祖暅原理專題復習

陳玉坤 王志和

祖暅原理不但能說明兩個幾何體的體積相等，而且已經體現出“微積分”思想，即先將幾何體“微分（切）”，然后再“積分（整體算）”，可見我們祖先的高明之處，在一千多年前就有微積分的雛形，可謂是中華文化濃墨重彩的一筆，本文提供豐富的關于祖暅原理題目，便于在教學中使用。

例11我國南北朝時期的數學家祖暅提出了計算體積的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異，”意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等，已知曲線y=x2.直線l為曲線C在點（1.1）處的切線，如圖18所示，陰影部分是曲線c、直線l以及x軸所圍成的平面圖形，記該平面圖形繞y軸旋轉一周所得的幾何體為T，給出以下四個幾何體：

圖①是底面直徑和高均為1的圓錐：

圖②是將底面直徑和高均為1的圓柱挖掉一個與圓柱同底等高的倒置圓錐得到的幾何體：

圖③是底面邊長和高均為1的正四棱錐：

圖④是將上底面直徑為2.下底面直徑為1.高為1的圓臺挖掉一個底面直徑為2.高為1的倒置圓錐得到的幾何體。

根據祖暅原理，以上四個幾何體中與旋轉體的體積相等的是（）。

A，① B，② c，③ D，④

練習題：

1.祖沖之之子祖暅是我國南北朝時代偉大的科學家，他在實踐的基礎上提出了體積計算的原理：“冪勢既同，則積不容異”，意思是，如果兩個等高的幾何體在同高處截得的截面面積恒等，那么這兩個幾何體的體積相等，此即祖暅原理，利用這個原理求球的體積時，需要構造一個滿足條件的幾何體，已知該幾何體三視圖如圖27.用一個與該幾何體的下底面平行相距為h（O

2.祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”，它是中國古代一個設計幾何體體積的問題，意思是如果兩個等高的幾何體在同高處處截得兩幾何體的截面面積恒等，那么這兩個幾何體的體積相等，設A、B為兩個等高的幾何體，p：A、B的體積不相等，g：A、B在同高處的截面面積不恒相等，根據祖暅原理可知，p是g的（ ）。

A，充分不必要條件

B，必要不充分條件

C，充要條件

D，既不充分也不必要條件

3.祖暅原理也就是“等積原理”，它是由我國南北朝杰出的數學家祖沖之的兒子祖暅首先提出來的，祖暅原理的內容是：夾在兩個平行平面問的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的平面所截，如果截得兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等，已知，兩個平行平面問有三個幾何體，分別是三棱錐、四棱錐、圓錐（高度都為h），其中：三棱錐的底面是正三角形（邊長為a），四棱錐的底面是有一個角為60°的菱形（邊長為b），圓錐的體積為y，現用平行于這兩個平行平面的平面去截三個幾何體，如果截得的三個截面的面積相等，那么，下列關系式正確的是（ ）。

4.我國南北朝時期的數學家祖暅提出了計算幾何體體積的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”，意思是兩個同高的幾何體，如果在等高處的截面積都相等，那么這兩個幾何體的體積相等，現有同高的三棱錐和圓錐滿足祖暅原理的條件，若圓錐的側面展開圖是半徑為2的半圓，由此推算三棱錐的體積為（ ）。

作者簡介陳玉坤（1985），男，上海人，中學一級教師，上海師范大學附屬第四中學數學組組長，研究方向是數學教育與數學文化。

王志和，上海市特級教師，奉賢區卓越教師工作室數學室主持人。