例析立幾中的探索性問題

江蘇省金湖中學(xué) (211600) 王 鋒

立體幾何的探索問題在近幾年高考中常常出現(xiàn)，這種題型有利于考查學(xué)生推理、探索、判斷等各方面能力，也有利于創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)，所以應(yīng)該注意對(duì)這種新題型的研究，下面舉例談?wù)劤Ｓ玫那蠼獠呗?

一、直接探求

在分析研究所給問題后，嘗試給出欲求的條件，再進(jìn)行證明.

圖1

(1)證明：PA⊥平面ABCD;

(2)求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角θ的大小;

(3)在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使BF∥平面AEC?證明你的結(jié)論.

解析：(1)(2)略.(3)猜測(cè)F是PC的中點(diǎn)時(shí)，有BF∥平面AEC.

二、假定求解

對(duì)某些是否存在型的問題，可先假定存在，再探索存在的條件，并證明是否合理.

圖2

例2 如圖2，正四棱錐P-ABCD中，AB=2，側(cè)棱PA與底面ABCD所成角為60°，問在線段PB上是否存在一點(diǎn)E，使AE⊥PC，若存在，試確定E的位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.

三、化歸代數(shù)

通過解三角形建立函數(shù)關(guān)系或方程，利用代數(shù)知識(shí)判斷存在性.

圖3

例4 如圖3，在四面體ABCD中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD且AB=BC=1，問是否存在這樣的四面體，使二面角C-AD-B的大小為30°，如果存在，求出CD的長；如果不存在，請(qǐng)找一個(gè)角θ，使得存在這樣的四面體，使二面角C-AD-B的平面角為θ.

四、引入?yún)?shù)

對(duì)需確定點(diǎn)的位置的問題，可利用參數(shù)列式求解.

圖4