關注數學思想滲透 凸顯核心素養培養*
——以2019年高考三角函數試題為例

甘肅省武威第十六中學 (733018) 劉玉文

數學思想是分析、處理和解決數學問題的根本想法，是對數學規律的理性認識.數學核心素養是數學課程目標的集中體現，它是在數學學習的過程中逐步形成的，是具有數學基本特征的、適應個人終身發展和社會發展需要的知識、能力和思維品質.數學思想是數學核心素養的核心部分,數學思想貫穿在數學核心素養中.許多三角函數問題，若能靈活運用相應的數學思想，往往能快速、準確地找到解題思路，從而得到便捷的解法.本文以2019年高考三角函數試題為例，說明數學思想在三角函數中的運用以及數學核心素養的凸顯，以達到拋磚引玉之功效.

1.數形結合思想

數形結合可以使抽象的、復雜的數量關系，通過幾何圖形直觀地表現出來.在學習三角函數的過程中，應把三角函數的性質融于函數的圖形之中，充分利用三角函數的圖象來解決問題.

A.f(x)=|cos2x|B.f(x)=|sin2x|

C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|

評注：數形結合是將抽象的代數問題轉化成直觀的幾何問題求解，使抽象思維和形象思維有機結合.本題通過作出函數f(x)=sin|x|、f(x)=

2.化歸與轉化思想

化歸與轉化思想是指研究解決數學問題時，采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而使問題得到解決的一種解題策略.一般有以下幾種方法：(1)未知化為已知;(2)特殊化為一般;(3)一般化為特殊;(4)等價轉化.

例2 (浙江卷)設函數f(x)=sinx,x∈R.

(1)已知θ∈[0,2π),函數f(x+θ)是偶函數，求θ的值；

評注：本題(1)的解答關鍵是函數f(x+θ)是偶函數為切入點，然后等式兩邊分別進行等價轉化.本題(2)的解答關鍵是半角公式的逆用、輔助角公式的巧用、三角函數有界性的活用而得解，本題在對問題的解答過程中，顯示出強大的轉化與化歸功能，有梯度，立意深刻，充分凸顯了對邏輯推理、數學運算、直觀想象等數學素養的考察.

3.函數與方程思想

高考數學試題既有考查函數與方程思想的基本概念與基本性質的客觀型試題，又有從深層次上對函數與方程思想進行綜合考查的主觀型試題.應用函數與方程思想解題，要學會用變量來思考問題，學會溝通已知與未知之間的關系.

=-4，故函數f(x)的最小值為-4．

評注：本題首先應用誘導公式，轉化得到二倍角的余弦，進一步應用二倍角的余弦公式，得到關于cosx的二次函數，從而得解.體現了函數思想的運用，凸顯了對邏輯推理、數學運算的考察.

(1)求b，c的值；

(2)求sin(B-C)的值．

4.分類討論思想

分類討論的原則是分類的標準要統一.分類要做到不重復、不遺漏，能不分類的盡量不分類，絕不無原則地分類.分類的步驟有四步：(1)明確討論的對象；(2)確定分類標準；(3)逐步進行討論；(4)歸納小結總結出結論.

評注：本題利用分類討論和轉化與化歸思想解題.由題意首先求得tanα的值，然后利用兩角和的正弦公式和二倍角公式將原問題轉化為齊次式求值的問題，最后切化弦求得三角函數式的值即可.體現了三角化簡求值的靈活性和綜合性，達到了訓練、理解、思維品質的梯度上升，凸顯了對數學抽象、邏輯推理和數學運算素養的考察.

5.整體思想

整體思想在三角函數中主要體現在利用整體代入、整體變形、整體換元、整體配對、整體構造等進行化簡求值，研究函數性質等.

(1)求B；

(2)若ΔABC為銳角三角形，且c=1，求ΔABC面積的取值范圍．

總之，三角函數中的數學思想較多，但它們的核心是化歸與轉化思想，只要大家認真思考，靈活運用，在運用中感悟數學思想，積累思維經驗，數學思想一定能給你的學習帶來事半功倍的效果，只有這樣，才能有效形成和發展數學核心素養.