利用導數與輔助函數解決有關不等式問題的探討

摘 要：數學課堂擁有著極為獨特的魅力，但是學生在學習數學時往往會遇到很多困難。這些困難主要是導數及輔助函數問題，通過合理利用導數以及輔助函數教師可幫助學生突破難點、完成學習激發。為做好此點在課堂上教師應用導數的單調性導數的定義進行講解，著重突破應用導數處理不等式的相關問題。過后再利用構建一次函數、二次函數、三角函數等來幫助學生了解高中階段的不等式問題，深化課堂教學。

關鍵詞：導數;輔助函數;不等式

一、 引言

不等式是高中階段教學的一大難點，不少學生在學習不等式時往往會遇到很多困難。這時教師需要去做的也是利用好導數以及輔助函數來突破不等式學習難點，用好相關定理完成不等式的證明理解。為做好這一點，教師也要改革整個數學課堂的教學方式。了解學生在不等式學習過程中的薄弱之處，積極做好評價總結。對不等式的相關問題完成了解，最終成功突破不等式解題的難點。

二、 利用導數解決不等式問題

（一）應用導數的單調性證明不等式

（三）利用導數來處理不等式的恒成立問題

不等式的恒成立問題就是指不等式中的未知量，無論取最大值還是最小值時它都能夠被當作不等式成立。將不等式恒成立問題轉化為函數的最值問題可以簡化教學思路，完成學生學習的再次創造。

在教學不等式恒成立問題時教師可由參數問題進行出發，將不等式恒成立問題轉換為參數的轉變思考。將變量進行分離之后把整個函數式轉成M>f（x）的形式，這樣整個題目就變成了M>f（x）最大值了。之后教師再把不等式的恒成立問題轉化為函數的最值問題，但是在使用導數來解決不等式恒成立問題時教師也要注重好教學的一些細節點比如該不等式的區間端點是否可取。不等式問題在高考中占有著非常重要的比重，這也是教師應該注重的一點。

三、 構造函數在不等式證明中的應用

（一）善于構造一次函數

不等式的證明是一項技巧性很強的題目類型，由此它也很容易成為學生學習的難點部分。但是通過合理構造函數，教師卻可以實現不等式復雜問題的簡單化。將這些復雜的不等式轉化為學生熟悉的初等數學問題，建立起變量以及未知數之間的相互關系。幫助學生利用函數解決問題，最終完成答案求解。一般來講的話一次函數就是學生在學習過程中最為熟悉的函數，它是學生在中學階段就開始接觸的函數。

通過將不等式問題轉化成二次函數比較最值的問題。利用二次函數的相關性質證明出整個題目，這樣的一步步思維轉換過程是有著一定因果邏輯的。教師首先從題目出發，找出題目中不等式的相關性質。最后通過構造函數利用二次函數來解決問題，在教學學生時教師應該了解這樣一整個構造過程。利用好不等式的循環構建來解決問題，最終深化整個課程教學結果。

（三）構造三角函數

三角函數以其獨特性質在不等式證明中占據著非常重要的一環，利用三角函數證明不等式也是一種常考的題型。三角函數相較于一次函數、二次函數來講有著獨特的周期性、對稱性、奇偶性，這也是三角函數的常考點。在利用三角函數解決實際問題時，教師應該了解三角函數自身的相關特性。

由點到面逐漸解決問題，例如在例題：-1≤x+1-x2≤2。單看題目學生很難了解這樣一個問題的突破口，但是之前學生或許做過類似題目，那就是把證明其中的x轉化成三角函數來解決問題。由觀察我們可以得知，如果將x轉化成cosa，那么整個解題過程就會變得十分簡單。接下來再進行式子化簡得到f（a）=cosa+1-cos2a，進一步化解得到2sin（a+45°）。之后利用三角函數的相關性質在取值范圍內解出題目，從而證明出不等式。這樣一個解題過程重現了三角函數的性質，這也是學生思維轉換的相關過程。在利用三角函數時教師應該著重引導學生先行了解三角函數的相關性質，之后再在了解的基礎上應用基礎題型進行知識鞏固。了解基本不等式的證明特點，而三角函數證明不等式的關鍵點也是函數的構建。只有多看多總結，學生才會在不斷的函數證明過程中了解一些基礎性的出發點，并從證明題目中尋找到相關的突破口、最終解決類似的函數證明題。

四、 總結

不等式證明題作為高考考查的一大重點，它理應被數學教師作出重視。在新的課程改革模式下，不等式課程證明也體現著其深刻要點。在日常教學過程中高中數學教師要了解不等式證明的相關特點，著重引導學生分析不等式證明的技巧性。從構造輔助函數和利用導數出發，鞏固學生以往所學習的相關知識點。真正解決不等式證明這樣一大難題，為學生的后期發展奠基。而這樣的思維轉換過程也能夠讓學生的數學學習道路變得更為豐富多彩，它是一種能夠激發學生思維、真正完成學生成長的重要教學模式。

參考文獻：

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作者簡介：

陳新華，福建省漳州市，福建省漳浦第一中學。