從“弱水三千”到“何取此瓢”

鄭瑞 楊一麗

2019年寧波市中考數(shù)學(xué)第26題，從題材構(gòu)思到最終定稿，經(jīng)歷了一個(gè)從“弱水三千”到“只取一瓢”的過(guò)程，可何取此瓢？歷經(jīng)千番.現(xiàn)將命制的主要過(guò)程及思考與大家分享.

1 試題呈現(xiàn)

如圖1，⊙O經(jīng)過(guò)等邊△ABC的頂點(diǎn)A，C（圓心O在△ABC內(nèi)），分別與AB，CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，E，連結(jié)DE，BF⊥EC交AE于點(diǎn)F

圖1 圖2

（1）求證：BD=BE;

（2）當(dāng)AF∶EF=3∶2，AC=6時(shí)，求AE的長(zhǎng);

（3）設(shè)AFEF=x，tan∠DAE=y

①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;

②如圖2，連結(jié)OF，OB，若△AEC的面積是△OFB面積的10倍，求y的值

簡(jiǎn)解 （1）易證∠DEB=∠BAC=∠C=∠D，則BD=BE.圖3

（2）如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥EC于點(diǎn)G，

則BG=3，AG=33，

易得BGEB=AFEF=32，所以BE=2，即EG=5，

所以AE=（33）2+52=213

（3）①如圖3，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AD于點(diǎn)H.設(shè)BE=a，

則EH=32a，BH=12a.

因?yàn)锽GEB=AFEF=x，所以BG=ax，則AB=2ax，AH=（2x+12）a.

所以tan∠EAD=EHAH=32a（2x+12）a=34x+1，即y=34x+1.圖4

②如圖4，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥EC于點(diǎn)M.設(shè)EB=a，

同①，有CG=BG=ax.

所以EM=12a+ax，BM=ax-12a.

因?yàn)锽F∥AG，

所以BFAG=BEEG=aa+ax=11+x，

所以BF=11+xAG=3ax1+x，

即12×3ax（a+2ax）=10×12×3ax1+x（ax-12a），

化簡(jiǎn)得2x2-7x+6=0，解得x1=2，x2=32，所以y=39或37.

2 命題過(guò)程

2.1 命題立意

此題為整份試卷最后一題，根據(jù)試卷的整體分布和雙向細(xì)目表，應(yīng)設(shè)計(jì)一道以三角形和圓為背景，體現(xiàn)初中數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)和核心思想的試題，滿分14分，難度系數(shù)0.35左右.主要立意有以下幾條：

（1）凸顯本質(zhì).壓軸題側(cè)重于關(guān)注學(xué)生的思維過(guò)程，所以它的呈現(xiàn)需要簡(jiǎn)潔易懂，不能在題干上為難學(xué)生，而使其糾纏于題意的“是是非非”.同時(shí)為有效遏制題海戰(zhàn)術(shù)，減輕學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，試題的命制需要避免模型化，注重通性通法，淡化技巧，體現(xiàn)公平性

（2）突出核心.試題以特殊三角形、圓、三角函數(shù)、相似三角形的基本知識(shí)、基本方法為命題的出發(fā)點(diǎn)，要求學(xué)生在答題中經(jīng)歷觀察、推理、計(jì)算等基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，感受幾何圖形中的內(nèi)在邏輯關(guān)系，體會(huì)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，如從特殊到一般、轉(zhuǎn)化思想、方程思想等，以外顯的操作活動(dòng)發(fā)展內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思維.特別地要與高中的數(shù)學(xué)知識(shí)體系相關(guān)聯(lián)，為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，以準(zhǔn)確引領(lǐng)一線教學(xué)的方向

（3）體現(xiàn)功能.問(wèn)題設(shè)置做到起點(diǎn)低，層次分明，讓不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展;問(wèn)題邏輯要連貫，由淺入深，增加試題的區(qū)分度，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力及綜合素養(yǎng)的考查，體現(xiàn)試題的選拔功能.

2.2 素材研討

許多中考試題將三角形內(nèi)接于圓，通過(guò)改變?nèi)切涡螤睿嗷蚴窃鎏砭€段，以探究線與角的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.我們考慮是否可讓圓只過(guò)三角形的其中兩個(gè)頂點(diǎn)？如圖1，當(dāng)⊙O過(guò)等邊△ABC的頂點(diǎn)A，C時(shí)，顯然圓心O在AC邊的中垂線上運(yùn)動(dòng)，△ABE的不確定性和∠OBE的確定性，動(dòng)中有靜，相得益彰，于是命題組開始了嘗試.

2.3 嘗試編題圖5

初稿 如圖5，等邊△ABC的頂點(diǎn)A，C落在⊙O上，延長(zhǎng)AB，CB分別交⊙O于點(diǎn)D，E.過(guò)點(diǎn)B作BF⊥EC交AE于點(diǎn)F.設(shè)AFEF=x，tan∠EAB=y

（1）求證：BD=BE;

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;

（3）連結(jié)OE，交AB于點(diǎn)P，連結(jié)PF并延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)M，若x=2，AC=4

①求⊙O的半徑;

②在弦AC上找一點(diǎn)N，使得△PMN為直角三角形，求△PMN的面積

診斷分析：第（1）小題立足基礎(chǔ)，為第二問(wèn)鋪墊.可以用圓周角或弧轉(zhuǎn)化，也可以利用三角形全等;第（2）小題求解變量間的關(guān)系，關(guān)鍵在于“斜轉(zhuǎn)直”方法的構(gòu)建;第（3）小題在定量的基礎(chǔ)上，巧妙地捕捉到了∠OEA=30°和∠MPE=90°這樣兩個(gè)隱性條件，分別進(jìn)行設(shè)問(wèn).綜合考查了圓的基本性質(zhì)（同弧所對(duì)圓周角相等，垂徑定理），等邊三角形，解直角三角形等核心知識(shí)的靈活應(yīng)用，同時(shí)注重對(duì)符號(hào)意識(shí)，幾何直觀，函數(shù)思想，分類討論，數(shù)形結(jié)合，方程思想的考查.但命題組斟酌后感覺(jué)有兩點(diǎn)不妥.一是第二問(wèn)較為抽象，難度偏大，易導(dǎo)致得分率低，同時(shí)使學(xué)生失去解決后兩問(wèn)的信心.而（3）①的難度不及第二問(wèn)，且解決思路可以為第二問(wèn)鋪墊，出現(xiàn)邏輯上的“倒掛”.二是不難發(fā)現(xiàn)，∠PBF=∠PEA=30°，所以P，F(xiàn)，E，B四點(diǎn)共圓，即∠FPE=∠FBE=90°.此處出現(xiàn)關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)問(wèn)題，始終無(wú)法避免四點(diǎn)共圓帶來(lái)的超綱嫌疑.盡管這是一種比較特殊的存在，但只能是“忍痛割愛(ài)”，另辟蹊徑

二稿 如圖5，（2，3，4稿的第（1）小題均同初稿）

（2）若x=2，AC=4，求AE的長(zhǎng);

（3）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;

（4）當(dāng)OF=BF時(shí)，求y的值

診斷分析：此方案第二小題通過(guò)數(shù)據(jù)定量，考查基本的“斜轉(zhuǎn)直”思想方法，以及解三角形的相關(guān)知識(shí)，并不為難學(xué)生，更為重要的是扮演“跳板”的角色，為抽象的第三問(wèn)做好鋪墊;

第（4）問(wèn)的設(shè)置基于∠FBO=60°的存在，舍去初稿中的點(diǎn)P，把目光著眼于變化的△FBO，承接第（3）問(wèn).其亮點(diǎn)在于需要分類討論點(diǎn)O與點(diǎn)B不重合或者重合兩種情況，兼顧思維含量以及數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性;

預(yù)設(shè)解答：當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)B不重合時(shí)，若OF=BF，則△OFB為等邊三角形，即OB=OF.如圖6，過(guò)點(diǎn)O，A分別作OG，AH垂直于EC.設(shè)BE=a，BH=ax，則CE=a+2ax，BG=a+2ax2-a=2ax-a2，所以O(shè)B=2ax-a2·23=2ax-a3.而FBAH=EFEA，所以FB=3ax1+x，即2ax-a3=3ax1+x，解得x=3，所以y=2-3.當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)B重合時(shí)，不難求得x=12，所以y=33

命題組經(jīng)過(guò)深入思考認(rèn)為此設(shè)問(wèn)比較單薄，同時(shí)所謂的“嚴(yán)謹(jǐn)性”有些“坑人”，雖然類似浙教版八上的中垂線性質(zhì)定理證明一般，但考場(chǎng)上著實(shí)很少有學(xué)生能意識(shí)到這一點(diǎn)，有悖于試題堅(jiān)持的“人文關(guān)懷”原則，因此我們放棄此設(shè)問(wèn)

在前三問(wèn)基本定型的情況下，我們繼續(xù)磨第四問(wèn)，若△OBF為等腰三角形？

以等腰三角形壓軸，雖然形式上較前一種提問(wèn)方式更厚重，又蘊(yùn)含了分類討論的思想，一類如圖6所示，另一類如圖7，OB=BF，點(diǎn)O在△ABC的外部，圖形更為抽象，學(xué)生在考場(chǎng)上很難繪制，也有“以畫板命題”之嫌

同時(shí)我們發(fā)現(xiàn)針對(duì)分類一，有更為直觀的幾何法，不需求解x的值便可求y.如圖8，連結(jié)OA，OC，OE，不難得到△ABF≌△CBO≌△ABO，又∠AOE=2∠ACE=120°，所以∠OAE=30°，即∠EAB=15°，所以y=2-3.更可以用“超綱知識(shí)”一步到位，因?yàn)椤螰EO=12∠FBO=30°，且BO=BF，則點(diǎn)E也出現(xiàn)在以B為圓心，BO為半徑的圓上，所以BF=BE，即∠FEB=45°，所以∠EAB=15°，即y=2-3圖6 圖7 圖8

若△OBF為直角三角形？分類意圖比較明顯，也確實(shí)是先求解x才能求y，但兩類情況計(jì)算方法雷同，且計(jì)算量大

三稿 （4）△OFB和△AEC相似？

依然關(guān)注到∠OBF=60°，則相似有兩種對(duì)應(yīng)，分別是△OFB∽△AEC，以及△OFB∽△EAC

當(dāng)△OFB∽△AEC時(shí)，∠OFB=∠AEC，則∠OFE=∠OFB+∠BFE=∠AEC+∠BFE=90°，即OF⊥AE，所以x=1，即y=35

當(dāng)△OFB∽△EAC時(shí)，∠O=∠AEC，有OBEC=FBAC.如圖6，過(guò)點(diǎn)O，A分別作OG，AH垂直于EC.設(shè)BE=a，BH=ax，則CE=a+2ax，OB=2ax-a3，F(xiàn)B=3ax1+x，即2ax-a3a+2x=3ax1+x2ax，解得x=6+12，即y=22-35.

此稿主要考查相似三角形的判定和分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想，方程思想等.至此，整題設(shè)問(wèn)相對(duì)來(lái)說(shuō)比較滿意，各問(wèn)間關(guān)聯(lián)明顯，在思維層次上有了較大提升，突出了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)直觀能力，數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，體現(xiàn)壓軸題考查的效度、信度和區(qū)分度.但是如鯁在喉的是，整卷25題新定義試題中已有針對(duì)相似三角形的考查，同時(shí)基于新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)相似三角形的淡化，以及高中對(duì)代數(shù)運(yùn)算能力的需求，命題組斟酌再三，從不定型的兩個(gè)三角形（△OBF和△AEC）中尋找到了面積之間的一層關(guān)聯(lián)，且上下貫通，數(shù)據(jù)怡人，猶如破曉前的黑暗中透出了一絲光亮.幾番周折，幾經(jīng)打磨，終于達(dá)到預(yù)設(shè)的目標(biāo)，形成文首呈現(xiàn)的學(xué)業(yè)考試試題.

3 思考感悟

3.1 試題宜簡(jiǎn)潔

近幾年寧波中考數(shù)學(xué)卷壓軸題都延續(xù)著一種風(fēng)格，在確保試題科學(xué)性，規(guī)范性，發(fā)展性的前提下力爭(zhēng)題文簡(jiǎn)潔，流暢易懂.同時(shí)試題蘊(yùn)含基礎(chǔ)知識(shí)，體現(xiàn)基本思想，回歸數(shù)學(xué)本真，體現(xiàn)學(xué)科素養(yǎng).

3.2 導(dǎo)向去模型

數(shù)學(xué)建模是中學(xué)數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，但此處的建模思想更側(cè)重于實(shí)際問(wèn)題建模，有別于幾何中的模型.時(shí)下的幾何教學(xué)，部分老師已習(xí)慣于經(jīng)驗(yàn)主義式地讓學(xué)生記模型，究變式，培養(yǎng)所謂的“舉一反三”，加重學(xué)生負(fù)擔(dān).壓軸題要體現(xiàn)公平性，必須“去模型化”.要讓學(xué)生走出題海戰(zhàn)術(shù)，我們的教學(xué)應(yīng)著重關(guān)注學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題能力的培養(yǎng)，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根.

3.3 邏輯重關(guān)聯(lián)

章建躍先生曾指出，課堂教學(xué)要為學(xué)生構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過(guò)程.同樣的，壓軸試題通過(guò)多層次設(shè)問(wèn)方式，除了追求邏輯順暢，也應(yīng)關(guān)注思想方法的連貫性.本題中，第一問(wèn)對(duì)△BDE的關(guān)注，第二問(wèn)對(duì)線段長(zhǎng)求解，都是為第三問(wèn)中求解函數(shù)表達(dá)式所做的鋪墊，而高的出現(xiàn)也為面積之比創(chuàng)設(shè)了解決之道，一脈相承.?動(dòng)態(tài)幾何圖形的思考，既是發(fā)散聯(lián)想的，又是收斂循跡的.

3.4 評(píng)價(jià)謀發(fā)展

學(xué)業(yè)考試的目的是全面、準(zhǔn)確地反映初中畢業(yè)生在初中階段所達(dá)到的水平，也為高中段的招生提供了客觀的依據(jù).就目前的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，學(xué)生普遍存在運(yùn)算能力弱的事實(shí).“童子功”的培養(yǎng)應(yīng)該始于小學(xué)、成于初中.目前的寧波中考，壓軸題核心考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)且關(guān)注學(xué)生的抽象能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力發(fā)展的理念，體現(xiàn)積極的初中數(shù)學(xué)教學(xué)導(dǎo)向.本卷壓軸題中，壓軸問(wèn)的設(shè)計(jì)本是“弱水三千”，為何只取那一瓢，其中一個(gè)原因也便在于此.