重視教材分析 落實數學核心素養

馬春妍

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：數學教學應根據具體的教學內容，通過引導學生主動思考、探索等活動，使學生獲得數學基礎知識、基本思想、基本活動經驗，促使學生能夠主動地學習，不斷提高數學的分析問題和解決問題的能力.數學知識的學習，應注重學生對數學知識的理解，體會數學知識間的聯系.因此，在數學教學過程中，讓學生根據題目里的幾何圖形，經過觀察、思考、交流、發現等數學活動，自發的發現問題之間的聯系，借助教師適當的指導，把新問題轉化為舊問題，并通過適當的數學訓練，進一步豐富已有學習經驗.1 問題提出

三角函數是初中數學的重要知識點之一，在眾多的題目背景下，我們可以將其中的一個圖形定為“基本圖形”，這個“基本圖形”是提出問題的有效載體，也是三角函數考題創新的基礎，更是把握三角函數考題變化的依據.我們梳理三角函數部分的考查題目，結合青島中考試題，組織一個微專題，以這些題目為基本素材，展開三角函數基本圖形的深思與探究.2 問題解決

基本圖形（2017青島中考） 如圖1，C地

在A地的正東方向，因有大山阻隔，由A地

到C地需繞行B地.已知B地位于A地北偏東67°方向，距離A地520?km，C地位于B地南偏東30°方向.若打通穿山隧道，建成兩地直達高鐵，求A地到C地之間高鐵線路的長.（結果保留整數）

（參考數據：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，3≈1.73）圖1 圖2

解析 如圖2，做BD⊥AC于點D，設BD=x，

在Rt△ABD中，sin67°=ADAB，cos67°=BDAB，所以

AD=480?km，BD=200?km.在Rt△BCD中，

tan30°=CDBD，所以CD≈115，所以AC=AD+CD=595?km

點評 利用輔助線BD將△ABC分成兩個直角三角形△ABD和△BCD，并且這兩個直角三角形有一個直角邊是公共邊，這是本題的解題關鍵

學生已經有圖形變換的知識基礎，在學習完此題后，可順勢思考，借助“基本圖形”進行折疊、平移、旋轉等變換，獲得新問題，從而達到舉一反三，鞏固知識的效果圖3

變式1 （2013年青島）如圖3，馬路的兩邊CF，

，DE互相平行，線段CD為人行橫道，馬路兩側

的A，B兩點分別表示車站和超市.CD與AB所

在直線互相平行，且都與馬路的兩邊垂直，馬

路寬20米，A，B相距62米，∠A=67°，∠B=37°

求CD與AB之間的距離;（參考數據：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34）

解析 設CF=x，在Rt△BCF中，tan37°=CFBF，所以BF=43x，在Rt△ADE中，tan67°=DEAE，所以AE=512x，因為BF+EF+AE=AB，所以43x+20+512x=62，所以x=24，即CD與AB之間的距離是24米

點評 此題圖形可以看成將例題中的兩個直角三角形進行適當的平移，構造出新的問題，即變式1，解決此題的關鍵是找到兩個直角三角形中公共的邊，設為未知數，從而解決問題

變式2 如圖4，小明在熱氣球A上

看到正前方橫跨河流兩岸的大橋BC，

并測得B，C兩點的俯角分別為45°

和35°，已知大橋BC與地面在同一

水平面上，其長度為100m.請求出

熱氣球離地面的高度

（結果保留整數，參考數據：sin35°≈712，cos35°≈56，tan35°≈710）圖4 圖5

解析 如圖5，做AD⊥BC于點D，設AD=x，

在Rt△ABD中，∠ABD=45°，所以BD=AD=x，

在Rt△ACD中，tan35°=ADCD，所以CD=107x，

因為BD+BC=CD，所以100+x=107x，解得x=233

點評 將例題中△ABD沿BD折疊，即為此題，解題關鍵根據基本圖形的思路構造直角三角形，并找到兩個直角三角形中的相等量設為未知數.此題給出了折疊關系進行變式習題的思路.在學生掌握例題后，學生可以先自主思考并可借助教師適當的引導、啟發，以發現此問題與例題之間的關系.在此過程中教師應給予學生適當的鼓勵

變式3 （2018年青島19題）某區域平面

示意圖如圖6，點O在河的一側，AC和BC

表示兩條互相垂直的公路.甲勘測員在A

處測得點O位于北偏東45°，乙勘測員在

B處測得點O位于南偏西73.7°，測得AC=840m，BC=500m.請求出點O到BC的距離.（參考數據：sin73.7°≈2425，cos73.7°≈725，tan73.7°≈247）圖6 圖7

解析 如圖7，過點O作OD⊥BC，OE⊥AC，

設OD=x.在Rt△BOD中，tan73.7°=ODBD，

所以BD=724x，所以CD=OE=500-724x.

在Rt△AOE中，∠OAE=45°，所以AE=OE，

因為AE+ER=AC，所以500-724x+x=840，所以x=480

點評 此題在例題基本圖形的基礎上，將其中的一個直角三角形進行旋轉變式

變式4 （2019年青島19題）如圖8，

某旅游景區為方便游客，修建了一條東

西走向的木棧道AB，棧道AB與景區道

路CD平行.在C處測得棧道一端A位于北偏西42°方向，在D處測得棧道另一端B位于北偏西32°方向.已知CD=120?m，BD=80?m，求木棧道AB的長度（結果保留整數）.（參考數據：sin32°≈1732，cos32°≈1720，tan32°≈58，sin42°≈2740，cos42°≈34，tan42°≈910）圖8 圖9

解析 如圖9，過點C做CE⊥AB于點E，

過點D作DF⊥AB于點F.在Rt△BDF中，

cos32°=DFBD，sin32°=BFBD，所以DF=68，

BF=42.5，所以CE=DF=68.在Rt△ACE中，

tan42°=AECE，所以AE=61.2，所以AB=AE+EF-BF=139.圖10 圖11 圖12

點評 2019年的中考試題在基本圖形（如圖10）基礎上，進行平移（圖11）、軸對稱變化（圖12）變式，創新角度、知識綜合化.

3 結束語

本文是對三角函數專題復習教學的一個反思，通過將“基本圖形”進行折疊、平移、旋轉等變換，獲得新圖形，從而達到舉一反三、順勢思考的目的.學生在思考、探究問題的過程中，其幾何直觀、模型思想等核心素養都將得到提升.