對2019年高考數學全國Ⅱ卷理科21題的探究

江蘇省灌南高級中學 (222500) 劉鑫鈞安徽省淮北市第一中學 (235000) 周宗杰

一、考題再現

(1)求C的方程，并說明C是什么曲線;

(2)過坐標原點的直線交C于P,Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E,連接QE并延長交C于點G.

(ⅰ)證明：△PQG是直角三角形；

(ⅱ)求△PQG面積的最大值.

二、題源及分析

(一)題源

此題是由2011年江蘇卷18題改編而來.

圖1

(1)當直線PA平分線段MN時，求k的值；

(2)當k=2時，求點P到直線AB的距離d；

(3)對任意k>0，求證：PA⊥PB.

(二)分析

1.兩道高考題的共性主要有四個方面：

(1)兩個橢圓方程是一樣的.

(2)全國卷Ⅱ后兩問的條件與江蘇卷的的題干中條件是一致的.

(3)全國卷Ⅱ的第二問表面上是證明直角三角形，實際上只要證明PQ⊥PG，因此與江蘇卷的第三問實質上是一樣的.

(4)兩個高考題均為三問.

2.兩道高考題的異性主要有兩個個方面：

(1)全國卷Ⅱ不是直接告知橢圓方程，而是以斜率的乘積為定值這一條件呈現，需先求軌跡方程.

(2)從難度上來看：全國卷Ⅱ增加了求△PQG的最值一問，難度增大.

三、解法探究

對于全國卷Ⅱ的三個問題，這里主要探究第二問的解法.

評析：△PQG是運動變化的，但是變化的源頭在PQ，它是主動，其它因它而動，是被動的，進一步分析，發現P,Q兩點關于原點對稱，因此直線PQ動本質就是點P在動，因此可以假設點P(x0,y0).

評析：△PQG的變化是由于直線PQ變化導致的，而刻畫直線的變化的另一個視角就是通過直線斜率k來刻畫，因此假設直線PQ的方程為y=kx是自然的，然后其它變化的點Q,G,E，及直線QG均可用k來表示，這樣PQ,PG均能用k來表示，最后直接運算kPQkPG的值，從而獲得問題的解答.

(四)解法4：(幾何法)如圖2，連接PE并延長交橢圓于P1，由PE⊥x軸，所以P1(x0,-y0)，由于P,Q關于原點對稱，則Q(-x0,-y0)，所以P1Q∥x，P1Q⊥PP1.kGQ=kQE=

圖2

四、教學啟示

1.立足變式，深化問題認識

解題教學不僅要一題多解，更要善于多題一解，因此要善于對問題進行變式.顧泠沅等學者把變式教學分為概念性變式和過程性變式教學兩類.概念性變式教學突出對概念內涵的理解，過程性變式教學突出對概念外延的應用，注重知識之間的聯系和拓展，通過過程性變式教學，使數學教學有層次地遞進[1].利用過程性變式可以對一個初始問題進行變式，從而深化對這類問題的認識.

圖3

圖4

(1)略；(2)若點A,B分別是橢圓E的左、右頂點，直線l經過點B且垂直于x軸，點P是橢圓上異于A,B的任意一點，直線AP交l于點M．(ⅰ)設直線OM的斜率為k1，直線BP的斜率為k2，求證：k1k2為定值；(ⅱ)略

變式不是目的，目的在于要有意識，有目的的引導學生從“變化”中能尋找到“不變”的性質，從而認識到題目的本質，將眾多繁雜、凌亂的問題整理為簡單、有序的結構，從而減輕學習的壓力，這就需要引導學生善于對數學問題進行抽象.

2.基于數學抽象，歸納數學問題

數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象.表現在數學概念、命題、思想方法、和知識體系方面的抽象.通過兩道高考題的呈現，及兩道模考題的變式，給學生提供了一定的實例，那么如何進一步概括抽象出四個試題，將它們從形式上統一起來呢？

經過分析可以看出全國卷Ⅱ高考題中證明△PQG是直角三角形與江蘇高考題證明PA⊥PB兩題的本質上就是證明斜率之積-1，兩道模考題均是證明斜率之積為定值.

因此可以抽象出一個更一般的問題：已知兩條直線l1,l2的斜率為k1,k2，λ為實數.證明：k1k2=λ.

3.提煉問題解法，實現忘形得一

高三解題教學，貴在跳出題海，掌握一類問題的普適性解法.經過對這四道試題經過深入的分析，

可以得到一個統一的解法：換k.這種解法一般操作如下：

事實上兩道高考題中的解法3和解法4就是換k這一技巧下的具體應用.為了進一步的說明這種解法的普適性，我們以變式1為例.

通過以上分析，我們可以看出盡管四個題目中圖形不同，所證結論外在之形亦有所區別，但實質上它們可以歸一，一種題型，一種解法.

五、結語

G·波利亞有句名言：“發現問題比解決問題更重要”.因此在高三的解題教學中，不僅僅要啟發學生多角度、多層次的去思考解決問題，積累數學解題經驗，更要善于引導學生發現不同試題之間的區別與與聯系,培養學生歸納總結問題，提煉一般模型及解法，從而培養學生的數學核心素養.