COMSOL計算結果對比圖

由式(16)分析可知：擴散系數與壓力成反比。通過分析圖4(d)可知：在COMSOL中，氣體在節流孔處存在擴散現象；但在解析法計算中，由于忽略了氣體擴散影響，設定的是節流孔同一圓周上壓力相等，造成節流的孔出口壓力所在圓周上比實際要高，致使計算時壓力比實際壓力偏大，故通過解析法計算后得到的擴散系數D較小。

由圖5可知：與COMSOL計算結果相比，解析法計算結果數值偏大，其中在10 μm時誤差最大為10%，后逐漸減??；但兩者變化趨勢基本相同，并隨著數值增大，兩者結果趨于一致。

通過兩者的變化趨勢對比驗證可知：筆者所建立的數學模型正確，且與實際相符。另外，通過參考文獻[17-19]的相關實驗及結論，也可以印證該數學模型的正確性。

此外，通過式(2)及圖4(a)可得：隨著起浮量變大，節流比變小，節流孔出口壓力變小，而壓力偏導與速度偏導的平方成正比關系，因此，可知隨著起浮量增加，節流孔出口壓力減小快于速度減小。根據式(16)可知：解析法的擴散系數與COMSOL的擴散系數數值大小相接近，故隨著起浮量值的增大，兩者誤差逐漸減小。

2.2 氣體靜壓軸承變參數特性影響

本文通過與有限元仿真軟件COMSOL進行對比，以及相關參考文獻的驗證，保證了解析法計算的準確性；接下來進一步分析不同參數對空氣靜壓球軸承特性的影響。

不同參數對軸承特性的影響如圖6所示。

圖6 同參數對軸承特性的影響

由圖6(a)可知：其承載能力及耗氣量與節流孔數目存在著良好的線性正關系，當供氣孔數目由4增加到12時，承載能力由3 kN增加到了5.5 kN，其值增加了5/6，耗氣量由900 L/h增加到了2 200 L/h，漲幅約2.45倍；

由圖6(b)可得：隨著節流孔數目增多，其靜態剛度和最大剛度值均不斷減小，對應的最佳起浮量值不斷增大。

由以上分析可知：增加節流孔數目可較好地增加氣體靜壓球軸承的承載能力，但同時會使耗氣量顯著增加；另外，靜態剛度最大值受節流孔數目影響不大。

由圖6(c)可知：保持其他參數不變，改變包角的角度，則此時承載能力與包角呈正相關關系，而耗氣量與之呈負相關關系。隨著包角角度的增大，不僅可以較好地提升承載能力，而且可以減少一些耗氣量。

由圖6(d)可知：隨著包角的增大，其最大靜態剛度對應最佳起浮量值變化很小，且隨著包角的增加靜態剛度不斷增大。

由以上分析可知：選擇較大的包角可以增加氣體靜壓球軸承的承載能力，減小耗氣量，提升靜態剛度，對氣浮軸承的各項性能都著有較好的提升效果。

由圖6(e)可知：保持其他參數不變，改變節流孔的分布角度，當節流孔角度在32°時，其承載能力達到最大，無論增加或者減小分布角角度，都會使承載能力降低；同時可得，在32°時其耗氣量最少，由此可得到在氣體靜壓球軸承中存在最優角度。

由圖6(f)可得：隨著節流孔角度的增加，其最大靜態剛度值不斷減小，但在最佳角度，即一定范圍內，其最大靜態剛度值及對應的起浮量值變化不大。

由以上分析可知：本文研究的氣體靜壓球軸承最優分布角度為32°,在該角度下不僅承載能力好，且耗氣量少，同時可以使其保持有較好的靜態剛度。

在對同結構參數進行分析研究后，筆者對不同供氣壓力下的氣體靜壓球形軸承進行了分析研究。

由圖6(g)可得：提高供氣壓力可以有效地提升承載能力，但會造成耗氣量的大幅增加。

由圖6(h)可得：提高供氣壓力可以有效地提高靜態剛度，供氣壓力從0.5 MPa提升到0.7 MPa，其最佳工作起浮量值從21 μm減小到19 μm，因而供氣壓力對其最佳起浮量值的影響較小。

由以上分析可知：提升氣浮軸承供氣壓力可以有效提升軸承的承載能力，但會提升耗氣量，同時可以有效地提升其靜態剛度，且對其最佳工作起浮量值的影響很小。

3 結束語

以氣體靜壓球軸承對多自由度電機的應用為背景，筆者通過解析法與有限元軟件COMSOL結果進行對比驗證，保證了解析法的準確性；進一步通過解析法分析了各種參數對氣體靜壓球軸承性能的影響。研究結果表明：通過增加節流孔數目，提升包角角度及供氣壓力，均能提升氣浮軸承承載能力，且氣體靜壓球軸承存在節流孔分布最優角度；在軸承計算中，采用了層流的計算方式，忽略了氣體擴散的影響，因此結果存在稍許誤差。

本文所采用的分析方法和理念，對氣體靜壓球軸承的設計分析以及在多自由度電機方向的應用，具有一定的參考意義。

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