基于GAPSO算法的轉臺齒輪傳動多目標優化研究*

付軍豪，劉 康*，胥 云，張 明，熊奉奎

(1.四川輕化工大學 機械工程學院，四川 宜賓 644000；2.綿陽職業技術學院 機械工程學院，四川 綿陽 621000)

0 引 言

五軸機床是加工航空發動機葉片和復雜回轉軸類零件的重要裝備，轉臺是五軸機床的核心部分之一，其齒輪傳動系統結構性能直接決定五軸機床的整體性能。根據五軸機床的設計要求，轉臺采用多級齒輪傳動系統，在滿足工作條件下要求轉臺的齒輪傳動系統具有體積小、輕量化、傳動平穩等特點。多級齒輪傳動系統由于結構復雜，影響傳動性能的因素眾多，其結構優化設計是一個復雜問題[1-3]。

遺傳算法(genetic algorithm，GA)具備可以直接對結構對象進行操作、不存在求導和函數連續性的限定、采用概率化的尋優方法等特點，能夠實現較快收斂，尋優結果合理、魯棒性好，所以遺傳算法被廣泛用于多目標優化設計問題。

張江紅等[4]針對三齒并聯內嚙合齒輪泵，建立了以流量脈動最小以及齒輪機構體積最小的多目標函數的數學模型，采用遺傳算法優化后的齒輪機構達到了減小流量脈動和減小齒輪機構總體積的目的；錢亞平等[5]使用遺傳算法對推料機的齒輪傳動系統分別進行了單目標以及多目標優化，結果表明多目標優化相比單目標優化后，齒輪系統的重合度增加，體積較小，優化效果明顯；WANG Jian等[6]以擺線減速器為研究對象，以齒輪體積和齒輪傳動效率為目標函數，采用遺傳算法優化后得到了最小體積并最大化效率；曾晨等[7]對微耕機變速箱進行了體積和重合度的多目標函數建模，采用了SGA遺傳算法和NSGA-Ⅱ遺傳算法分別優化求解，結果表明NSGA-Ⅱ遺傳算法優化結果更好。

本文以某航空發動機葉片五軸加工機床轉臺的傳動系統為研究對象，考慮轉臺結構緊湊和傳動平穩等特點，以齒輪傳動系統體積和重合度為設計目標的優化模型，使用GAPSO算法[8-9]對優化模型進行多目標優化，以獲得更輕量化的體積和更高的傳動平穩性。

1 轉臺結構以及優化目標

轉臺的傳動系統主要采用雙齒輪消隙機構，如圖1所示。

圖1 轉臺齒輪傳動系統裝配圖

轉臺采用西門子1FT6105-8AF7-4AGO型交流伺服電機驅動；電機額定轉速3 000 r/min，輸入功率9.7 kW；各級齒輪材料都使用20CrMnTi滲碳淬火，許用接觸應力與許用彎曲應力分別為：[σH]=1 080 MPa，[σF]=835 MPa。

轉臺作為機床中的重要部分，對機床的整體性能起著非常重要的作用。在實際工作中，轉臺必須保持長時間平穩運行，減小齒輪傳動系統的體積和增大齒輪傳動的重合度可以有效提高齒輪傳動的效率和穩定性。

本文主要考慮以轉臺傳動系統所有齒輪的體積和重合度為目標函數。

2 轉臺優化設計數學模型

2.1 確定目標函數

在滿足轉臺齒輪傳動系統結構緊湊以及傳動平穩的條件下，本文以總體積和總重合度作為目標函數，對轉臺齒輪傳動系統進行優化。

2.2.1 體積目標函數

斜齒輪的體積可以近似看做為分度圓圓柱體體積，如圖1所示，齒輪2與齒輪6相同，齒輪3與齒輪5相同，且轉臺齒輪傳動系統結構對稱布局，故以所有齒輪體積和作為體積目標函數，即：

(1)

式中：mn1,mn3—斜齒輪法向模數；z1,z3—斜齒輪1,3的齒數；i1—齒輪1與齒輪2的傳動比；i2—齒輪3與齒輪4的傳動比；β1,β3—齒輪1和齒輪3的螺旋角；φd1,φd3—齒輪1和齒輪3的齒寬系數。

2.1.2 重合度目標函數

轉臺齒輪傳動系統的平穩性由重合度決定，重合度越大，齒輪傳動越平穩，產生的沖擊載荷越小。

本文以轉臺傳動系統的齒輪的總重合度為目標函數，根據轉臺齒輪傳動結構對稱布局可知，重合度目標函數為：

(2)

2.2 設計變量

設計變量的變化可以直接改變目標函數，通過對體積目標函數和重合度目標函數的分析可知，選取齒輪1和3的模數、齒數、齒寬系數、螺旋角、齒輪1和2的傳動比、齒輪3和4的傳動比作為設計變量X：

X=[mn1,mn3,z1,z3,fd1,fd3,β1,β3,i1,i2]T=
[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10]T

(3)

目標函數f1,f2表達如下：

(4)

(5)

2.3 約束條件

2.3.1 齒面接觸強度約束

根據機械設計手冊第6版[10]的齒面接觸強度校核的公式表可知，齒輪1和齒輪2的接觸應力為：

(6)

齒輪3和齒輪4的接觸應力為：

(7)

根據齒輪接觸應力約束得：

σH1≤[σH]
σH2≤[σH]

(8)

式中相關參數查閱機械設計手冊后帶入設計變量得到：

(9)

(10)

2.3.2 輪齒彎曲強度約束

根據機械設計手冊第6版的齒面接觸強度校核的公式表可知，齒輪1和齒輪2的齒根應力為：

(11)

齒輪3和齒輪4的齒根應力為：

(12)

根據齒輪接觸應力約束得：

σF1≤[σF]
σF2≤[σF]

(13)

式中相關參數查閱機械設計后，代入設計變量可得到：

(14)

(15)

2.3.3 邊界條件約束

齒輪1和齒輪3的模數取值范圍為：

0.5≤x1≤10，0.5≤x2≤10

(16)

齒輪1和齒輪3的齒數的取值范圍為：

14≤x3≤30，17≤x4≤40

(17)

齒輪1和齒輪3的齒寬系數的取值范圍為：

0.4≤x5≤1.2,0.4≤x6≤1.2

(18)

齒輪1和齒輪3的螺旋角的取值范圍為：

8≤x7≤20，8≤x8≤20

(19)

齒輪1和齒輪3的傳動比的取值范圍為：

1≤x9≤10,1≤x10≤10

(20)

2.4 適應度函數

由于自身的局限性，標準遺傳算法不能解決所有的優化問題，針對轉臺齒輪傳動系統優化問題，本文采用罰函數尋優計算，將目標函數和約束條件相結合組成新的目標函數；將新的目標函數轉換成適應度函數后通過加權系數把原來的多目標函數優化問題轉化為單目標優化問題，加權系數值的大小體現每個目標函數的重要程度。本文對體積目標函數和重合度函數的加權系數分別取0.7,0.3；懲罰因子選取6。

體積函數與重合度函數的數量級相差較大，本文體積值數量級是106，單對齒輪重合度是1～2，所以轉臺齒輪傳動系統最終求解目標函數為：

(21)

3 GAPSO算法與優化結果分析

3.1 GAPSO算法

根據以往相關文獻對齒輪傳動系統多目標優化方法的總結，一般都采用遺傳算法(GA)對其進行尋優求解。本文在前人的工作基礎上，利用粒子群優化算法(PSO)和遺傳算法(GA)，結合彼此的優點，既有GA算法的強大全局搜索能力又有PSO算法的快速收斂能力，形成遺傳粒子群算法(GAPSO)求解轉臺齒輪傳動系統的多目標優化數學模型。

相比GA算法，GAPSO算法多了PSO算法對群體中優秀個體的篩選，經過PSO算法篩選后的優秀個體再經過交叉和變異得到剩下的個體，采用GAPSO算法得到個體得到相比GA算法得到的個體更加優秀。

GAPSO算法流程圖如圖2所示。

圖2 GAPSO算法流程圖

3.2 優化結果分析

根據求解目標函數f以及齒輪的接觸強度約束、彎曲強度約束和邊界條件約束，本文使用Matlab分別編寫GA算法、PSO算法和GAPSO算法程序，得到轉臺齒輪傳動系統多目標優化結果。其中，GAPSO算法的交叉概率為0.8，變異概率0.2，進化次數500，種群規模500。

3種算法所求設計變量如表1所示。

表1 各算法所求的設計變量

在3種不同算法下，轉臺傳動系統齒輪的總重合度和總體積的變化的優化結果，如表2所示。

表2 各算法的優化結果

從表2可以看出：

采用PSO算法、GA算法、GAPSO算法優化后，轉臺齒輪傳動系統的總體積分別減少10.38%、23.97%、27.26%；轉臺齒輪傳動系統總重合度分別增加4.39%、3.32%、8.10%。優化結果綜合表明GAPSO算法對轉臺齒輪優化效果最好。

4 結束語

本文主要對某航空發動機葉片五軸加工機床轉臺的齒輪傳動系統進行了結構優化，從齒輪傳動系統的輕量化和傳動平穩性出發，建立了以體積和重合度為目標函數的數學模型，利用GAPSO算法尋優求解更快、精度更高的特點，對目標函數的數學模型進行了求解。

優化后的轉臺齒輪傳動系統的體積減少27.26%，重合度增加8.10%；優化后的齒輪參數為：mn1=2，mn3=3，Z1=21，Z3=18，φd1=0.5，φd3=0.4，β1=10，β3=10，i1=2，i2=3。

優化后的轉臺齒輪傳動系統有效地減小了轉臺的體積，在實現產品輕量化的同時，增加了轉臺齒輪傳動系統的重合度，提高了轉臺傳動系統的平穩性，也為五軸機床轉臺的結構優化設計提供了一種新思路。

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