Fatou引理以及Lebesgue控制收斂定理推廣及其應(yīng)用

摘?要：本文給出條件fnf下Fatou引理以及Lebesgue控制收斂定理，并且用該推廣證明原版Fatou引理和Lebesgue控制收斂定理不太容易證明的一些問題。

關(guān)鍵詞：Fatou引理;Lebesgue控制收斂定理;依測(cè)度收斂;幾乎處處收斂

可測(cè)函數(shù)積分理論是實(shí)變函數(shù)的核心部分，一般此類問題最常見的方法是利用Fatou引理和Lebesgue控制收斂定理進(jìn)行討論。此種方法一般針對(duì)的是fn→f，a.e這類情況，對(duì)于fnf這種情況雖然也可解決，但是過程比較復(fù)雜，本文主要給出fnf情況下相對(duì)應(yīng)的定理，從而簡(jiǎn)化證明過程。

一、fn→f，a.e與fnf的異同

實(shí)變函數(shù)課程中常見收斂有5種，fn→f，a.e與fnf是其中最重要與最常見兩種，這兩種收斂既有區(qū)別又有聯(lián)系。

例1 取E=0，1，n=2k+i，0SymbolcB@

iSymbolcB@

2k，k∈N定義：

fn（x）=f2k+i（x）=1，x∈i-12n，i2n

0，xi-12n，i2n

該函數(shù)列顯然有fn0但fn→0，a.e不成立。

例2 取E=0，+SymboleB@

，作函數(shù)列：

fn（x）=1，x∈（0，n]

0，x∈（n，+SymboleB@

）

顯然該函數(shù)列有fn（x）→1，a.e但是fn0不成立。

以上兩個(gè)例子說(shuō)明一般情況下兩種收斂應(yīng)該是沒有關(guān)系，但以下定理又說(shuō)明了mE<+SymboleB@

情況下、fn→f，a.e可以推導(dǎo)出fnf。

定理1[1]設(shè)：

mE<+SymboleB@

;

fn是E上a.e有限可測(cè)函數(shù)列;

fn在E上a.e收斂于a.e有限的函數(shù)f，則：

fnf

定理表明fnf很多情況下是比f(wàn)n→f，a.e更弱的條件。

二、推廣Fatou引理和Lebesgue控制收斂定理

定理2（Fatou引理）[2]若fn是E上a.e有限可測(cè)函數(shù)列，則：

Elimn→SymboleB@

fndxSymbolcB@

limn→SymboleB@

Efndx

定理3（Lebesgue控制收斂定理）[2]設(shè)fn∈LE，且有：

limn→SymboleB@

fn（x）=f（x），a.e.?x∈E

若存在E上的可積函數(shù)F（x），使得：

fn（x）SymbolcB@

F（x），a.e.?x∈E（n=1，2，3，...），

則：

limn→SymboleB@

Efn（x）dx=Ef（x）dx

以上兩個(gè)定理是實(shí)變函數(shù)積分論中最重要的基本定理，不過在討論fnf情況時(shí)并不方便，以下結(jié)合Riesz定理得出fnf相對(duì)應(yīng)的定理。

定理4（Riesz定理）[2]fn在E上依測(cè)度收斂于f（x），則存在子列fni，使得：

limi→SymboleB@

fni（x）=f（x），a.e.?x∈E

定理5 fn和f均為E上a.e.有限非負(fù)可測(cè)函數(shù)，且有fnf則：

Ef（x）dxSymbolcB@

limn→SymboleB@

Efn（x）dx

證明：令gn（x）=infknfk，則0

gn+1（x）。

由于fnf，則由定理4可知，存在子列fni使得：

limi→SymboleB@

fni（x）=f（x），a.e.?x∈E

相應(yīng)的gnj（x）=infijfni，存在gni（x）SymbolcB@

gn（x）SymbolcB@

fn（x）。

所以：

Ef（x）dxSymbolcB@

Elimi→SymboleB@

fni（x）dx=limn→SymboleB@

Egnj（x）dxSymbolcB@

limj→SymboleB@

Egn（x）dx

=limn→SymboleB@

Efn（x）dx

得證。

此定理可以看成是Fatou引理的推廣，以下再用該定理證明出依測(cè)度型Lebesgue控制收斂定理。一般實(shí)變函數(shù)教材上雖然有該定理的證明，但是比起以下證明顯得過于繁瑣。

定理6（依測(cè)度型Lebesgue控制收斂定理）[2]設(shè)fn∈L（E），且有：

fn（x）f（x），x∈E

若存在E上的可積函數(shù)F（x），使得fn（x）SymbolcB@

F（x），a.e.?x∈E（n=1，2，3，...），則：

limn→SymboleB@

Efn（x）dx=Ef（x）dx

證明：已知fn（x）f（x），x∈E從而易得fn（x）-f（x）0

由定理5可得：

0SymbolcB@

limn→SymboleB@

Efn（x）-f（x）dx

同樣易得：

2F（x）-fn（x）-f（x）2F（x）

并且2F（x）-fn（x）-f（x）為非負(fù)可測(cè)函數(shù)列。

再次運(yùn)用定理5可得：

E2F（x）dxSymbolcB@

E2F（x）dx+limn→SymboleB@

E-fn（x）-f（x）dx

=E2F（x）dx-limn→SymboleB@

Efn（x）-f（x）dx

整理可得：

limn→SymboleB@

Efn（x）-f（x）dxSymbolcB@

0

從而：

limn→SymboleB@

Efn（x）-f（x）dx=0

而：

E（fn（x）-f（x））dxSymbolcB@

Efn（x）-f（x）dx

從而：

limn→SymboleB@

Efn（x）dx=Ef（x）dx成立。

該定理證明方法明顯比教材證法簡(jiǎn)單。

三、推廣Fatou引理應(yīng)用

例 已知f，fn均為E上非負(fù)L可積函數(shù)并且有：

fnf，limn→SymboleB@

Efn（x）dx=Ef（x）dx

求證：limn→SymboleB@

Efn（x）-f（x）dx=0

證明：由已知fn（x）f（x），x∈E顯然有fn（x）-f（x）0

由定理5可得：

0SymbolcB@

limn→SymboleB@

Efn（x）-f（x）dx

取：

gn（x）=fn（x）+f（x）-fn（x）-f（x）

此時(shí)有g(shù)n（x）2f（x）。

再次由定理5可得：

E2f（x）dxSymbolcB@

limn→SymboleB@

Egn（x）dx

=limn→0Efn（x）dx+Ef（x）dx-limn→SymboleB@

nfn（x）-f（x）dx

由已知limn→SymboleB@

Efn（x）dx=Ef（x）dx，整理可得：

limn→SymboleB@

nfn（x）-f（x）dxSymbolcB@

0

從而：

limn→SymboleB@

Efn（x）-f（x）dx=0得證。

參考文獻(xiàn)：

[1]程其襄，張奠宙，魏國(guó)強(qiáng)，胡善文，王漱石.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，2009：92（第3版）.

[2]周明強(qiáng).實(shí)變函數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，2016：139，154，118，157（第3版）.

作者簡(jiǎn)介：胡鵬（1983-），男，漢族，四川西昌人，碩士研究生，西昌學(xué)院講師，研究方向：泛函分析。