通向“理解”的數學教學途徑

徐靜逸

數學教學的過程就是學生與文本、與他人、與編者的融合過程。對數學知識的把握并非學生數學學習的終極目的，從某種意義上說，學生的數學學習更多是為了發展學生的數學思想方法，豐富學生的數學活動經驗，提升學生的數學學習力。對于學生來說，數學理解既有外在的行為表現，又有內在的心理表征。為理解而教，應當成為學生數學學習向學科本身回歸的重要標識。

一、心理圖式：通向“理解”的數學教學原點

為了促進學生的數學理解，教師不僅要基于學生原有認知結構，更要關照學生原有心理圖式。學生的認知圖式，不是知識的線性累積，而是知識結構在學生心理的整體性組織。數學理解應基于學生的心理圖式，并致力于發展學生的心理圖式，而心理圖式是通向“理解”的數學教學原點。

比如教學蘇教版四年級下冊“三角形的內角和”，為了激活學生的心理圖式，讓學生的數學學習呈現出一種連續性、自然性，筆者在教學時，從學生的心理圖式出發，首先呈現一個平角，學生迅速說出度數。然后，將平角動態演變為鈍角、直角、銳角等，在變化成銳角的時候，筆者讓學生猜測度數，再讓他們用自己的方法進行測量。在此基礎上，筆者出示一個三角形，學生自然能從角的視角來思考、探究三角形的特征。在通過測量探究出三角形的內角和為180度后，有學生就試圖將三角形的三個內角合并成一個平角。學生在小組研討、交流中，就能生成撕角法、折角法這些經驗性、樸素性的方法。

學生的心理圖式是學生數學理解的根基，也是學生數學理解的前提。數學理解基于學生的心理圖式，同時又能發展學生的心理圖式。為了能有效地觸摸到學生的心理圖式，教師不妨進行學情前測，整理歸納出學生的已知和未知，從而將教學的有限時空留給未知的探索，真正落實“以學定教”的原則。

二、心理表象：通向“理解”的數學教學核心

“心理圖式”是一種穩定、持久的心理結構范式，而心理表象是學生在建構數學新知時，對抽象化、形式化、符號化的數學知識的一種生活化、經驗化加工。在數學教學中，心理表象就是學生的數學學習對象在心理上的表示形態。在數學學習中，學生不僅運用數學符號進行思維，更要運用數學表象進行數學思維、想象。

心理表象的形式是多樣化的，既包括學生的操作表象，又包括圖形表象、言語表象等。如教學蘇教版三年級上冊“分數的初步認識（一）”，教師就可以從多個維度引導學生操作，比如物體的操作、圖形的操作，從而幫助學生獲得分數的操作表象、圖形表象。同時，引導學生用言語描述，從而讓學生獲得言語表象。如筆者在教學中，根據學情調查，發現學生基本上都能領會“半個”用小數0.5表示或者用分數[12]表示，但至于為什么“半個”可用小數0.5和分數[12]來表示，絕大多數學生都不能回答。為此，筆者在教學中，著重引導學生對物體或者圖形進行平均分。借助表象來進行思維，學生深刻認識到：平均分的總的份數就是分母，表示的份數就是分子。在數學教學中，表象因人而異、因事而異。通過表象進行思維，便于思維的集中，便于思維的高效運轉。

心理表象的建立需要經歷逐漸內化。很多時候，學生在初始的數學學習中，其表象是模糊的、不穩定的，而伴隨學習的逐步深入，學生的表象逐步清晰、穩定。在數學教學中，教師要引導學生經歷觀察、操作、比劃、想象、驗證等全過程，逐步將實物轉化為學生頭腦中的表象。

三、認知結構：通向“理解”的數學教學深化

學生的數學認知結構的建立、完善是通向“理解”的數學教學的旨歸、目的，也是通向“理解”的數學教學的深化。從某種意義上說，學生的數學學習就是一個認知結構的組織過程。教師不僅要引導學生經歷，讓學生在經歷中感受、體驗，更要引導學生思考、辨析、探究，還要引導學生反省、審視，將自己的認知過程作為一種認知，這就是“元認知”。通過認知結構的不斷完善，學生的數學認識逐步從膚淺、狹隘、片面走向深刻、廣闊和全面。

在數學教學中，教師要引導學生積極反思，讓自己能“脫身”出來。比如教學蘇教版五年級下冊“三角形的面積”時，筆者引導動手操作，通過“剪拼法”“倍拼法”，使學生理解三角形的面積公式。在此基礎上，筆者引導學生比較平行四邊形的面積公式推導、三角形的面積公式推導，從而形成“轉化”的推導思想。借助這樣的思想方法，學生能自主探究梯形的面積公式，并形成對圖形面積的整體性認知，建構認識結構。學生不僅能明晰圖形的面積推導之間的邏輯關系，更為重要的是，學生形成了轉化的數學思想，掌握了剪拼、倍拼的數學方法，形成了平移、旋轉的數學策略。這種較之于具體的數學知識的數學思想方法，更能內化為學生的數學素養，轉化為學生的數學學習力。

學生的數學認知結構是一個不斷組織化、邏輯化的過程。在這個過程中，教師要引導學生將認知結構通過反省抽象提升到更具普適性的、高水平的結構。對于學生而言，數學認知結構的完善是一個動態的螺旋上升的過程，在這一過程中，學生的數學理解不斷走向深入?！簦ㄗ髡邌挝唬航K省蘇州市吳江實驗小學太湖校區）