基于相似用兩次的視角求解一類動點路徑問題

0 引子

近期拜讀文[1]，談到用“位似旋轉變換”求解動點路徑問題，引發筆者思考.有關動點路徑問題，或者與動點有關的線段最值問題，是當下中考熱點和難點，研究文章見諸許多雜志，各敘己見，文[1]是其中一種觀點.但是，作為一線老師，若照搬文[1]的方法，顯然超出學生的知識范圍及能力范疇，據此給學生授課，恐怕學生難以接受.有沒有比較淺顯的思路，易于操作的方法呢？筆者采取“相似用兩次”的視角，解決此類問題，與讀者們交流，以期能擦出更多智慧的火花

原題回放

問題（見文[1]） 如圖1，已知A（2，4），B為y軸正半軸上一動點，作∠BAC=90°交x軸正半軸于C點，M為BC中點，P（1，0），求PM的最小值

圖1

原解析 如圖1，由條件可知A，B，O，C，四點共圓，∠AOC=∠ABC=∠BAM，cos∠AOC=cos∠ABC=55，AMAB=52，問題等價于將AB逆時針旋轉∠AOP的度數，再放大52倍，即定點A，定角∠AOC，定比52.將OA作同樣的變換得AM1（M1在OC上），可證△OAB∽△M1AM，MM1OB=AMAB=52，∠AOB=∠AM1M，故可知M點運動路徑為線段M1M2（M2為M運動的極端點），且M點路徑M1M2長等于B點路徑長（OB1）的52倍，PM的最小值等于P到M1M2的距離為455

評析 課改以來，數學教育界強調三個理解，尤其強調教師在理解學生的基礎進行教學.理解學生是指教師清楚學生學習數學的基礎、潛能、需求與差異，清楚學生學習特定數學知識已有的認知基礎、生長點與潛在困難，清楚學生的認知特點與認知規律.離開學生現狀的解題教學，勢必導致教學效率不高，讓學生對數學產生恐懼心理

文[1]中的例1解題解析會讓學生產生如下困惑：首先，直線M1M2具體是怎樣的一條直線，這里的說理過程不詳;其次，結果455是如何求解得的;最后，用“定點A，定角∠AOC，定比52”，這樣描述模型（盡管前面有概括），真的還是有點抽象，其實它的背景知識本身就是相似用兩次相似用兩次的解題分析：針對以上問題，筆者平時采用以下方法，分析、引導和啟發學生解決此類問題.第一步，描點.實驗操作，找三個不同位置點M，第一個是起始點M，當AB與AO重合時，點M是圖中OC1中點，即點M1位置，當AC1與AO重合時，點M是圖中OB中點，即點M2位置，第三個點M，任意位置就行，如圖1中的點M;第二步，連線.觀察三點的連線是直線的還是曲線;本題根據連線觀察，點M運動路徑是射線，∠OM1M2是定角.第三步，推理.由題意得，△OAC1∽△BAC，所以AM1OA=AMAB=52，∠M1AM=∠OAB.所以△M1AM∽△OAB.于是∠AM1M=∠AOB，因為∠AOB是定角，AM1是定線.因此，M1M2是定線，因此，點M的運動路徑是在定線M1M2上.再求得OM1=5，OM2=52，所以PM的最小值等于點P到直線M1M2的垂線段PH的長度，為455

以上解題三步曲，對于求解其它動點的路徑問題，也具普適性.三個步驟中的難點是推理，核心知識是相似三角形的性質與判定，涉及基本圖形是有一個公共頂點的兩對相似三角形，第一對相似三角形得出的對應角相等與對應邊成比例，是第二對相似三角形判定的基礎，再根據第二對相似三角形性質，得出對應角相等，可以判定從動點M的路徑在定直線上.在證明過程中，運用兩次相似三角形的判定與性質，因此，筆者稱之為“相似用兩次”.

1 相似用兩次的應用

當下許多中考題，或者復習資料，有許多類似的求解動點路徑問題，下面列舉三例講解如何運用“相似用兩次”，解此類數學問題

例1 如圖2，拋物線y=-x2-2x+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點P為頂點，線段PA上有一個動點D，以CD為底向下作等腰直角三角形△CDE，其中∠CED=90°，則AE的最小值為

圖2

解析 第一步：描點.如圖2，將主動點D運動至點A，則點E與點O重合，再將點D運動點至P，則E點與點G重合.第二步，連線.顯然點G、點E、點O三點在同一直線上.第三步，推理.由題意得，OA=OC=3，所以等腰直角三角形CDE相似等腰直角三角形CAO，于是CDCA=CECO，∠DCA=∠ECO，于是，△ACD∽△OCE.因此，∠CAD=∠COE，即tan∠COE=tan∠CAP=PCAC=13.從而確定動點E在定直線OG上.最后，再用“面積用兩次”思想，即S△AOG=12AO·GM=12OG·AH，求得AH=91010

例2 如圖3，A（63，0），AB=BO，∠ABO=120°，動點C在y軸負半軸上運動，在坐標平面內有點D，使AD=DC，∠ADC=120°，連結OD，則OD的最小值為

圖3

解析 依據三步法中的前兩個步驟，可以得出，點D的運動路徑是射線BD.下面論證射線BD是定直線上.由已知△OAB∽△CAD，ABAO=ADAC=13，∠BAD=∠OAC，所以△BAD∽△OAC.所以∠DBA=∠COA=90°.所以∠OBE=∠OEB=30°.于是，點D的運動路徑是射線BD.則OD的最小值就是O點到直線DB的距離，易求得最小值為3

例3 如圖4，已知點A是第一象限內橫坐標為23的一個定點，AC⊥x軸于點M，交直線y=-x于點N.若點P是線段ON上的一個動點，∠APB=30°，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動，求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是

圖4

解析 如圖4，同樣運用三步驟中的三點法確定，從動點B的運動路徑是線段B1B2.下面重點求運動路徑B1B2的長.由已知△P1AB1∽△NAB2，AB1AP1=AB2AN=13，∠B2AB1=∠NAP1，所以△B1AB2∽△P1AN.所以∠B1B2A=∠P1NA=45°.所以點P運動路徑B1B2是定線段.因為△B1AB2∽△P1AN，所以B1B2P1N=AB2AN=13，B1B2=23×2×13=22.本題是2013年浙江省湖州市中考數學試卷第16題，也是壓軸填空題，顯然當年對大部分考生來講是個挑戰題，對學習能力不強的學生更是一個難以逾越的坎.2 教學啟示2.1 重視用兩次思想在解題中的運用

本文筆者采用“相似用兩次”的視角求解一類動點路徑問題，本質是“用兩次”數學思想方法在求解一類問題中的運用.那么，什么是“用兩次”數學思想呢？波利亞曾言：“為了得到一個方程，我們必須把同一個量以兩種不同的方法表示出來，即將一個量算兩次，從而建立相等關系.”這就是算兩次原理，又稱富比尼（G.Fubini）原理.單墫教授編著的《算兩次》中，將算兩次原理形象地比喻成“三步舞曲”，即從2個方面考慮一個適當量，“一方面……，另一方面……，綜合起來可得……”，如果一個數學研究對象具有“雙重身份”或“兩面性”，也就是說既滿足條件A又滿足條件B，就可以考慮使用這種方法.本文筆者采用“相似用兩次”，可以說是對這個數學思想方法的延伸.其實，初中數學中，還有可以用“用兩次”思想方法解題的案例，下面再舉兩例

例4 如圖5，正方形ABCD和CEFG的邊長分別為a，b，求△AEG的面積

圖5

解析 方法1：如圖5，連結AC.則AC∥GE.所以S△AGE=S△CGE=12b2

方法2：如圖5，S四邊形ACEG=S△AGE+S△ACE=S△ACG+S△GCE，所以S△AGE+12ab=12ab+12b2.即S△AGE=12b2

評注 這是一道經典的幾何題，其實還有其它的解法.這里的第一種方法采用等積變形，比較簡單，另外，△AEG的面積與正方形ABCD的邊長無關.第二種方法是“面積用兩次”，對于同一個四邊形ACEG，面積算兩次，可以概括為“上+下=左+右”，具有非常美妙的對稱結構

例5 如圖6，△ABC中，若CA=3，AB=5，BC=7，求△ABC的面積

圖6

解析 作AB邊上的高CH

設AH=x.由勾股定理得，CH2=BC2-BH2=CA2-AH2，

所以72-（x+5）2=32-x2.解這個方程得，x=32

于是，求得CH=323.所以△ABC的面積為1543

評注 本題借助線段CH用兩次，接著勾股定理用兩次，建立方程，從而解決問題.2.2 解題教學應避免劍走偏鋒

課堂教學是教與學的雙邊活動，教的秘訣在于適度，學的真諦在于感悟.著名國學大師在《人間詞話》中對詩人的最高境界給予精辟的描述：“詩人與宇宙人生，須入乎其內，又須出乎其外.入乎其內，故能寫之，出乎其外，故能觀之.”教之道在于“度”，學之道在于“悟”.解題教學何嘗不是如此呢？入乎其內，就是要鼓勵學生獨立思考，合作探究，從自己的砥礪前行中獲得體驗;出乎其外，就是通過豐富多彩數學問題的解決，覺得數學好玩，能感悟數學問題的本質，從而獲得對數學問題的理解從直觀想象到內在邏輯推理.最近比較流行的“模型化”，如文[1]，確實豐富了學生的解題技巧，為解決問題提供了一條快捷通道，甚至在一定程度打開了解題思維的另一扇窗，但過于夸大“模型”的功能，在學生沒有充分理解掌握的前提下，勢必會加重學生的心里壓力，并且要花大量時間進行講解歸納，效果不一定理想，有點劍走偏鋒的感覺.2019年寧波市的中考幾何壓軸題，學生考試時先入為主，想方設法尋找模型，結果無功而返，都覺得有被老師欺騙的感覺.究其原因，都是模型惹的禍.命題者的良苦用心是盡量避開模型，重點考察學生對基礎知識、基本技能、數學思想方法，尤其是對核心知識的理解與掌握，體現考試的公平性，命題評價組對這題評價很高，這也是今后命題的一種方向.解決動點路徑問題，筆者本文采取三步曲的解題方法，其實也是解其它動點路徑問題的通性通法，在這個過程中，如果再抽象出文[1]中的模型，這樣更有利于培養學生的幾何直觀、邏輯推理和數學運算等核心素養，從而提高學生數學活動的經驗.教師的教育視野決定了教育的品位，解題教學應注重“啟、誘、導、探、悟”，在問題解決的突破口，轉換的方向、化歸的手段及運算的變形上，通過讓學生嘗試分析、感悟領會，進而轉化為自身的能力，實現真正意義上的深度學習

參考文獻

[1]吳國慶，顏永洪.一類動點路徑模型及其應用[J].中學數學雜志（初中），2019（8）.

[2]陳明儒.證兩次相似解平面幾何競賽題[J].中學數學研究，2014（1）

作者簡介 陳明儒，男，中學正高級教師，浙江省特級教師，寧波市名教師.專注于課堂教學研究，尤其擅長優等生的培養，有近百人在全國初中數學競賽中獲一、二、三等獎，并多次獲浙江省初中數學競賽優秀指導教師稱號，有30多篇教研文章在省級及以上刊物（或核心刊物）上發表.