巧用最值去絕對值妙解題

王書坤 王鵬

摘要：含絕對值的函數(shù)題往往呈現(xiàn)出題型變化多，分類討論情況復雜，運用知識綜合性強等特點，在近年來的高考中，常常作為壓軸題出現(xiàn)。去絕對值，是解決此類問題的關(guān)鍵。本文對一道高三試題進行例析，通過三種解法從多角度解決絕對值問題。

關(guān)鍵詞：絕對值;函數(shù);最大值

中圖分類號：G633.64 文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2020）23-039

絕對值問題是高考數(shù)學題的一個熱點和難點。它常常與方程和函數(shù)相結(jié)合，考查學生解決問題的綜合能力。與之相關(guān)的數(shù)學方法有數(shù)形結(jié)合，分類討論，轉(zhuǎn)化與化歸等。在理解函數(shù)、最值和絕對值的概念的基礎(chǔ)上，熟練地掌握數(shù)形結(jié)合，分類討論，轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學方法，能夠幫助我們找到絕對值問題的突破口。

點評：解法3利用函數(shù)的特殊特征，將二次函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)進行解決，簡化了問題，從而直接對a進行討論，應(yīng)用了參變量分離的方法，解題過程最短。波利亞說過：如果你不能解所提的題目，你應(yīng)該創(chuàng)造一道相關(guān)題目，要達到這一目標有不同的方法，如普遍化、特殊化、類比以及其他分解和重組的各種方法。[2]本題中解法3運用參變量分離，使問題轉(zhuǎn)化為更容易著手的問題。

上述三個解法各有利弊，考生應(yīng)該在鞏固并熟練掌握解法一，加深對解法二、解法三的理解與運用，解題時做到既有速度，又有準確度。解法二在對解法一的基礎(chǔ)上，運用函數(shù)的零點的性質(zhì)和函數(shù)圖像的特征，求出零點的取值范圍，從而求出參數(shù)的取值范圍。解法二比解法一省去了一些討論的情形，簡便了不少。解法三最為巧妙，利用函數(shù)解析式的特征將函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化，再進行參變量分離，是三種方法里解題步驟最少的。這里需要考生仔細觀察函數(shù)解析式的特征，從而找到最快的解題方法。

本題主要考查函數(shù)最大值的概念、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、絕對值不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，同時考察分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想方法。分類討論要注意分類原則：（1）所討論的全域要確定，分類要“既不重復，也不遺漏”;（2）在同一次討論中只能按所確定的一個標準進行;（3）對多級討論，應(yīng)逐級進行，不能越級;（4）總結(jié)概括，得出結(jié)論。[1]在解決含絕對值的函數(shù)題時，我們通常利用絕對值不等式的性質(zhì)進行分類討論，結(jié)合函數(shù)圖像，運用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、方程及不等式的思想方法簡化問題，使問題條理清楚，便于求解。通過對一題多解的探究與比較，不僅使我們更加清楚的認識問題的本質(zhì)，還啟發(fā)我們從多角度思考問題，提高綜合運用知識的能力，熟練掌握解題技巧。

參考文獻：

[1]陳亞娟.例談高考中絕對值問題的解題策略[J].中學數(shù)學·高中版，2017（03）.

[2]G·波利亞.怎樣解題[M].上海：上海科技教育出版社，2011.

（作者單位：淮安市金湖縣第二中學①，江蘇 淮安223001;揚州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學院②，江蘇 揚州225000）