高考考查函數圖象的三個視角

廖永福

(福建省廈門第二中學 361009)

函數是高中數學的重要內容，函數圖象是函數的直觀表示，是揭示函數性質的有力工具，是數形結合的重要載體，也是高考的熱點之一.高考考查函數圖象的試題一般從三個視角命制：函數圖象的繪制、函數圖象的識辨和函數圖象的應用.考查形式多為選擇題或填空題，難度基礎或中等，常用特殊點法、排除法、數形結合法等解決.下面以近幾年高考全國卷為例闡述如下：

一、函數圖象的繪制

函數圖象的繪制是高考的基本要求.已知函數的解析式，作函數圖象一般有兩種方法：描點法和圖象變換法.當已知函數是基本函數時，可根據函數的特征找出圖象的關鍵點直接作出圖象；含有絕對值符號的函數，可去掉絕對值符號，化為分段函數后再作出圖象；若函數可由某個基本函數的圖象經過平移、翻折、對稱得到，則可利用圖象變換作出，對不能直接找到基本函數的要先變形，注意變換的順序對變換單位和解析式的影響.

1.描點法

例1(2016年新課標Ⅰ)已知函數f(x)=|x+1|-|2x-3|．

(1)在圖中畫出y=f(x)的圖象；

(2)求不等式|f(x)|>1的解集．

分析(1)利用絕對值的性質化簡函數解析式，再畫出函數的圖象；

(2)根據圖象寫出不等式的解集.

(2)由|f(x)|>1，可得f(x)<-1或f(x)>1

點評本題考查分段函數圖象的畫法和絕對值不等式的解法，考查運算能力，屬于基礎題．

2.圖象變換法

點評本題考查三角函數圖象的變換，考查誘導公式的應用，考查運算能力．

二、函數圖象的識辨

函數圖象的識辨是高考的熱點.一般有兩種類型：知式選圖和知圖求式.前者是給出函數的解析式，確定所給函數的圖象；后者是給出函數的圖象,確定圖象對應的函數解析式.解題的關鍵是從圖象中讀出有用的信息,并與函數解析式相互印證，進而解決問題.

尋找函數圖象與解析式之間的關系，常從以下幾個方面入手：(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置；(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數的周期性，判斷圖象的循環往復等.反之亦然.

利用上述方法排除錯誤選項，篩選正確選項.當選項無法排除時，可代特殊值，或從某些量上找突破口.

1.知式選圖

例3 (2016新課標)函數f(x)=2x2-e|x|在[-2,2]的圖象大致為( ).

分析通過研究函數的奇偶性、單調性、極值和特殊值，確定函數的圖象.

解答函數f(x)=2x2-e|x|在[-2,2]上是偶函數，其圖象關于y軸對稱.

因為f(2)=8-e2∈(0,1)，故可排除A,B.

設g(x)=2x2-ex，則g′(x)=4x-ex.

∵g′(0)<0,g′(2)>0,∴g(x)在(0,2)內至少有一個極值點，

∴f(x)=2x2-e|x|在(0,2)內至少有一個極值點，排除C.故選D.

點評本題主要考查函數圖象的識別和判斷，利用導數研究函數的單調性和極值是解決本題的關鍵．

例4 (2015年新課標Ⅱ)如圖,長方形的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點,點P沿著邊BC，CD與DA運動,記∠BOP=x,將動點P到A，B兩點距離之和表示為x的函數f(x),則函數的圖象大致為( ).

分析解決此類問題可以根據已知條件求出函數解析式后再判斷函數的圖象，也可以采用“以靜觀動”，即將動點置于某些特殊的位置考察圖象的變化特征，從而作出選擇.

2.知圖求式

例5(2015年新課標Ⅰ)函數f(x)=cos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示，則f(x)的單調遞減區間為( ).

分析由圖可求函數f(x)的解析式，進而求出函數的單調遞減區間.

巧思由圖可求函數f(x)的周期和初相，再求單調遞減區間，進而得出結論.

點評本題主要考查函數y=Acos(ωx+φ)的圖象和性質，數形結合是解題的關鍵.

三、函數圖象的應用

函數圖象的應用也是高考的熱點.函數圖象形象地顯示了函數的性質，為研究數量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結果的重要工具.以函數圖象為工具來解決數學問題，體現了數形結合的數學思想.應用函數圖象研究函數的性質，解方程或不等式，解決零點問題、恒成立問題、存在性問題都是常見的題型.

1.研究函數的性質

A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③

分析易知f(x)是偶函數.根據絕對值的性質化簡解析式，作出函數的圖象即可作出判斷．

解答∵f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx|=f(x)，∴函數f(x)是偶函數.

由圖可得①、④正確，故選C．

點評本題主要考查與三角函數有關的命題真假的判斷，正確畫出函數的圖象是解決本題的關鍵．

2.解方程或不等式

A．(-∞，-1] B．(0,+∞)

C．(-1,0) D．(-∞,0)

分析畫出函數y=f(x)的圖象，利用函數的單調性列出不等式求解即可．

點評本題考查分段函數的應用，考查函數的單調性以及不等式的解法，考查計算能力．

3.零點問題

A．[-1，0) B．[0，+∞)

C．[-1，+∞) D．[1，+∞)

分析由g(x)=0得f(x)=-x-a，分別作出函數y=f(x)和y=-x-a的圖象，根據圖象交點的個數即可求出a的取值范圍．

解答由g(x)=0得f(x)=-x-a，作出函數y=f(x)和y=-x-a的圖象如圖.

當直線y=-x-a的截距-a≤1，即a≥-1時，兩個函數的圖象有2個交點，函數g(x)存在2個零點.

所以實數a的取值范圍是[-1，+∞)，故選C．

點評本題主要考查分段函數的應用，把函數g(x)的零點問題轉化為函數y=f(x)和y=-x-a圖象的交點問題是解決本題的關鍵．

4.恒成立問題

分析這是一個恒成立的問題，借助函數y=4x和y=logax的圖象和性質可解.

解答當a>1時，logax<0，顯然4x

點評本題主要考查指數函數和對數函數的圖象和性質，不等式恒成立問題的一般解法，屬基礎題.

5.存在性問題

例10(2015年新課標Ⅰ)設函數f(x)=ex(2x-1)-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整數x0使得f(x0)<0，則a的取值范圍是( ).

分析設g(x)=ex(2x-1)，h(x)=ax-a，問題轉化為存在唯一整數x0使得g(x0)

解答設g(x)=ex(2x-1)，h(x)=ax-a.

點評本題考查函數的導數和極值，涉及數形結合和轉化的思想，屬中檔題．

總之，繪制函數圖象要規范、準確；識辨函數圖象要善于讀圖；應用函數圖象解題要靈活構造函數，并作出圖象. 熟練掌握基本初等函數的圖象和性質，是解決這類問題的前提.