借助幾何直觀，理解概念本質

邱蓮

【教學目標】

1. 經歷從“想象”圖形拼擺到“算式”多元表征，初步認識因數和倍數含義。

2. 通過討論、交流、比較等探索一個數因數或倍數的求法，進一步體會數學知識之間的內在聯系，感受數學的有序性和一一對應的數學思想方法。

3. 進一步培養學生對數和運算的學習興趣，發展數學思維。

【教學重點】理解因數和倍數的含義，掌握有序列舉一個數的因數及倍數的方法，了解一個數的因數和倍數的特點。

【教學難點】能有序列舉出一個數的所有因數。

一、 想象操作，初識概念

1. 尋求模型

師：用12個大小相同的小正方形拼成一個長方形，可以怎么拼？

學生獨立思考、記錄，教師巡視并收集典型作業，組織學生進行有序反饋。

2. 建構模型

課件呈現三種擺法：每排擺3個，擺4排；每排擺2個，擺6排；每排擺12個，擺1排。

3. 揭示概念

師：用12個大小相同的小正方形拼一個長方形，每排擺4個，正好擺3排，我們就說3是12的因數，4也是12的因數；反過來，12是3的倍數，12也是4的倍數。

揭題：今天這節課，我們就一起學習“因數和倍數”。（板書課題：因數和倍數）

【設計意圖】用12個同樣大小的正方形拼成一個長方形，學生經歷了“由形到數，再由數到形”的過程，初步感知因數和倍數的關系，為因數和倍數概念的建立和理解提供形象的支撐。

二、 交流辨析，意義建構

1. 交流中理解

師：根據算式2×6=12、1×12=12，你能說說哪個數是哪個數的因數，哪個數是哪個數的倍數嗎？

生：1是12的因數，12是12的因數，12是1的倍數，12是12的倍數。

設疑：想一想，我們可以直接說“1是因數，12是倍數”嗎？

明確：因數和倍數是指兩個數之間的關系。在表達時一定要說清“哪個數是哪個數的因數，哪個數是哪個數的倍數”。

2. 辨析中明確

師：5是12的因數嗎？

生：12個小正方形擺長方形，每排擺5個，擺2排，余2個，所以5不是12的因數。

小結：回顧一下，剛才我們是怎樣認識“因數和倍數”的？明確，12的因數有1、2、3、4、6、12。

【設計意圖】教師從直觀圖上揭示因數和倍數的概念，使概念的揭示直觀化，突破從抽象到抽象的固有模式，讓學生真正理解因數和倍數這對概念的內涵。

三、 應用概念，探索方法

（一） 尋找因數，歸納特征

1. 出示要求

提問：找出36的所有因數，并說說自己是怎樣找到的？

2. 提煉方法

提問：找36的因數時，怎樣才能做到不重復、不遺漏地找出所有因數？

小結：利用乘法或除法算式，一對一對地找，重復的因數只寫一個。

3. 觀察比較，歸納特征

師：觀察12、36、20三數的因數，你有什么發現？

生：每個數最小的因數都是1，最大的因數是它本身。

師：這些數的因數有沒有可能是0？還有不同的發現嗎？

生：每個非0自然數都等于1和它本身相乘，所以它的因數中，最小的一定是1，最大的一定是它本身，而且因數的個數是有限的。

【設計意圖】在找36的因數時，教師給予學生充足的自主探究時間，引導學生比較不同的方法，體會一一對應的數學思想。

（二） 尋找倍數，歸納特征

1. 出示小組學習要求

（1） 小組交流：嘗試用列舉的方法找出3的倍數。能找出多少個？是怎樣找的？在找的過程中遇到什么困惑？通過交流，進一步調整、優化方法。（2） 全班交流：再用列舉的方法找出2和5的倍數。思考：一個數的倍數有什么共同特點？

發現：一個數的倍數中最小的是它本身；一個數的倍數沒有最大的，因為一個數的倍數有無數個。

2. 對比提升

思考：找一個數的因數和倍數有什么相同點和不同點？

全班交流：相同之處是因數和倍數都是從算式中有序地找；因數、倍數都有它本身；不同之處是一個數的因數是有限的，一個數的倍數的個數是無限的。

呈現數軸：以6為例，6的因數有1、2、3、6（邊說邊圈），6的倍數有6、12、18……（邊說邊圈），仔細觀察，你有什么發現？

預設：6的最大因數、最小倍數都是它本身；6的因數從它的本身向內找，倍數從它的本身向外找，一個數的最大因數和最小倍數都是它本身……

小結：從數軸上我們看到一個數的因數是有限的，一個數倍數是無限的。

【設計意圖】在找一個數的因數和倍數的相同與不同點時，數軸很好地實現數形結合，幫助學生厘清知識背后的數學本質。

四、 拓寬視野，思維延伸

介紹尋求完美數的艱苦歷程。設疑：究竟還有沒有其他的完美數呢？

【設計意圖】提出問題，激發學生探索的興趣，讓思維向深處延伸。

（作者單位：睢寧縣實驗小學）