口訣在微積分教學中的應用舉例

摘?要：數學具有理論性強、邏輯思維縝密、公式多、計算量大等學科特點，這個學科一般從小學學到大學，學習時間很長，是學生感覺比較頭疼的學科。針對學生在微積分學習中的“畏難”情緒，筆者在教學中將微積分中的重點、難點和易錯點編寫成相應的口訣，既利于學生記憶以提高學生的學習興趣，又活躍了課堂氣氛以提高教學質量。實踐證明，口訣在學生學習過程中起到了重要的輔助作用。

關鍵詞：口訣;微積分;函數;極限;求導;積分;級數

Application of pithy formula in Calculus Teaching

Zhao Weilian

College of Modern Electronics&Management，JiangXi University of Finance & Economics?JiangxiNanchang?330013

Abstract：Mathematics，as a subject from primary school to university，has the characteristics of long learning time，strong theory，careful thinking logic，many formulas，complicated calculation and so on，so it has become a headache for students.In view of the students' fear of difficulties in Calculus Learning，the author compiles the key points，difficulties and fallible points in calculus into corresponding pithy formula in teaching，which is not only conducive to students' memory to improve students' interest in learning，but also enlivens the classroom atmosphere to improve teaching quality.Practice has proved that the pithy formula plays an important auxiliary role in the learning process of students.

Key words：pithy formula calculus function limit derivative integral series

口訣具有音律性，方便記憶。老師若能將內容的重點或難點精練成口訣，利用學生熟悉的語言，使重點和難點知識變得生動有趣，則對調動學生的學習興趣和積極主動性有非常大的幫助。[1]在微積分的第一次課，我會將微積分這門課程中的主要口訣列出來告訴學生，要他們時常讀一讀，口訣如下[2]：

關于函數這一章的口訣：函數概念三要素，定義關系最核心;奇偶函數常遇到，對稱性質不可忘;冪指函數最可愛，指數對數一起上;經濟函數要記牢，章章不離其身影;分段函數分段點，左右運算要先行。

關于求極限這一章的口訣：分段函數要注意，分段點處最關鍵，左右運算要先行;極限為零無窮小，乘有限仍無窮小;待定極限多類型，分層處理洛必達;數列極限洛必達，必須轉化連續型;和式極限逢絕境，轉化積分見光明;無窮大比無窮大，最高階項除上下;n項加減必合并，否則估計上下界，變量替換是一法，由繁化簡要找它;遞推數列求極限，單調有界必先證，兩邊極限共同上，方程之中極限求。

關于求導數及偏導的口訣：切線斜率是導數，法線斜率負倒數;可導可微互等價，它們都比連續強;分段函數分段點，左右運算要先行;有理函數要運算，最簡分式要先行;高次三角要運算，降次處理要先行;多元復合求偏導，鏈鎖公式不可忘;多元隱函求偏導，交叉偏導加負號。

關于微分中值定理的口訣：函數為零要證明，介值定理定方向;導數為零欲證明，羅爾定理負責任;函數之差化導數，拉氏定理顯神通;導數函數合（組合）為零，輔助函數用羅爾;尋找ξ，η無約束，柯西拉氏先后上;尋找ξ，η有約束，兩個區間用拉氏。

關于導數應用這一章的口訣：單調遞增與遞減，先判導數正與負;凸凹切線在上下，凸凹轉化在拐點;端點、駐點、非導點，函數值中定最值;

關于積分這一章的口訣：湊微分法經常用，微分公式要熟背;第二換元去根號，規范模式可依靠;分部積分難變易，弄清u、v是關鍵;變限積分是函數，遇到之后先求導;變限積分雙變量，先求偏導后求導;定積分化重積分，廣闊天地有作為;多重積分要計算，累次積分是關鍵;積分順序要交換，必先畫出積分圖。

關于級數內容的口訣：無窮級數判收斂，部分和后求極限;正項級數判別法，比較、比值和根值;冪級數求和有妙招，公式、等比、列方程。

下面我從三個方面來談口訣在微積分教學中的具體應用。

一、章節未始，口訣先熟

以口訣的形式總結重點章節的內容，方便學生記住該章的內容，從而減少學生的畏難情緒，同時會引起學生探究新知的興趣。一般在上一章節內容快講完時，我會將下一章節的口訣發給學生，要求學生先熟讀成誦。如當我快要結束極限這一章時我就將導數及導數應用的口訣發給學生，這個口訣會比上述口訣更詳細些，其口訣如下：

導數定義是關鍵，因變增量正亦負，某點導數若存在，函數該點處連續。分段函數要注意，分段點處最關鍵，左右運算要先行;求導公式必牢記，復合函數逐層導;冪指積商用對數，隱函求導路數多，微分、公式、直接法。導數應用可重要，洛必達法則陷阱多，未定極限類型多，分層處理洛必達。一階導，判單調，二階導，求拐點，判凹凸。端點、駐點、非導點，函數值中定最值。

這一口訣體現了導數及導數應用的主要內容和主要方法，“導數定義是關鍵，因變增量正亦負，某點導數若存在，函數該點處連續”指出了導數定義的重要性;“分段函數分段點，左右運算要先行”指出分段函數在分段點處的可導性判斷應特別注意要進行左右導運算，“求導公式必牢記，復合函數逐層導;冪指積商用對數，隱函求導路數多，微分、公式、直接法”概括了幾種求導方法;“導數應用很重要，洛必達法則要用好，待定極限多類型，分層處理洛必達”表明了洛必達法則求極限是導數的應用之一;“一階導數判單調，二階導數求拐點、判凸凹”這句口訣說明了一階導數及二階導數的作用;“端點，駐點，非導點，函數值內求最值”這句口訣說明了求最值的方法。學生掌握這個口訣后，對本章的主要內容會有一個大概了解，會為后續的學習打下堅實的基礎。

二、重要定理，口訣助力

在講導數的應用前必須要講到中值定理，且這三個定理有相似之處，容易記混。此時，我會使用相應的口訣，便于學生記憶和理解。微分中值定理有三個：羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，這三個微分中值定理的條件中相同的部分也有不同的部分。結合三個定理的特點，可用如下口訣：

閉連開導同要求，端值相等為羅爾，切線必是水平線;端值不等是拉氏，此時切線未必平;兩個函數比端點，柯西導數來替換;羅爾、拉氏、柯西點，未必同一區間里。

該口訣將微分中值定理的相同點和不同點區分開，并強化了該定理的幾何意義，對學生加深中值定理的認識和應用是非常有利的。

三、重要方法，口訣解疑

在微積分中，極限、導數、積分、微分方程等知識占非常重要的地位，很多計算方法、解題方法是學習的重點和難點。以分部積分法求不定積分為例，分部積分公式：u（x）v′（x）dx=u（x）dv（x）

=u（x）v（x）-v（x）du（x）

=u（x）v（x）-v（x）u′（x）dx[3]

當被積函數是兩個函數相乘時，應該將哪個函數選作u（x），哪一個函數通過換元變成v（x），這是運用公式的重點。選取u（x）和v（x）時要考慮v（x）du（x）較u（x）dv（x）更容易計算。一旦解題思路選擇錯誤，會使積分變得很復雜且越算越難，甚至很難得出結果，故正確選擇出u（x）或v（x）至關重要。因此有主要口訣：分部積分難變易，弄清u（x）、v（x）是關鍵，但該口訣并沒有具體說明如何弄清它們，因此還要補充其它口訣來解決這個問題。

口訣一[4]：“反對不能碰，三指試一試”。口訣中的“反”表反三角函數，“對”表對數函數，“三指”表指數函數、三角函數及冪函數。此口訣說明遇到反三角函數或對數函數時要將它選為u（x），千萬不能將它進行換元變成v（x），應選“三指”進行湊微分變形為v（x）。這個口訣的不足之處是沒有明確指數函數、三角函數、冪函數互乘時如何選取，因此提出下面這個口訣補充。

口訣二：“指三冪對反，誰后誰為u（x）”。這個口訣說明指數函數、三角函數、冪函數、對數函數、反三角函數兩兩相乘時，按指三冪對反的順序誰在后誰就選擇為u（x），另一個變形為v（x），這個口訣非常好地解決了五類基本初等函數分部積分的問題。現舉一個例子來說明，例如xarctanxdx中，x為冪函數，arctanx為反三角函數，因按“指三冪對反”的順序，故應arctanx將作為u（x），x變形為12x2作為v（x）。

該題部分步驟如下：

xarctanxdx=arctanxd（x22）=x22arctanx-x22darctanx

以上是筆者在微積分教學中運用口訣教學實踐的部分內容。在課堂上通過師生互動，不僅活躍了課堂氣氛，而且學生由被動學習轉為主動學習了，從而使學生更好地記憶并理解知識。使用這些口訣時，堅持以實際內容為主，口訣為輔的原則，在教學實踐中取得了良好的效果。

參考文獻：

[1]李秀茹.“口訣”在體育教學中的應用[J].科技資訊，2005（5）：93-94.

[2]微積分口訣（崔北祥數學學習的博客）.

[3]華長生，等.《微積分（二）》[M].北京：高等教育出版社，2013：28-34.

[4]陶碩，等.分部積分的“十字”口訣方法[J].高等數學研究，2008，11（6）.

作者簡介：趙未蓮（1972-），女，漢族，江西吉水人，本科，碩士，講師，江西財經大學現代經濟管理學院從事基礎教學與研究。