近年高考“不等式選講”題目分析及備考建議

王國學 黃浩

點評本題四種解法基本囊括了絕對值不等式的所有解法，其中用零點分段法對自變量進行分類討論求解，實際上就是根據絕對值的代數意義去掉絕對求解，這是解絕對值不等式也是處理絕對值問題的基本方法，這個方法學生掌握起來比較容易，但是常常拿不到滿分，主要有兩個方面的原因：第一，在給定區問內去絕對值時容易犯錯誤，部分學生不能準確判定絕對值內式子的正負號，教學中可用特殊值法去定號，第二，在定區間內解不等式，忘記添加前提區間，建議在教學中有效利用“大括號”來有意識提醒學生注意，因為學生對大括號內不等式組的求解要求其交集已有非常強烈的思維意識，用絕對值的幾何意義求解，借助實數與數軸上的點的一一對應關系，將代數不等式轉化為幾何不等式，然后利用幾何直觀動中尋靜以定制動，將不等轉化相等然后用相等解決不等從而求出解集，用函數圖象解不等式方法直觀，是解不等式的基本方法，也是處理絕對值問題的基本方法之一，用等價不等式求解，按部就班操作即可。

1.2證明不等式

點評2019年高考全國Ⅱ卷理數題也類似，均重點考查閱讀理解能力和化歸轉化、分類討論思想，須先根據自變量的取值范圍確定絕對值內的符號去掉絕對值，然后將不等式恒成立問題轉化為最值問題求解。

2備考建議

近年不等式選講試題有以下命題特點：以考查絕對值不等式的解法、證明為主，與函數結合，考查數形結合和轉化與化歸思想，聚焦邏輯推理、數學運算等核心素養。

2.1聚焦核心素養，加強數學知識整合呼應

不等式選講專題的學習可以培養學生邏輯推理、數學運算等核心素養，特別是可以利用該專題的教學提高學生的演繹證明能力，因此應側重數學證明的觀察發現、歸納類比、合情猜想、符號表示、規范表述等方面，其次要注意不等式選講專題和先學內容的整合呼應，本專題的內容很多都可以看做是先前學習內容的深化或者拓展，例如，在必修5中對一元二次不等式和二元均值不等式及其應用已經有所接觸，此處只要推廣到三元均值不等式情況：比較法、綜合法、分析法、反證法、數學歸納法在選修2-2的“推理與證明”中已經學習，貝努利不等式可以看做數學歸納法的一個應用：絕對值不等式可以看做是對絕對值意義及其應用的拓展：柯西不等式的幾何意義也可以從向量的角度來理解……因此，本專題的復習時應借助不等式的視角加深對以往所學知識的理解和認識，注重數學課程的前后呼應和聯系整合。

2.2揭示數學本質，注意滲透數學思想方法

不等式選講專題具有豐富的數學思想方法內涵，在實際教學過程中，應該因勢利導，注意滲透：①公理化思想：通過實數大小關系的基本事實和相關關系作為邏輯前提演繹出不等式的基本性質，從而展開專題的一系列內容;②數形結合思想：這一點在教材中都有詳細體現，不再贅述;③數學建模和模型思想：從小的方面來說，把一些實際問題以數學模型轉化為不等式的極值、優化方面問題進行求解就是體現了數學建模和模型思想;從大的方面來說，經典不等式、不等式的知識乃至數學本身都是一種模型：④數學美學思想：許多常用經典不等式如柯西不等式、平均不等式、排序不等式等不僅富有簡潔、優美、對稱的特點，而且功能強大，體現了數學的高度抽象和應用廣泛的美學思想：⑤函數方程的思想：把函數、方程和不等式的相關知識綜合起來，通過函數、方程的觀點來處理不等式問題：⑥分類討論的思想：這一點在絕對值不等式的求解方面尤為突出：⑦滲透不等式的德育價值，不等式中的許多問題具有相當的難度，思維上的挑戰很大，對于培養學生堅韌、理性的數學精神和形成批判性的思維習慣不無裨益。

作者簡介王國學，男，湖北十堰人，中學高級教師，研究方向為中學數學教育教學，在數學專業期刊公開發表論文數十篇。

黃浩（1989），男，河南信陽人，中學二級教師，研究方向為數學教學論方向。