代數基本定理的幾種證明

李志國 邵澤玲 李志新

摘?要：代數基本定理是數學中最重要最基本的定理之一，不僅僅在代數學中起著重要的基礎作用，乃至整個數學研究都有著廣泛的應用基礎。本文通過利用拓撲、不動點、代數等理論給出了代數學基本定理的五種不同的證明。

關鍵詞：代數基本定理;不動點定理;同倫;分裂域

代數基本定理在代數乃至整個數學中起著基礎作用。最早該定理由德國數學家羅特于1608年提出。據說，關于代數學基本定理的證明，現有200多種證法。迄今為止，該定理尚無純代數方法的證明。大數學家J.P.塞爾曾經指出：代數基本定理的所有證明本質上都是拓撲的。美國數學家John Willard Milnor在數學名著《從微分觀點看拓撲》一書中給了一個幾何直觀的證明，但是其中用到了和臨界點測度有關的sard定理。復變函數論中，對代數基本定理的證明是相當優美的，其中用到了很多經典的復變函數的理論結果。

代數基本定理，一般高等代數的教材中都沒有給出證明，這是因為它的純代數方法的種種證明都很復雜。大多數參考文獻中都是利用維爾定理和儒歇定理等復變函數理論來證明代數基本定理。本文從拓撲學，不動點理論，代數理論等角度分別列舉了五種不同的證明方法。

1 代數學基本定理

任何一個n次多項式f（z）=anzn+an-1zn-1+…+a1z1+a0，ai∈C，an≠0在復數域C中至少有一個根。

證法一：（代數拓撲方法）

視S2=C∪{SymboleB@

}，f（z）可以延拓為一個連續映射：

F：S2=C∪{SymboleB@

}→S2=C∪{SymboleB@

};

F（z）=f（z），z∈C;F（SymboleB@

）=SymboleB@

。

由此可知，只要證明0∈ImF即可。定義H：S2×I→S2如下：

H（z，t）=anzn+（1-t）（f（z）-anzn），z∈C，

SymboleB@

，z=SymboleB@

。

令F1（z）=anzn，z∈C

SymboleB@

，z=SymboleB@

，則H（z，t）定義了一個F與F1之間的一個同倫。而degF1=n，所以degF=n，故F必為滿射，所以0∈ImF，證畢。

證法二：（代數拓撲方法）

用反證法。設n次復系數多項式f（z）=anzn+an-1zn-1+…+a1z1+a0，ai∈C，an≠0在復平面上無根。于是a0≠0，否則0是根。不妨設an=1。

r>0，規定fr（z）：S1→S1為

fr（z）=f（rz）/‖f（rz）‖

則r，fr～f0。而f0（z）=a0/‖a0‖，即f0是常值映射。于是fr零倫但是不難證明當r→+SymboleB@

時，fr（z）→zn。從而當r充分大時fr～hn。這里hn：S1→S1規定為hn=zn。它不是零倫的，因為（hn）π不是平凡同態.導出矛盾。

證法三：（微分拓撲方法）

因為limz→SymboleB@

f（z）=SymboleB@

，所以存在R>0，使得|z|R|f（z）|>|f（0）|，記K={z∈C|z|SymbolcB@

R}，則函數|f（z）|在K上的最小值必定在K內部的某點c取得，這時必有f（c）=0。否則，因為f將c點的一個開鄰域U（不妨設UK）映成點f（c）的一個開鄰域W，所以必有W中的某點w=f（z）使得|f（z）|<|f（c）|，但這與|f（c）|的最小性矛盾（如下圖所示）。

證法四：（不動點理論方法）

不失一般性，可設an=1，令z=reiθ（0SymbolcB@

θSymbolcB@

2π），且令R=2+|a0|+…+|an-1|，在復平面上定義函數：

g（z）=z-f（z）Rei（n-1θ）?|z|SymbolcB@

1，

z-f（z）Rz（n-1）|z|>1。

由g的形式，顯然它是連續函數，考慮集合C={z||z|SymbolcB@

R}，它是平面上列緊的凸集。現在證明集合C對于g是不變集合。事實上，設|z|SymbolcB@

1，則：

|g（z）|SymbolcB@

|z|+|f（z）|RSymbolcB@

1+（1+|a0|+…+|an-1|）RSymbolcB@

1+1=2SymbolcB@

R

設|z|1，則：

|g（z）|SymbolcB@

|Rzn-f（z）||Rzn-1|=|（R-1）zn-（an-1zn-1+…+a1z1+a0）||Rzn-1|

SymbolcB@

（R-1）zR+|a0|+…+|an-1|R

SymbolcB@

R-1+R-2RSymbolcB@

R

由集合C對于是g不變集合，由Brower定理gC：C→C有不動點，設為z0，即g（z0）=z0，故：

f（z0）=0。

證法五：（近世代數方法）

首先假設f（z）是實系數多項式，并設n=2lm，m為奇數。（對l歸納證明）當l=0時，n為奇數，顯然f（z）有一個實根，當然也是一個復根。假設l1，定理對l-1成立。由分裂域存在定理，存在f（z）的分裂域Ef包含f（z）的所有根α1，α2，…，αn-1，αn，任取一實數r，并令βij=αiαj+r（αi+αj）（i

i，jSymbolcB@

n），共有n（n-1）2=2l-1m個。

作多項式g（z）=Πni，j=1i

某對i，j，使得βij（1）=αiαj+r1（αi+αj）;βij（2）=αiαj+r2（αi+αj）都是復數，因此可得αiαj，αi+αj也都是復數，從而αi，αj也都是復數。這就證明了實系數多項式f（z）至少有一個復根。

其次，如果f（z）不是實系數多項式，設f（z）=anzn+an-1zn-1+…+a1z1+a0，ai∈C，an≠0，令f1（z）=a-nzn+a-n-1zn-1+…+a-1z1+a-0，則F（z）=f（z）f1（z）是實系數多項式，由第一步的結論可知α至少有一個復根α，即f（α）f1（α）=0;若f（α）≠0則f1（α）=0，從而f1（α）=f（α-）=0，所以α-是f（z）的一個復根。

綜上所述，定理得證。

2 結語

代數基本定理保證了多項式方程的根的存在性，證明歷史由來已久，前人已對代數基本定理的證明進行了深入研究，然而利用各方面的知識探討該定理的證明仍是十分有意義的，本文從拓撲學，不動點理論，代數理論等角度分別列舉了五種不同的證明方法。反映出現代數學的各個分支相互滲透，相互融合也提現了數學的統一觀。

參考文獻：

[1]段海豹.同調論，中科院討論班講義.2009.

[2]尤承業.基礎拓撲學講義[M].北京：北京大學出版社，2005.

[3]張筑生.微分拓撲新講[M].北京：北京大學出版社，2002.

[4]Vasile I Istratescu，不動點理論及其應用[M].上海：上海科學技術出版社，1991.

[5]胡冠章.應用近世代數[M].北京：清華大學出版社，1999.

[6]劉紅玉，霍東華.代數基本定理的幾種證明[J].牡丹江師范學院學報（自然科學版），2011（03）：1-2.

[7]孫艷紅，高會雙.代數基本定理的拓撲證明及推廣[J].井岡山大學學報（自然科學版），2018，39（04）：17-20.

基金項目：河北工業大學教育教學改革研究項目（201903028）;河北省自然科學面上基金（A2019402043）

作者簡介：李志國（1979-），男，漢族，河北磁縣人，博士，講師，拓撲學方向;李志新（1983-），男，漢族，河北邯鄲人，博士，講師，動力系統方向。

*通訊作者：邵澤玲（1977-），女，漢族，山東臨沂人，博士，副教授，圖論方向。