從“弱水三千”到“何取此瓢”

鄭瑞 楊一麗

2019年寧波市中考數學第26題，從題材構思到最終定稿，經歷了一個從“弱水三千”到“只取一瓢”的過程，可何取此瓢？歷經千番.現將命制的主要過程及思考與大家分享.

1 試題呈現

如圖1，⊙O經過等邊△ABC的頂點A，C（圓心O在△ABC內），分別與AB，CB的延長線交于點D，E，連結DE，BF⊥EC交AE于點F

圖1 圖2

（1）求證：BD=BE;

（2）當AF∶EF=3∶2，AC=6時，求AE的長;

（3）設AFEF=x，tan∠DAE=y

①求y關于x的函數表達式;

②如圖2，連結OF，OB，若△AEC的面積是△OFB面積的10倍，求y的值

簡解 （1）易證∠DEB=∠BAC=∠C=∠D，則BD=BE.圖3

（2）如圖3，過點A作AG⊥EC于點G，

則BG=3，AG=33，

易得BGEB=AFEF=32，所以BE=2，即EG=5，

所以AE=（33）2+52=213

（3）①如圖3，過點E作EH⊥AD于點H.設BE=a，

則EH=32a，BH=12a.

因為BGEB=AFEF=x，所以BG=ax，則AB=2ax，AH=（2x+12）a.

所以tan∠EAD=EHAH=32a（2x+12）a=34x+1，即y=34x+1.圖4

②如圖4，過點O作OM⊥EC于點M.設EB=a，

同①，有CG=BG=ax.

所以EM=12a+ax，BM=ax-12a.

因為BF∥AG，

所以BFAG=BEEG=aa+ax=11+x，

所以BF=11+xAG=3ax1+x，

即12×3ax（a+2ax）=10×12×3ax1+x（ax-12a），

化簡得2x2-7x+6=0，解得x1=2，x2=32，所以y=39或37.

2 命題過程

2.1 命題立意

此題為整份試卷最后一題，根據試卷的整體分布和雙向細目表，應設計一道以三角形和圓為背景，體現初中數學核心知識點和核心思想的試題，滿分14分，難度系數0.35左右.主要立意有以下幾條：

（1）凸顯本質.壓軸題側重于關注學生的思維過程，所以它的呈現需要簡潔易懂，不能在題干上為難學生，而使其糾纏于題意的“是是非非”.同時為有效遏制題海戰術，減輕學生學業負擔，試題的命制需要避免模型化，注重通性通法，淡化技巧，體現公平性

（2）突出核心.試題以特殊三角形、圓、三角函數、相似三角形的基本知識、基本方法為命題的出發點，要求學生在答題中經歷觀察、推理、計算等基本的數學活動過程，感受幾何圖形中的內在邏輯關系，體會蘊含的數學思想方法，如從特殊到一般、轉化思想、方程思想等，以外顯的操作活動發展內隱的數學思維.特別地要與高中的數學知識體系相關聯，為學生后續的學習奠定基礎，以準確引領一線教學的方向

（3）體現功能.問題設置做到起點低，層次分明，讓不同的人在數學上得到不同的發展;問題邏輯要連貫，由淺入深，增加試題的區分度，實現對學生應用知識解決問題的能力及綜合素養的考查，體現試題的選拔功能.

2.2 素材研討

許多中考試題將三角形內接于圓，通過改變三角形形狀，亦或是增添線段，以探究線與角的數量關系和位置關系.我們考慮是否可讓圓只過三角形的其中兩個頂點？如圖1，當⊙O過等邊△ABC的頂點A，C時，顯然圓心O在AC邊的中垂線上運動，△ABE的不確定性和∠OBE的確定性，動中有靜，相得益彰，于是命題組開始了嘗試.

2.3 嘗試編題圖5

初稿 如圖5，等邊△ABC的頂點A，C落在⊙O上，延長AB，CB分別交⊙O于點D，E.過點B作BF⊥EC交AE于點F.設AFEF=x，tan∠EAB=y

（1）求證：BD=BE;

（2）求y關于x的函數表達式;

（3）連結OE，交AB于點P，連結PF并延長交AE于點M，若x=2，AC=4

①求⊙O的半徑;

②在弦AC上找一點N，使得△PMN為直角三角形，求△PMN的面積

診斷分析：第（1）小題立足基礎，為第二問鋪墊.可以用圓周角或弧轉化，也可以利用三角形全等;第（2）小題求解變量間的關系，關鍵在于“斜轉直”方法的構建;第（3）小題在定量的基礎上，巧妙地捕捉到了∠OEA=30°和∠MPE=90°這樣兩個隱性條件，分別進行設問.綜合考查了圓的基本性質（同弧所對圓周角相等，垂徑定理），等邊三角形，解直角三角形等核心知識的靈活應用，同時注重對符號意識，幾何直觀，函數思想，分類討論，數形結合，方程思想的考查.但命題組斟酌后感覺有兩點不妥.一是第二問較為抽象，難度偏大，易導致得分率低，同時使學生失去解決后兩問的信心.而（3）①的難度不及第二問，且解決思路可以為第二問鋪墊，出現邏輯上的“倒掛”.二是不難發現，∠PBF=∠PEA=30°，所以P，F，E，B四點共圓，即∠FPE=∠FBE=90°.此處出現關于點P的相關問題，始終無法避免四點共圓帶來的超綱嫌疑.盡管這是一種比較特殊的存在，但只能是“忍痛割愛”，另辟蹊徑

二稿 如圖5，（2，3，4稿的第（1）小題均同初稿）

（2）若x=2，AC=4，求AE的長;

（3）求y關于x的函數表達式;

（4）當OF=BF時，求y的值

診斷分析：此方案第二小題通過數據定量，考查基本的“斜轉直”思想方法，以及解三角形的相關知識，并不為難學生，更為重要的是扮演“跳板”的角色，為抽象的第三問做好鋪墊;

第（4）問的設置基于∠FBO=60°的存在，舍去初稿中的點P，把目光著眼于變化的△FBO，承接第（3）問.其亮點在于需要分類討論點O與點B不重合或者重合兩種情況，兼顧思維含量以及數學的嚴謹性;

預設解答：當點O與點B不重合時，若OF=BF，則△OFB為等邊三角形，即OB=OF.如圖6，過點O，A分別作OG，AH垂直于EC.設BE=a，BH=ax，則CE=a+2ax，BG=a+2ax2-a=2ax-a2，所以OB=2ax-a2·23=2ax-a3.而FBAH=EFEA，所以FB=3ax1+x，即2ax-a3=3ax1+x，解得x=3，所以y=2-3.當點O與點B重合時，不難求得x=12，所以y=33

命題組經過深入思考認為此設問比較單薄，同時所謂的“嚴謹性”有些“坑人”，雖然類似浙教版八上的中垂線性質定理證明一般，但考場上著實很少有學生能意識到這一點，有悖于試題堅持的“人文關懷”原則，因此我們放棄此設問

在前三問基本定型的情況下，我們繼續磨第四問，若△OBF為等腰三角形？

以等腰三角形壓軸，雖然形式上較前一種提問方式更厚重，又蘊含了分類討論的思想，一類如圖6所示，另一類如圖7，OB=BF，點O在△ABC的外部，圖形更為抽象，學生在考場上很難繪制，也有“以畫板命題”之嫌

同時我們發現針對分類一，有更為直觀的幾何法，不需求解x的值便可求y.如圖8，連結OA，OC，OE，不難得到△ABF≌△CBO≌△ABO，又∠AOE=2∠ACE=120°，所以∠OAE=30°，即∠EAB=15°，所以y=2-3.更可以用“超綱知識”一步到位，因為∠FEO=12∠FBO=30°，且BO=BF，則點E也出現在以B為圓心，BO為半徑的圓上，所以BF=BE，即∠FEB=45°，所以∠EAB=15°，即y=2-3圖6 圖7 圖8

若△OBF為直角三角形？分類意圖比較明顯，也確實是先求解x才能求y，但兩類情況計算方法雷同，且計算量大

三稿 （4）△OFB和△AEC相似？

依然關注到∠OBF=60°，則相似有兩種對應，分別是△OFB∽△AEC，以及△OFB∽△EAC

當△OFB∽△AEC時，∠OFB=∠AEC，則∠OFE=∠OFB+∠BFE=∠AEC+∠BFE=90°，即OF⊥AE，所以x=1，即y=35

當△OFB∽△EAC時，∠O=∠AEC，有OBEC=FBAC.如圖6，過點O，A分別作OG，AH垂直于EC.設BE=a，BH=ax，則CE=a+2ax，OB=2ax-a3，FB=3ax1+x，即2ax-a3a+2x=3ax1+x2ax，解得x=6+12，即y=22-35.

此稿主要考查相似三角形的判定和分類討論思想，數形結合思想，方程思想等.至此，整題設問相對來說比較滿意，各問間關聯明顯，在思維層次上有了較大提升，突出了對學生數學直觀能力，數學抽象，邏輯推理能力，數學運算能力等數學核心素養的考查，體現壓軸題考查的效度、信度和區分度.但是如鯁在喉的是，整卷25題新定義試題中已有針對相似三角形的考查，同時基于新課程標準對相似三角形的淡化，以及高中對代數運算能力的需求，命題組斟酌再三，從不定型的兩個三角形（△OBF和△AEC）中尋找到了面積之間的一層關聯，且上下貫通，數據怡人，猶如破曉前的黑暗中透出了一絲光亮.幾番周折，幾經打磨，終于達到預設的目標，形成文首呈現的學業考試試題.

3 思考感悟

3.1 試題宜簡潔

近幾年寧波中考數學卷壓軸題都延續著一種風格，在確保試題科學性，規范性，發展性的前提下力爭題文簡潔，流暢易懂.同時試題蘊含基礎知識，體現基本思想，回歸數學本真，體現學科素養.

3.2 導向去模型

數學建模是中學數學六大核心素養之一，但此處的建模思想更側重于實際問題建模，有別于幾何中的模型.時下的幾何教學，部分老師已習慣于經驗主義式地讓學生記模型，究變式，培養所謂的“舉一反三”，加重學生負擔.壓軸題要體現公平性，必須“去模型化”.要讓學生走出題海戰術，我們的教學應著重關注學生提出問題、分析問題能力的培養，讓數學核心素養落地生根.

3.3 邏輯重關聯

章建躍先生曾指出，課堂教學要為學生構建邏輯連貫的學習過程.同樣的，壓軸試題通過多層次設問方式，除了追求邏輯順暢，也應關注思想方法的連貫性.本題中，第一問對△BDE的關注，第二問對線段長求解，都是為第三問中求解函數表達式所做的鋪墊，而高的出現也為面積之比創設了解決之道，一脈相承.?動態幾何圖形的思考，既是發散聯想的，又是收斂循跡的.

3.4 評價謀發展

學業考試的目的是全面、準確地反映初中畢業生在初中階段所達到的水平，也為高中段的招生提供了客觀的依據.就目前的高中數學學習而言，學生普遍存在運算能力弱的事實.“童子功”的培養應該始于小學、成于初中.目前的寧波中考，壓軸題核心考查學生的直觀想象、邏輯推理等數學素養且關注學生的抽象能力、數學運算能力發展的理念，體現積極的初中數學教學導向.本卷壓軸題中，壓軸問的設計本是“弱水三千”，為何只取那一瓢，其中一個原因也便在于此.