基于一道高考題的多解探究及思考*

廣西師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院 (541006) 劉存華 周 瑩廣西民族大學理學院 (530006) 毋曉迪

波利亞曾說：“中學數(shù)學教學的首要任務就是加強解題”.解題并不意味著題海戰(zhàn)術，反而是要以經典題型為載體，通過“一題多解”來串聯(lián)知識模塊，培養(yǎng)思想方法，激發(fā)學生學習欲望[1]，真正實現(xiàn)“魚漁欲”一體解題教學.下面以2019年高考全國III卷的一道平面幾何題為例，探究八種不同維度和層次的解法，與一線教育者共同交流一題多解教學.

1.呈現(xiàn)試題

評析:本題從橢圓出發(fā)設題，同時夾雜著象限、三角形、坐標等多個知識點，完美地將“直線與方程”、“圓與方程”、“圓錐曲線與方程”、“三角函數(shù)”、“平面向量”等多個知識模塊串聯(lián)起來考察.因此，意味著本題有多個角度和方向的解法.

2.試題解法探究

2.1 余弦定理法

擬定計劃：本題目標是求出點M的坐標，所以直接設該點為M(x0,y0).根據(jù)題干條件，運用橢圓的定義易求得|F1F2|=|F1M|=8、|F2M|=4.觀察ΔMF1F2和RtΔMDF1可知∠MF1F2為公共角，將其作為中介量，先在ΔMF1F2中運用余弦定理求出該角的余弦值，隨后在RtΔMDF1中可求出F1D的長度，也就得出了M的坐標.

圖1

解析：由題意|F1F2|=|F1M|=8，由橢圓定義得|F2M|=12-8=4.如圖1，過點M做x軸的垂線，垂足為點D,設點M(x0,y0)，在ΔMF1F2中，由余弦定理得cos∠MF1F2

2.2 勾股定理法

評注：仍然從未知量出發(fā)，假設點M的坐標為(x0,y0)，再觀察圖形可知MD為RtΔMDF1和RtΔMDF2的公共邊，所以就以MD為中介量，在兩三角形中，用不同的量來表示MD，即可求出點的坐標.

2.3 等腰三角形的性質法

評注：從未知量出發(fā)，欲求點M坐標，先求縱坐標.觀察在ΔMDF2中，若知道cos∠DMF2，即可求得MD.那么如何求cos∠DMF2？利用“ΔMF1F2為等腰三角形”即可.

2.4 橢圓與圓的位置關系法

評注：從題干條件“ΔMF1F2為等腰三角形”出發(fā)，|F1M|=|F1F2|，因此可以將M點視為以點F1為圓心且F1M為半徑的圓與橢圓的交點，聯(lián)立圓和橢圓的方程可求出在第象限的交點，即M點坐標.

2.5 參數(shù)法

解析：由于點M在第一象限，可設M(6cosθ,

評注：從題干條件“ΔMF1F2為等腰三角形”出發(fā)，|F1M|=|F1F2|=8，又因為點M在橢圓上，因此可聯(lián)想到用參數(shù)法將其表示出來，然后根究兩點距離公式即可求出坐標.

2.6 焦半徑公式法

圖2

圖3

2.7 中線長公式法

評析：從橢圓性質出發(fā)觀察圖形，可知在ΔMF1F2中，OM為其中線，因此可以依據(jù)中線定理求得MO的長度.然后，將點M視為以O為圓心且MO為半徑的圓與橢圓的交點，因此可以聯(lián)立方程即可求解.

2.8 等面積法+極化恒等式法

圖4

解析：如圖4，過點F1作FE垂直于MF2于E，過點過M做MD垂直于F1F2，又

評析：從結論入手，欲求點M的坐標，可先求其縱坐標，即求MD.利用極化恒等式可以求得F1D，可以聯(lián)想到三角形等面積法，通過不同的底邊和高以面積為中介量，從而推算出MD.

3.回顧反思

3.1 一題多解的“套路”

一題多解的根本原因是從不同的側面去觀察題目，從不同的維度去思考和使用條件[2].總結上述的八種解法，可得知一題多解的常見思考方向：(1)從未知量出發(fā)，反向逆推，對條件進行不同的轉換和運用，例如解法1-3；(2)從題干主要條件出發(fā)，聯(lián)想相關知識點，順勢推出結果，例如解法4-6；(3)從圖形特征出發(fā)，觀察點、角、線、圖形，根據(jù)特殊性構造思路，例如解法7；(4)運用不同的思想方法進行整體思考，例如解法8.

3.2 一題多解的“技巧”

思維并不是單向的，常常運用多個角度同時思考得出結果.例如，解法1同時運用了三個方向，從結果出發(fā)，根據(jù)題干橢圓定義、等腰性質，并觀察圖形得知公共角，從而運用余弦定理求解.因此多種不同的解法可以發(fā)散學生的思維，培養(yǎng)思維能力.

3.3 一題多解的“功效”

各種解法各有特色：解法1-2較為符合學生的原有解題思維，易于接受；解法3復習了等腰三角形的性質；解法4訓練學生從圖形之間的關系思考問題；解法5運用參數(shù)法，復習兩點距離公式，計算簡便；解法6復習橢圓離心率的計算公式；解法7復習中線長公式，在聯(lián)立方程；解法8培養(yǎng)學生的等面積法，而且拓展了“極化恒等式”，解法獨樹一幟.一題多解可以運用不同的解法激發(fā)學生的興趣，同時還串聯(lián)各個板塊的知識點，回顧常見的思想方法.

一題多解可以用一道經典題，幫助學生復習多個知識(魚)，講授不一樣的思想方法(漁)，激發(fā)學生的學習情感(欲)，達到“魚漁欲”的三位一體教學功能[3]，進而提高學生學習效率.