高考復習要注意回歸教材

章顯聯

(浙江省紹興市魯迅高級中學 312000)

教材是教師教學 ，學生學習之本，也是高考命題專家命題之源.數學概念，法則，公式的復習不僅要記住結論，更要關注它們的發生，發展過程和本質.下面通過探秘2019年部分高考題的源與流，讓我們更懂得需要利用好教材，包括教材中的習題.

一、厲害了，我的角

高考真題【2019年浙江高考8】設三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側棱長均相等，P是棱VA上的點(不含端點)．記直線PB與直線AC所成的角為α，直線PB與平面ABC所成的角為β，二面角P-AC-B的平面角為γ，則( ).

A．β<γ，α<γB．β<α，β<γ

C．β<α，γ<αD．α<β，γ<β

題源揭秘本題的背景是：“最大角與最小角原理”.

探究1已知AP為平面α的斜線，AP與平面α內過P點的所有直線所成的角中，最小的那個角在哪里？

通過直觀感知，操作確認，思辨證明得出最小角.

最小角原理：斜線與平面內任何直線所成的角中線面角最小.

三余弦公式：cosγ=cosθ·cos∠CPO.

圖1 圖2

探究2在銳二面角α-l-β中，α內過P點的所有直線中，哪條直線與β所成線面角最大？

通過直觀感知，操作確認，思辨證明得出最大角原理及三正弦公式：

最大角原理：在銳二面角α-l-β中，α內的任一直線AP與β所成線面角中二面角的平面角最大.

三正弦公式：sinθ=sinγ·sin∠PAF.

(其中θ為線面角，γ二面角α-l-β的平面角)

真題解答：

法1由最小角原理得β<α，記二面角V-AB-C的平面角為γ′(顯然γ=γ′).

由最大角原理得β<γ，故選B.

法2(特殊位置)取V-ABC為正四面體，P是棱VA上的中點，算出α，β，γ的正弦值，可得選項B.

變式問題

變式題1(2018浙江高考8)已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側棱長均相等，E是線段AB上的點(不含端點)，設SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S-AB-C的平面角為θ3，則( ).

A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1

C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1

解1作出三個角，通過定量計算得出答案為D.

解2由最小角與最大角原理知：θ1≥θ2,θ3≥θ2，故選D.

變式題2 (2018年11月浙江學考)

四邊形ABCD為矩形，沿AC將△ADC翻折成△AD′C.設二面角D′-AB-C的平面角為θ，直線AD′與BC所成的角為θ1，直線AD′與平面ABC所成的角為θ2，當θ為銳角時，有( ).

A．θ2≤θ1≤θB．θ2≤θ≤θ1

C．θ1≤θ2≤θD．θ≤θ2≤θ1

解由最小角原理得θ1≥θ2，由最大角原理得θ≥θ2.下面比較θ1與θ的大小既可.選B.

圖3

變式題3(2014年浙江高考17)如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練.已知點A到墻面的距離為AB，某目標點P沿墻面的射擊線CM移動，此人為了準確瞄準目標點P，需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小.若AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°,則tanθ的最大值為____.

解1函數思想

∵AB=15,AC=25,∴BC=20.設P點到地面垂足為N，h=PN,則

解2由線面角≤面面角，求tanθ的最大值轉化為求二面角M-AC-Q的平面角.

變式題4若異面直線a,b所成的角為50°，P為空間一定點，則過點P與a,b所成角都是30°的直線有( ).

A．一條 B.二條 C.三條 D四條

變式題5若異面直線a,b所成的角為50°，P為空間一定點，則過點P與a,b所成角都是80°的直線有( ).

A．一條 B.二條 C.三條 D.四條

同上法有四條.故選D.

年年歲歲花相似，歲歲年年題不同.考查這類空間角的大小是浙江省高考題中難以割舍的情結，其本質是考查線面角與面面角定義的合理性，是考查學生數學素養的有效途徑.正是“初聞不知角中意，細品已是角中人，角中聯系今猶在，挖掘內涵助提升.”

二、心里有譜，做題塌實

高考真題【2019年浙江高考21】如圖，已知點F(1，0)為拋物線y2=2px(p>0)的焦點，過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q，且Q在點F的右側．記△AFG,△CQG的面積分別為S1,S2．

(1)求p的值及拋物線的標準方程；

圖4

題源揭秘：本題可借助拋物線焦點弦的性質求解.結合人教A版《數學》(選修2-1)第70頁例5，第73頁習題2.4A組第6題，第81頁復習參考題B組第7題可得到拋物線的常用結論：已知拋物線y2=2px(p>0)上的兩個動點A(x1,y1),B(x2,y2),

(3) 以AB為直徑的圓與準線相切；

(6)過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D，則直線DB平行于拋物線的對稱軸．

(7)過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，準線與x軸交于點E，則x軸平分∠AEB；反之，若x軸平分∠AEB，則直線過點F.

真題解答：

(2)設A(xA,yA),B(xB,yB),C(xc,yc)，重心G(xG,yG).令yA=2t,t≠0，則xA=t2.

所以，直線AC方程為y-2t=2t(x-t2)，得Q(t2-1,0).

圖5

圖6

變式2已知F為拋物線y2=x的焦點，過點F的直線AM交拋物線于A，M兩點，過點M作直線BC交拋物線于B，交x軸于點C，若M為BC的中點，求|AB|的最小值.

變式3(2001年全國卷)設拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，經過點F的直線交拋物線于A、B兩點.點C在拋物線的準線上，且BC∥x軸．證明直線AC經過原點O.

圖7

證明二如圖8，記x軸與拋物線準線l的交點為E，過A作AD⊥l，D是垂足．則AD∥FE∥BC．

圖8

根據拋物線的幾何性質，|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，

以上幾道題都涉及多點關聯的問題，而關聯定乾坤的是拋物線的焦點弦性質(證明過程參照變式3)，心中有拋物線的常用結論，做題心里就有譜，踏實.拋物線中很多結論可推廣到橢圓、雙曲線，它們具有類似的性質.

我們在平時學習，高考復習期間，千萬別忘了“本”，更不能舍本求末，課本中的“金礦”等待我們去挖掘！