一類拋物線與多直線相交的中考壓軸題解法

張佑勝 舒新詠 翁先蘭

縱觀近十年來全國各地中考數學壓軸題，大多數是以拋物線為背景的綜合性問題.這類問題，綜合性強，解法靈活，是對學生分析問題和解決問題能力的綜合考查，具有較好的區分度和選拔功能.因此，很多考生不知所措，望而卻步！本文選取近年來幾例武漢市中考或調考數學壓軸題，探討一類拋物線與多直線相交問題的解題通法與教學啟示

先看幾個問題：

問題1 （2019武漢中考壓軸題第（3）問）如圖1，△MNE的頂點M，N在拋物線y=x2上，點M在N右邊，兩條直線ME，NE與拋物線y=x2均有唯一公共點，ME，NE均與y軸不平行.若△MNE的面積為2，設M，N兩點的橫坐標分別為m，n，求m與n的數量關系

圖1 圖2 圖3

問題2 （2016武漢中考壓軸題第（3）問）如圖2，拋物線y=ax2+c與x軸交于A，B兩點，頂點為C，點P在拋物線上，且位于x軸下方，直線PA，PB與y軸分別交于E，F兩點.當點P運動時，OE+OFOC是否為定值？

問題3 （2011武漢中考壓軸題第（3）問）如圖3，將拋物線y=x2+4x+3平移，當頂點至原點時，過Q（0，3）作不平行于x軸的直線交拋物線于E，F兩點，問在y軸的負半軸上是否存在一點P，使△PEF的內心在y軸上？

問題4 （2019武漢元調壓軸題第（3）問）如圖4，拋物線y=x2+（1-m）x-m交x軸于A，B兩點（A在B的左邊），交y軸負半軸于點C.過點E（m，2）作一直線交拋物線于P，Q兩點，連接AP，AQ分別交y軸于M，N兩點，求證：OM·ON是一個定值

問題5 （2015武漢四調壓軸題第（3）問）如圖5，點C為拋物線y=12x2-3x+92的頂點，直線y=kx（k>0）與拋物線相交于A，D兩點（點D在點A的下方），若B是拋物線上點A的對稱點，直線BD交對稱軸于點M，求證：PC=CM圖4 圖5

這些都是拋物線與多直線相交的壓軸題，類似的，還有很多，不一一列出.為了有效的解決這類問題，先看如下基本命題

基本命題：直線l與拋物線y=ax2+bx+c交于A，B兩點，點A，B的橫坐標分別為xA，xB，則直線l的解析式是y=[a（xA+xB）+b]x+c-axAxB

略證：設直線l：y=mx+n，聯立y=ax2+bx+c，y=mx+n，得ax2+（b-m）x+c-n=0，

所以xA+xB=m-ba，xA·xB=c-na，所以m=a（xA+xB）+b，n=c-axAxB，

所以直線l：y=[a（xA+xB）+b]x+c-axAxB

推論 直線l與拋物線y=ax2+bx+c有唯一公共點A，點A的橫坐標為xA，

則直線l的解析式是y=（2axA+b）x+c-ax2A

運用上述基本命題及推論，我們可以按照統一的思維方式，有效地解決上述一類拋物線與多直線相交的壓軸題.現從問題1至問題5中選3個簡解如下

問題1簡解 作EH∥y軸交MN于H，由前面基本命題可得：

NE：y=2nx-n2，ME：y=2mx-m2，MN：y=（m+n）x-mn，

聯立y=2nx-n2，y=2mx-m2，解得xE=m+n2，yE=mn，

所以S△MNE=12HE·（m-n）=12[（m+n）·m+n2-mn-mn]（m-n）=14（m-n）3=2，

所以m-n=2

問題2簡解 由前面基本命題可得：

PA：y=[a（xA+xP）+c]x+c-axAxP，

PB：y=[a（xB+xP）+c]x+c-axBxP，

因為點A，B關于y軸對稱，所以xA+xB=0，

所以OE+OF=（-c+axA·xP）+（-c+axB·xP）

=-2c+a（xA+xB）xP=-2c=2OC，

所以OE+OFOC=2

問題4簡解 由x2+（1-m）x-m=0，得x1=-1，x2=m，

所以A（-1，0），

由前面基本命題可得：

PQ：y=（xP+xQ+1-m）x-m-xPxQ，

AQ：y=（-1+xQ+1-m]x-m+xQ，

AP：y=（-1+xP+1-m]x-m+xP，

因為點E（m，2）在直線PQ上，

所以2=（xP+xQ+1-m）m-m-xPxQ，

所以m2-m（xP+xQ）+xPxQ=-2，

所以OM·ON=│-m+xP│·│-m+xQ│

=│m2-m（xP+xQ）+xPxQ│=2

點評

1.在上述解法中，都是選取拋物線與直線交點（公共點）的橫坐標為參數，表達直線解析式y=kx+b中的k與b，進而表示出各條直線的解析式，順利地解決相關問題.為了以后稱呼的方便，不妨將這種解法冠名為“交點橫坐標參數法”

2.由于選取拋物線與直線交點（公共點）的橫坐標為參數，因此以最少的參數打通了多條直線間的聯系和直線與拋物線間的聯系，從而為解決問題帶來便利.其優點是思維簡單，有規可循，操作性強，眾多個性化的直線與二次函數綜合壓軸題，在統一的思維與方法下，得到有效解決，可謂“多題一解”.弊端是式子稍顯復雜

3.上述幾個問題除了運用“交點橫坐標參數法”外，每個問題都有自身獨有的解法.但對于絕大多數學生而言，面對一個個獨特的解題方法，猶如一盤散沙，不知所云，難以駕馭，再遇到類似的問題時依然是束手無策.運用“交點橫坐標參數法”這一“通法”，對于“拋物線與多直線相交”的一類問題，都可以順利解決.且看如下一例

問題6 拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A，B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C，平移直線BC分別交拋物線圖6于M，N兩點（M在N的左側），若拋物線上存在一定點P（P與M不重合），使得∠PMN-∠PNM=90°，求點P的坐標

簡解 如圖6，過P作PH⊥y軸于H，設PM交y軸于點D

∠PMN=135°-∠MDO，∠PNM=45°-∠NEO，

所以∠PMN-∠PNM=（135°-∠MDO）-（45°-∠NEO）=90°，

所以∠MDO=∠NEO，

所以EH=HD，所以yD+yE=2yP

由前面基本命題可得：

PN：y=（2-xp-xN）x+xPxN+3，

PM：y=（2-xp-xM）x+xPxM+3，

MN：y=（2-xM-xN）x+xMxN+3，

因為MN∥BC，

所以2-xM-xN=-1，所以xM+xN=3，

所以yD+yE=（xPxN+3）+（xPxM+3）=xP（xM+xN）+6=3xP+6，

又2yP=2（-x2P+2xP+3），

所以3xP+6=2（-x2P+2xP+3），所以xP=0（舍），或xP=12，

所以點P（12，154）

點評

1.對于問題6，筆者曾請就讀于985高校的幾個往屆學生來做，四人中只有一人解答出來了，可見本題殺傷力還是有點大.運用“交點橫坐標參數法”能夠較為順利地解決，就在于這種方法選取的參數少，每個參數之間又易于建立關聯

2.問題6除了運用上述“通法”外，至少還有兩種特殊方法.第一種方法：在證明了等腰三角形PDE后，構造以PM和PN為斜邊的兩個直角三角形相似，進而建立點P，M，N坐標之間的等量關系，求出P點坐標.這種構造方法對于初中生來講，難度就有點大，難以把握.第二種方法，運用高中知識，在證明了等腰三角形PDE后，得出直線PM和PN的斜率之和為零，建立等量關系求解

3.對于“拋物線與多直線相交”一類問題，運用“交點橫坐標參數法”這一“通法”，

都可以順利解決.下面不妨提供幾個練習問題

問題7 拋物線y=-x2+1的頂點M在y軸上，與x軸交于A，B兩點圖7 圖8

（1）如圖7，若向上平移直線y=12x交拋物線于P，Q兩點，直線BP，BQ分別交y軸于C，

D兩點，求OC+OD的值

（2）如圖8，直線y=-2x+b與拋物線交于P，Q兩個不同的點，直線AP，AQ分別交y軸于C，D兩點，求證：OC=OD.

問題8 如圖9，已知A（-2，t）為拋物線y=14x2上一點，B（-2，3），P為點A左側

拋物線上一動點，直線PA交直線y=-x-3于點M，直線PB交拋物線于點N，連接MN，求證：AB∥MN圖9 圖10 圖11

問題9 已知直線y=kx-2k+3（k≠0）與拋物線y=a（x-2）2（a>0）相交于A，B兩點（點A在點B的左側）

（1）不論k取何值，直線y=kx-2k+3必經過定點P，直接寫出點P的坐標;

（2）如圖10，已知B，C兩點關于拋物線y=a（x-2）2的對稱軸對稱.當a=12時，

求證：直線AC必經過一定點;

（3）如圖11，拋物線y=a（x-2）2的頂點記為點D，過點A作AE⊥x軸，垂足為E，與直線BD交于點F，求線段EF的長.

教學啟示

1.數學是人類思維的體操，在培養人的聰明才智方面起著巨大的作用.所以，數學教學實質上是數學思維活動的教學.也就是說，在數學教學中，除了要使學生掌握基礎知識、基本技能外，還要注意培養學生的思維能力，應把培養學生的思維能力貫穿在教學的全過程

2.已故著名數學家華羅庚曾說：要真正打好基礎，有兩個必經的過程，即“由薄到厚”和“由厚到薄”的過程.“由薄到厚”是學習、接受的過程，“由厚到薄”是消化、提煉的過程.筆者認為，多題一解，使眾多一大類問題，在統一簡單的思維方式下便可獲得解題思路，是讓學習由厚變薄的重要途徑與方法

3.用同一種數學思想方法解決不同的數學問題我們稱之為“多題一解”.經過這種多題一解的訓練，可以收到舉一反三、觸類旁通的效果.同時，這種訓練也可加深學生的思維深度，分析事物時學會由表及里，抓住事物的本質，找出事物間內在的聯系

4.教學中，教師應通過一題多解，到一題多變、多題歸一，最后整理總結，得到多題一解，讓學生在緊張的做題過程中，看到一道題就知道怎么去思考和解決.面對一個問題，如果深入去分析、解決與反思，必能以一當十、以少勝多，也就無需茫茫的題海了.這樣既減負增效，又培養了學生的思維能力.

參考文獻

華羅庚.學習和研究數學的一些體會[J].數學通報，2010，（9）：1-5

作者簡介 張佑勝（1963—），男，湖北武漢人，正高，特級教師.研究方向：中考命題與數學教育舒新詠（1971-），男，湖北武漢人，本科，高級教師.研究方向：數學教育教學與命題.