巧用最值去絕對(duì)值妙解題

王書坤 王鵬

摘要：含絕對(duì)值的函數(shù)題往往呈現(xiàn)出題型變化多，分類討論情況復(fù)雜，運(yùn)用知識(shí)綜合性強(qiáng)等特點(diǎn)，在近年來的高考中，常常作為壓軸題出現(xiàn)。去絕對(duì)值，是解決此類問題的關(guān)鍵。本文對(duì)一道高三試題進(jìn)行例析，通過三種解法從多角度解決絕對(duì)值問題。

關(guān)鍵詞：絕對(duì)值;函數(shù);最大值

中圖分類號(hào)：G633.64 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1992-7711（2020）23-039

絕對(duì)值問題是高考數(shù)學(xué)題的一個(gè)熱點(diǎn)和難點(diǎn)。它常常與方程和函數(shù)相結(jié)合，考查學(xué)生解決問題的綜合能力。與之相關(guān)的數(shù)學(xué)方法有數(shù)形結(jié)合，分類討論，轉(zhuǎn)化與化歸等。在理解函數(shù)、最值和絕對(duì)值的概念的基礎(chǔ)上，熟練地掌握數(shù)形結(jié)合，分類討論，轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)方法，能夠幫助我們找到絕對(duì)值問題的突破口。

點(diǎn)評(píng)：解法3利用函數(shù)的特殊特征，將二次函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)進(jìn)行解決，簡(jiǎn)化了問題，從而直接對(duì)a進(jìn)行討論，應(yīng)用了參變量分離的方法，解題過程最短。波利亞說過：如果你不能解所提的題目，你應(yīng)該創(chuàng)造一道相關(guān)題目，要達(dá)到這一目標(biāo)有不同的方法，如普遍化、特殊化、類比以及其他分解和重組的各種方法。[2]本題中解法3運(yùn)用參變量分離，使問題轉(zhuǎn)化為更容易著手的問題。

上述三個(gè)解法各有利弊，考生應(yīng)該在鞏固并熟練掌握解法一，加深對(duì)解法二、解法三的理解與運(yùn)用，解題時(shí)做到既有速度，又有準(zhǔn)確度。解法二在對(duì)解法一的基礎(chǔ)上，運(yùn)用函數(shù)的零點(diǎn)的性質(zhì)和函數(shù)圖像的特征，求出零點(diǎn)的取值范圍，從而求出參數(shù)的取值范圍。解法二比解法一省去了一些討論的情形，簡(jiǎn)便了不少。解法三最為巧妙，利用函數(shù)解析式的特征將函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化，再進(jìn)行參變量分離，是三種方法里解題步驟最少的。這里需要考生仔細(xì)觀察函數(shù)解析式的特征，從而找到最快的解題方法。

本題主要考查函數(shù)最大值的概念、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、絕對(duì)值不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考察分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法。分類討論要注意分類原則：（1）所討論的全域要確定，分類要“既不重復(fù)，也不遺漏”;（2）在同一次討論中只能按所確定的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行;（3）對(duì)多級(jí)討論，應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行，不能越級(jí);（4）總結(jié)概括，得出結(jié)論。[1]在解決含絕對(duì)值的函數(shù)題時(shí)，我們通常利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)進(jìn)行分類討論，結(jié)合函數(shù)圖像，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、方程及不等式的思想方法簡(jiǎn)化問題，使問題條理清楚，便于求解。通過對(duì)一題多解的探究與比較，不僅使我們更加清楚的認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì)，還啟發(fā)我們從多角度思考問題，提高綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，熟練掌握解題技巧。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳亞娟.例談高考中絕對(duì)值問題的解題策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)·高中版，2017（03）.

[2]G·波利亞.怎樣解題[M].上海：上海科技教育出版社，2011.

（作者單位：淮安市金湖縣第二中學(xué)①，江蘇 淮安223001;揚(yáng)州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院②，江蘇 揚(yáng)州225000）