一般三次方程的代數解

馬紀英，王 宏，王 潮

（石家莊郵電職業技術學院，河北石家莊 050021）

在代數發展歷程中，早期代數歷史其實就是方程的歷史。早在古巴比倫時期（諾伊格鮑爾《楔形文字數學課本》）、古埃及時期（萊因德紙草書），以及稍近時期的丟番圖、歐幾里得、阿基米德、花拉子米等數學家都對二次方程，甚至特定類型的三次方程進行了研究和求解。中世紀后，科學再次復蘇，方程的求解再次引起人們的重視，經過幾代數學家的努力，特別是費羅、菲奧利、塔塔利亞、卡爾達諾、費拉里等幾人之間的恩恩怨怨，后卡爾達諾于1545年出版了《大衍術》一書給出了一般三次方程和四次方程的代數解。

1 二次方程的代數解

因為一般二次方程也可以寫成，故不妨設一般二次方程為

它有兩個解，分別是

我們知道是判別式。當時，上面的根為兩個不相等的實根；當時，上面的根為兩個相等的實根；當時，上面的根為兩個不相等的復根。

2 一般三次方程

不妨設一般的三次方程為

我們可以先對一般的三次方程做一個簡單的代數變換消去項，

令，一般三次方程化為消去項的不完全三次方程，下面我們只需考慮不完全三次方程。

3 不完全三次方程的變形

求解不完全三次方程。

令，方程變為

于是，滿足：

由②式可得，代入①式可得，這是一個關于的二次方程，根據二次方程的一般解可以得到

同樣，如果令代入，可得到，解這個方程可以得到

根據①式可知，和共有兩組解，不妨設

4 不完全三次方程的代數解

5 三次方程根的分析

直觀來看，前述三個根似乎第一個是實數，第二個和第三個是復數。其實不然，三個根都是建立在和的基礎之上的，問題是本身可能就是復數。

和都包含的平方根，而這個數有可能是負的。如果它是負的，和就是復數；如果它是正的，和就是實數。把稱為不完全三次方程的判別式，可得以下三個根的實際情況。

6 小結

對于一般的三次方程來說，不同于數值解，代數解的意思是如下形式的解[用表示的某個“代數”表達式]，其中“代數”的意思是“只包含加法、減法、乘法、除法和乘方、開方”。當判別式為負時，也就是三次根號下的數為復數，這時人們不得不去尋找一個復數的立方根，這不是一件容易的事，所以三次方程的代數解盡管在理論上非常令人滿意，但不是特別實用。另外，四次方程代數解的求解方法總體上來說是降階法，簡化方程、降低階次，但所得的根的表達式相當復雜，說起來要占用大量篇幅。五次及其以上的一般方程就沒有代數解了。